РАЗДЕЛ 2
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ
БОРТОВОЙ АППАРАТУРЫ
В данном разделе будут рассмотрены вопросы:
* применение математической модели надежности изделий на этапе проектирования с
использованием теории выбросов;
* применение известных методов прогнозирования надежности при расчете
конкретных машиностроительных конструкций при случайном воздействии и внезапных
отказах;
* применение известных методов прогнозирования надежности при расчете
конкретного ЭК – платы с ЭРЭ при случайном воздействии и внезапных отказах;
* применение известных методов прогнозирования надежности при расчете
конкретного ЭК – платы с ЭРЭ при случайном воздействии и постепенных отказах.
В настоящее время в практике конструирования, как правило, ограничиваются
расчетом напряженного и деформированного состояния изделий. Переход к
показателям надежности, характеризующим поведение конструкции в вероятностном
плане и во времени, не выполняется, поскольку нет достаточной информации о
нагрузках и о влиянии различных факторов на надежность изделия. Предлагаемый
подход с использованием теории выбросов не исключает уточнения вида и
количественных характеристик входных параметров.
Рассмотрим методику определения параметров показателей надежности, используя
такие виды отказов, как внезапный и усталостный.
2.1. Прогнозирование надежности объектов при случайном воздействии и внезапных
отказах
В машиностроительных конструкциях возникают внезапные отказы в результате
недопустимо больших значений перемещений, скоростей, ускорений, напряжений,
деформаций и других характерных параметров в определенных точках конструкции. В
этом случае отказ можно трактовать как выброс вектора параметров Z(t),
характеризующих работоспособность объекта, из заданной области W. Для решения
задачи прогнозирования надежности в такой постановке эффективно можно
использовать математический аппарат теории выбросов [73].
2.1.1. Некоторые зависимости, необходимые для решения задачи определения
надежности элементов конструкции, работающих в условиях случайных механических
воздействий. Рассмотрим случай, когда вектор параметров Z(t), характеризующих
работоспособность объекта, состоит из одной компоненты, которая представляет
непрерывный и дифференцируемый случайный процесс с заданной совместной
плотностью вероятности процесса Z(t) и его производной . Пусть область
работоспособных состояний W задается неравенством
W : Z(t) < Г, (2.1)
где Г – некоторая детерминированная величина.
Пересечения процессом Z(t) уровня Г с положительной производной называются
положительными, а с отрицательной – отрицательными (рис.2.1).
Выразим среднее число положительных выбросов N(t) через заданную плотность
вероятности .
Вероятность одного положительного выброса Р1(dt) можно представить как
вероятность случайного события
. (2.2)
Рис. 2.1. Положительные пересечения процесса Z(t)
Воспользуемся свойствами плотности для определения вероятности случайного
события. Для стационарного случайного процесса не зависит от времени и имеет
вид
, (2.3)
, ,
где mz – математическое ожидание z(t);
– дисперсии процессов z(t) и .
Введем понятие эффективной частоты , тогда формула для среднего числа
положительных выбросов примет вид
. (2.4)
При Г=mz среднее число положительных выбросов будет
.
Разрешая это уравнение относительно wе, получаем
. (2.5)
Отсюда следует, что эффективная частота wе может рассматриваться как средняя
частота положительных пересечений уровня mz в единицу времени. Для
узкополосного процесса wе практически совпадает с несущей частотой. Аналогично
получаем формулу для среднего числа отрицательных пересечений, когда Z(t)
является нормальным случайным процессом
. (2.6)
Обобщим полученные формулы в случае, если область работоспособных состояний W
представляет полосу, ограниченную двумя горизонтальными прямыми Z = г и Z = Г
(рис.2.2).
Рис. 2.2. Область работоспособных состояний W
Тогда вероятность безотказной работы определится как вероятность случайного
события, заключающегося в том, что в течение промежутка времени [0,t] не
произойдет ни одного положительного выброса Z(t) через уро-
вень Г, для отрицательного выброса Z(t) через уровень г
P(t) = P[г
для Р(t)
(2.8)
Если рассматривать только положительные выбросы, то выражение для Р(t) можно
представить в виде
(2.9)
При тz= 0
(2.10)
Зависимость (2.10) используем в работе при расчете ВБР.
Применим теорию выбросов к решению задач надежности при различных физических
моделях отказов.
2.1.2. Вибрационные отказы. Для отказов данного типа в качестве параметров
вектора Z(t) выбираются перемещения определенных точек конструкции. Границы
области работоспособных состояний W определяются предельно допустимыми
значениями виброускорений.
Пусть математическая модель объекта представляет колебательную систему с одной
степенью свободы, находящуюся под действием случайной нагрузки в виде «белого
шума» с S(w) = S0/2p. Отказы в системе возникают в результате недопустимо
больших: 1) перемещений центра тяжести (более Г1); 2) ускорений центра тяжести
(более Г2).
Рассмотрим вынужденные колебания одномассовой системы
, (2.11)
где e – коэффициент демпфирования;
w0 – собственная частота системы;
W(t) – виброперемещения центра тяжести;
Х(t) – входное воздействие.
В соответствии с возможными моделями отказов в качестве Z(t) выбираются
Z(t) = W(t); . (2.12)
Область работоспособных состояни