РАЗДЕЛ 2
МЕТОДЫ ИНТЕРВАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Одной из ключевых проблем, возникающих при решении задачи анализа ресурсного обеспечения производства, является поиск и выбор рациональных или оптимальных в некотором смысле решений.
Возникает задача описания взаимосвязи параметров производственно-экономических систем в единой математической форме, которая, с одной стороны, позволяет учесть неопределенность среды функционирования систем, с другой, является основой для применения робастных методов анализа.
2.1. Процедура оптимизационного исследования и математическая постановка задачи
Многообразие, а часто и противоречивость различных требований к проектируемой системе или оптимизируемому объекту, неполнота информации, неточность используемых моделей неизбежно приводят к тому, что реальные задачи оптимизации приходится решать в условиях неопределенности.
При этом наиболее часто применяют два подхода [11].
В одном в процессе принятия решения неопределенная ситуация тем или иным способом сводится к некоторой детерминированной, после чего можно однозначно выбрать окончательное, наиболее предпочтительное решение.
При другом подходе эксперту (ЛПР) предлагается множество неулучшаемых решений, из которого на основе своего опыта и профессиональных знаний он выбирает единственное.
В обоих случаях решение задачи можно найти, опираясь на численные методы и соответствующие программы для ЭВМ, что требует от ЛПР как знаний в области математических моделей и методов оптимизации в условиях неопределенности, так и подготовки в области программного обеспечения задач моделирования и оптимизации.
Процедура оптимизационного исследования в условиях неопределенности. При проектировании различных технических объектов, проведении экономических исследований и расчетов, при управлении техническими и экономическими системами возникает проблема поиска наилучших в некотором смысле или оптимальных решений.
В процессе оптимизационного исследования необходимо ответить на вопросы: каким требованиям должна удовлетворять исследуемая система; что оптимизировать; как математически сформулировать и решить задачу оптимизации с применением ЭВМ.
Формулирование и формализация задачи оптимизации - довольно сложная и трудоемкая процедура, в реальных условиях осуществляемая, как правило, группой исследователей, в которую обычно входят эксперты, хорошо знающие исследуемый объект или систему, и математики, специализирующиеся в области исследования операций и вычислительных методов оптимизации.
В процедуре оптимизационного исследования можно условно выделить ряд этапов (рис. 2.1). Рассмотрим кратко каждый из них.
На первом этапе задача оптимизации формулируется исследователем в наиболее общей, часто вербальной форме. При этом должны быть отобраны наиболее существенные переменные и показатели, достаточно полно характеризующие систему. Из-за их многочисленности и разнообразия на этапе качественного описания обычно не удается формализовать задачу.
Для последующей математической постановки задачи показатели системы и переменные целесообразно разбить на три группы:
независимые переменные , совокупность которых в количественном виде описывает результат решения задачи, т.е. искомый вариант проекта, плана или управляющего воздействия (целесообразно сначала определить именно эти переменные, ибо они задают форму представления конечного результата решения задачи оптимизации);
критерий - основной показатель системы, подлежащий минимизации или максимизации в процессе поиска наилучшего решения (в многокритериальных задачах таких показателей может быть несколько);
показатели , которые описывают различные стороны функционирования данного объекта и должны удовлетворять определенным ограничениям, например, требованиям вида , где - заданные числа, определяющие допустимый диапазон вариации соответствующего показателя.
Математическая постановка задачи. Итак, большинство практических задач оптимизации суть задачи в условиях неопределенности.
Хотя на первый взгляд кажется, что наличие совокупности моделей и требований к оптимизируемой системе, полученных на первом и втором этапах оптимизационного исследования, позволяет математически строго записать задачу поиска оптимального решения (плана, проекта) как условно-экстремальную задачу [25, 93]
(2.1)
при условиях
где ,а критерий и ограничения - известные функции, однако задачу в виде (2.1) из-за того, что в этих уравнениях содержатся неопределенные параметры , нельзя решить на ЭВМ.
Для выхода из этой ситуации необходимо построить математическую модель задачи оптимизации, исключающую факторы неопределенности (путем их усреднения или расчета на гарантированный результат) или, по крайней мере, позволяющую корректно с математической точки зрения сравнивать между собой различные решения в условиях неопределенности. В обоих подходах в процессе принятия решения тем или иным способом сводят неопределенную ситуацию к некоторой детерминированной, при которой можно однозначно выбрать окончательное, наиболее предпочтительное решение.
При первом подходе, используя зависимости , , строят эквивалентные в некотором смысле модель критерия задачи и модель ограничений в виде функций и , уже не зависящих от неопределенного фактора .
В итоге приходят к детерминированному эквиваленту исходной задачи оптимизации (2.1) в условиях неопределенности:
(2.2)
при условиях
Задача (2.2) является детерминированной задачей математического программирования и может быть решена на ЭВМ с применением имеющихся пакетов прикладных программ.
В результате может быть найдено оптимальное (в смысле постановки (2.2)) решение исходной задачи в условиях неопределенности.
При втором подходе математическая модель ограничений описывается так же, как в постановке (2.2), однако модель критерия задается не функци