РОЗДІЛ 2
АНАЛІТИЧНІ МОДЕЛІ ПОВЕРХОНЬ ІОАХІМСТАЛЯ,
ВІДНЕСЕНИХ ДО ЛІНІЙ КРИВИНИ
Німецький геометр Ф. Іоахімсталь дослідив поверхні, одна сім’я ліній кривини
яких належить площинам одного пучка. Конструктивна схема утворення цих
поверхонь базується на теоремі Кьонігса [12, 54, 106], за якою сітка на
поверхні, що утворюється лініями перетину поверхні з площинами деякого пучка та
лініями дотику до тієї ж поверхні конусів з вершинами на осі того ж пучка, є
спряженою. У поверхонь, що носять назву поверхонь Іоахімсталя, сітка Кьонігса
збігається із сіткою ліній кривини, тобто сітка Кьонігса в них ортогональна.
Нехай а – пряма; сім’я ліній t=const на поверхні є її перерізами площинами
пучка, віссю якого є а, а сім’я u=const складається з ліній дотику до поверхні
конусів з вершинами на прямій а. Оскільки кожна лінія u=const ортогональна до
всіх ліній t=const, то лінії t=const є ортогональними траєкторіями своїх
конусів, отже, належать сферам із центрами в різних точках осі пучка. Лінії ж
u=const будуть ортогональними траєкторіями цих сфер.
Зворотно, нехай лінії сім’ї t=const поверхні складаються з ортогональних
траєкторій однопараметричної сім’ї сфер із центрами на прямій а. Дотичні до цих
ліній проходять через центри відповідних сфер та перетинають пряму а. Отже, всі
лінії t=const є плоскими та їх площини утворюють пучок з віссю, а. Розглянемо
деяку лінію u=const перетину сфери сім’ї з поверхнею. Дотичні до ліній t=const
уздовж цієї лінії проходять через центр обраної сфери та утворюють розгортну
поверхню – конус. Отже, напрямки t=const та u=const є спряженими. Оскільки до
того ж ці лінії ортогональні, то вони є лініями кривини, а означена поверхня –
поверхнею Іоахімсталя.
На основі вищезгаданого можна зробити висновок, що задача утворення поверхонь
Іоахімсталя може бути зведена до наступної схеми:
визначення траєкторій, ортогональних до сім’ї сфер із центрами на одній прямій;
розподіл у просторі знайдених ортогональних траєкторій таким чином, щоби на
отриманій поверхні друга сім’я координатних ліній належала сферам, означеної
сім’ї.
2.1. Визначення траєкторій, ортогональних до сім’ї сфер із центрами на одній
прямій
Запишемо рівняння сім’ї сфер, центри яких належать одній прямій. Нехай цією
прямою буде вісь Oz просторової прямокутної декартової системи координат. Тоді
рівняння сім’ї матиме вигляд
, (2.1)
де b= b(u), r= r(u) – деякі функції параметра сім’ї u.
Знайдемо параметричні рівняння цієї ж сім’ї, сумістивши площини меридіанів сфер
із площинами пучка з віссю Oz
. (2.2)
де t – параметр пучка площин із віссю Oz;
a - параметр положення точки на колі, яке є перетином будь – якої площини пучка
з довільною сферою сім’ї.
Виходячи з того, що через кожну точку сфери сім’ї проходить єдина траєкторія
можна стверджувати, що множина всіх ортогональних траєкторій являє собою
конгруенцію. До цього ж висновку можна дійти, взявши до уваги, що сім’я сфер
(2.1), (2.2) складається з конгруенції кіл (меридіанів), розташованих у
площинах пучка з віссю Oz, що мають радіуси r(u) та центри, що знаходяться на
відстані b(u) від початку координат. Тобто, можна стверджувати, що сім’ї сфер
(2.1), (2.2) на площині пучка при будь – якому значенні його параметра t
відповідає сім’я кіл (меридіанів), функції b(u) та r(u) якої мають такий самий
вигляд. Оскільки через кожну точку будь-якого кола сім’ї на площині повинна
проходити єдина ортогональна траєкторія, то множина всіх траєкторій на площині
пучка складає сім’ю, ортогональну цим колам. Розглянувши всі площини пучка,
приходимо до конгруенції ортогональних траєкторій. При цьому одним із
параметрів цієї конгруенції є параметр пучка площин, на вісі якого лежать
центри сфер сім’ї, а другим – параметр, який визначає положення траєкторії у
площині цього пучка. Завдяки тому, що ортогональні траєкторії конгруенції, які
належать різним площинам, при обертанні навколо його вісі збігаються, оскільки
збігаються ортогональні їм кола (меридіани) конгруенції (2.2), задача отримання
траєкторій, ортогональних до сім’ї сфер із центрами на одній прямій, може бути
зведена до отримання траєкторій, ортогональних до сім’ї кіл на площині, центри
яких знаходяться на прямій, а функції b= b(u) та r= r(u) мають такий самий
вигляд, як і для сім’ї сфер.
Розглянемо загальний алгоритм отримання на площині траєкторій, ортогональних до
сім'ї кіл із центрами на одній прямій. Нехай ця пряма буде віссю Oу прямокутної
системи координат, тоді рівняння цієї сім'ї матиме вигляд:
, (2.3)
або в параметричній формі
. (2.4)
де b=b(u), r=r(u) – задані функції параметра сім'ї u;
a - параметр положення точки на колі.
Далі, за загальним методом визначення ортогональних траєкторій [23, 65]
необхідно розв’язати рівняння (2.3) сумісно з рівнянням
, (2.5)
в якому попередньо кутовий коефіцієнт необхідно замінити на . Будемо мати
,
та, підставляючи до (2.5)
. (2.6)
Для того, щоб знайти диференціальне рівняння ортогональних траєкторій,
лишається вилучити параметр u із рівнянь (2.6) та (2.3). Але це можливо лише
при відомій залежності b, r від u та для обмеженої кількості функцій. Тобто,
для кожного випадку призначення сім’ї кіл за загальним методом необхідно
складати окреме диференціальне рівняння, розв’язати яке аналітично теж не
завжди вдається. Навіть вилучивши параметр u із (2.3) та (2.6) і розв’язавши
отримане рівняння, ми втрачаємо зв’язок ортогональних траєкторій із сім’єю кіл,
що надалі, як установлено у [73, 62] на прикладі каналових поверхонь
Іоахімсталя, приводить до того, що друга сім’я координатних ліній такої
поверхні не буде лініями кривини.
Тому зробимо інакше: застосуємо наведений
- Київ+380960830922