Раздел 2
ИССЛЕДОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПТС
2.1. Анализ погрешности ПТС, вызванной поверхностным эффектом в проволоке
чувствительного элемента
Как отмечалось в первом разделе, высокоточные измерения температуры
осуществляются с помощью платиновых термометров сопротивления. Измерение
сопротивления ПТС осуществляется прецизионными мостами постоянного и
переменного тока. Переход к измерениям на переменном токе вызывает у
термометристов опасения, вызванные наличием реактивной составляющей
сопротивления термометров. В то же время не уделяется внимание зависимости
погрешностей ПТС от измеряемой температуры. Т.е. влияние различных источников
погрешностей на точность измерения температуры с помощью ПТС на переменном токе
практически не исследовалось ни теоретически, ни практически. Поэтому, перед
созданием мостов переменного тока для практического определения частотных
погрешностей термометров, целесообразно провести теоретический анализ возможных
источников и оценить их вклад в погрешность измерения температуры с помощью
ПТС.
Погрешность измерения сопротивления ПТС на переменном токе обусловлена рядом
факторов: поверхностным эффектом, эффектом близости, дополнительным рассеянием
энергии в окружающих проводящих предметах, потерями на излучение, влиянием
квадратурных параметров термометров (собственных индуктивности L и емкости C),
частотной погрешностью используемой образцовой меры. Наиболее значимыми
факторами из этого ряда являются поверхностный эффект в проволоке
чувствительного элемента термометра и реактивные составляющие сопротивления ПТС
(сложная эквивалентная схема замещения на переменном токе). Проведем анализ
погрешности, вызванной поверхностным эффектом [52].
Поверхностный эффект обусловлен неравномерным распределением плотности тока по
сечению проводника. По мере удаления от поверхности проводника плотность тока
ss и напряженность магнитного поля H убывают. В результате этого эффекта
полезное сечение проводника уменьшается, а его активное сопротивление
увеличивается. В теории поля определено [37] распределение ss и H вдоль
диаметра проводника круглого сечения с радиусом, равным а:
, ;
где х - текущая координата;
I - среднее значение рабочего тока;
J0 и J1 - функции Бесселя первого рода соответственно нулевого и первого
порядка комплексных аргументов (aq), (хq), ;
ww - частота тока, питающего ПТС;
gg - удельная проводимость платины;
mm - абсолютная магнитная проницаемость платины.
Используя теорему Умова-Пойнтинга о полной комплексной мощности на единицу
длины, выделяемой через боковую поверхность проводника, можно показать, что
импеданс провода на единицу длины определяется следующей формулой [37]:
. (2.1)
Как известно, функции Бесселя определяются бесконечными рядами [67]:
; (2.2)
; (2.3)
где S0, S1 – суммы соответствующих степенных рядов.
В данном случае аргументом бесселевых функций является комплексное число.
Поэтому соответствующие суммы S0, S1 будут также комплексными величинами. Для
определения искомого сопротивления (Z) провода на единицу длины разделим ряды в
формулах (2.2, 2.3) на составляющие: вещественную и мнимую части. При этом
введем дополнительный коэффициент: . Поскольку разложение функций Бесселя
осуществляется в окрестности точки х=а, коэффициент m связан со степенями
аргумента (хq) следующими соотношениями: (хq)2=-jm2, (хq)4=m4,
(хq)6=-jm6, (хq)8=m8 и так далее. В результате выделения вещественной и
мнимой частей для сумм S0, S1 мы получили следующие выражения:
; (2.4)
; (2.5)
где А0, А1 - вещественные части сумм S0, S1;
В0, В1 – мнимые части сумм S0, S1.
Подставив в формулу (2.1) для комплексного сопротивления Z выражения для
функций Бесселя (2.2, 2.3), выраженные через суммы S0, S1, получим следующую
зависимость:
; (2.6)
где - сопротивление провода на единицу длины для постоянного тока.
Далее, подставив в формулу (2.6) выражения (2.4, 2.5) для сумм S0, S1,
получим активную (R) и реактивную (wLЭ) составляющие сопротивления Z:
. (2.7)
Активное сопротивление термометра на данной частоте связано с его
сопротивлением на постоянном токе соотношением: R = r (1+dПЭ), где dПЭ
-погрешность, обусловленная поверхностным эффектом. Из уравнения (2.7) получаем
выражение для погрешности dПЭ:
. (2.8)
Данную погрешность для конкретных условий можно рассчитать по формуле (2.8),
предварительно вычислив коэффициенты А0, А1, В0, В1 с необходимой точностью по
формулам (2.4, 2.5). Вычисления этих коэффициентов можно производить на ЭВМ с
помощью прикладных математических пакетов. Для более быстрого определения
величины dПЭ и качественного анализа этой погрешности целесообразно найти
приближенное выражение.
С этой целью при определении сопротивления Z воспользуемся первыми тремя
членами разложения в ряд (2.2, 2.3) функций Бесселя (к=0ё2) в окрестности точки
х = а. В результате несложных преобразований с учетом представленных ранее
формул получим следующее выражение:
. (2.9)
Сделаем упрощения формулы (2.9): в числителях обоих составляющих сопротивления
пренебрежем высшими степенями аргумента m, а в знаменателе этот аргумент вообще
учитывать не будем. Данные упрощения допустимы, поскольку в рассматриваемых
нами случаях (малые диаметры провода и частота до 1000 Гц) аргумент m меньше
единицы. В результате упрощений получим следующее выражение:
. (2.10)
Таким образом, согласно уравнению (2.10) и выражению для коэффициента m
приближенно погрешность, вызванную поверхностным эффектом, можно представить в
виде:
. (2.11)
ПТС, согласно
- Київ+380960830922