РОЗДІЛ 2
ПРИСКОРЕНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ВІДНОВЛЮВАНОЇ СИСТЕМИ З ОБМЕЖЕНОЮ ВІДНОСНОЮ
ПОХИБКОЮ ОЦІНКИ
У другому розділі дисертації предметом дослідження є нестаціонарний коефіцієнт неготовності відновлюваної системи - один з найбільш важливих показників надійності. Вивчення реальних систем свідчить, що в багатьох випадках вони складаються з елементів істотно різної надійності. Це є суттєвою перешкодою ефективному використанню більшості існуючих методів. Саме на цьому випадку і сконцентрована увага у даному розділі. Метою дослідження є розробка методу прискореного моделювання, що є стійким відносно зміни надійності елементів, тобто ефективність його не зменшується із підвищенням надійності елементів.
Напрямок досліджень другого розділу визначається ідеєю академіка НАН України І.М.Коваленка, що полягає у впорядкуванні траєкторій відмови систе-ми за їх рангом (ранжування траєкторій). Це дозволяє подати нестаціонарний коефіцієнт неготовності у вигляді такого ряду, що кожний наступний його член має більш високий порядок малості порівняно з попереднім. Для обчислення членів ряду розроблено метод прискореного моделювання, що дає можливість отримувати оцінки з обмеженою відносною похибкою. Такий підхід разом з використанням методу розшарованої вибірки сприяв раціональній організації обчислювального експерименту. При цьому метод є дуже зручним для інженерної реалізації - при дослідженні конкретної системи досить провести лише розмітку елементів на більш і менш надійні. Оцінки лишаються незміщеними незалежно від зробленої розмітки. В той же час дисперсія оцінок істотно залежить від розмітки. На чисельному прикладі показано, що ранжування станів системи без урахування надійності елементів (наприклад, лише за кількістю відмов елементів) призводить до суттєвого збільшення дисперсії, а тим самим і часу моделювання для досягнення потрібної точності.
У другому розділі сформульований підхід реалізовано для дослідження відновлюваної системи з експоненціально розподіленим часом безвідмовної роботи елементів. Досліджується ймовірність несправності системи в фіксований момент . Вводиться поняття траєкторії відмови системи та її рангу, що визначається за переліком номерів елементів, що відмовили у проміжку . Запропоновано метод прискореного моделювання, який сформульовано у вигляді алгоритму, що дозволяє будувати незміщені оцінки для нестаціонарного коефіцієнта неготовності, а також доведено теорему, яка гарантує обмеженість відносної похибки оцінки із зростанням надійності елементів системи. Отримані результати ілюструються чисельними прикла-дами, в яких аналізується точність запропонованих методів, а також оцінюється виграш у дисперсії оцінки порівняно з методом Монте-Карло. Основні результати цього розділу опубліковані у статті [136].
2.1. Принцип ранжування траєкторій
Розглянемо систему, що складається з елементів. Припустимо, що тривалості безвідмовної роботи елементів є незалежними в.в., які мають експоненціальний розподіл, - інтенсивності відмови елементів. Для відновлення елементів є ремонтних пристроїв. Якщо в момент відмови -го елемента є вільний ремонтний пристрій, то миттєво розпочинається відновлення цього елемента; час відновлення має ф.р. . Якщо ж всі ремонтні пристрої зайняті обслуговуванням, то елемент стає в чергу. Відновлення елементів проводиться в порядку виходу їх з ладу, тобто згідно з дисципліною обслуговування FCFS (First Come - First Served). Позначимо множину мінімальних перерізів відмов, де - кількість елементів у перерізі, а - номери цих елементів. Дана множина однозначно визначає всі стани несправності системи. В початковий момент усі елементи вважаються справними. Метою дослідження є розробка методу оцінки ймовірності несправності системи в фіксований момент часу .
При дослідженні реальних систем типовою є ситуація, коли елементи мають суттєво різну надійність, тобто інтенсивності мають різні порядки малості. Формально це виражається співвідношенням
(2.1)
де - малий параметр. Ця формалізація, яка лежить в основі асимптотич-ного аналізу імовірнісних характеристик систем [22, 56, 58, 65], не завжди влаштовує інженерів, що мають справу з розрахунками при конкретних значеннях . Інколи дуже важко підібрати , та таким чином, щоб співвідношення (2.1) було виконано для всіх .
Більш реалістичним є такий підхід. З досвіду практичної експлуатації системи, як правило, добре відомо, які з елементів можна вважати більш надійними, а які - менш надійними. Тому досить легко провести порівняльний аналіз надійності елементів, поставивши у відповідність кожному з них деяке число , яке інтерпретується як порядок ненадійності -го елемента. Як буде показано в подальшому, в запропонованому нижче методі прискореного моделювання подібне "розфарбування" елементів на більш і менш надійні не впливає на незміщеність оцінки, але є основним критерієм для впорядкування траєкторій відмови системи за їх рангом, що сприяє раціональній організації обчислювального експерименту. Далі вважаємо, що приймають значення з множини натуральних чисел (дана умова накладена лише для спрощення викладу; вона може бути узагальнена на множину додатних дійсних чисел).
У подальшому важливу роль грає поняття траєкторії і, зокрема, траєкторії відмови. Траєкторією назвемо вектор номерів елементів, що відмовили в . При цьому цей вектор вважаємо впорядкованим, тобто (знак рівності з'являється з-за того, що один і той же елемент може відмовляти по декілька разів). Вектор не встановлює порядку, в якому відмовляють елементи; він лише вказує номери елементів, що відмовили в . Якщо в момент система виявиться несправною, то це буде траєкторія відмови. Рангом траєкторії назвемо . У випадку високонадійних елементів із зростанням рангу траєкторії ймовірність її виникнення зменшується. В той же час, як буде видно з наведених нижче чисельних прикладів, траєкторії з відносно великим рангом також можуть істотно впливати на несправність системи в момент