змістом, що буде показано на прикладі задач побудови сплайнів з специфічними властивостями []. Першими з'явилися DRP-схеми (Dispersion-Relation-Preservating (Дисперсія-Відношення-Зберігаючі)), які були оптимізовані для коротких хвиль відносно кроку сітки (хвилі з довжиною ). Основна ідея DRP-схем полягає в оптимізації коефіцієнтів схеми для точного опису коротких хвиль. В них для наближення перших похідних використовуються центральні різниці, які за своєю природою не розсіюють. Хоча схеми, що не розсіюють, спроможні заглушувати будь-які нефізичні хвилі, що викликані граничними або початковими умовами, але на практиці виникають проблеми при встановленні кількості членів розвинень похідних високих порядків, які додаються з метою усунення осциляцій [].
Якщо замість центральних різниць використовувати однобічні різниці з кроком назад в напрямку розповсюдження локальної хвилі, тоді потреба в додатковому штучному пригніченні паразитарних осциляцій зникає []. Але за допомогою цих обох різновидів DRP-схем дуже важко отримати вільні від осциляцій чисельні розв'язки, якщо поточні дані неоднорідні (наприклад, у випадку взаємодії ударних акустичних хвиль), тому що ці схеми лінійні.
Для опису ударних хвиль спочатку теж застосовували ідею додавання штучного розвинення, яке приймає великі значення в околах неоднорідностей для пригнічення осциляцій і набуває малих значень на інших проміжках з метою підтримки вищого порядку точності. Цей підхід має той же недолік, що і його аналог для коротких хвиль, - кількість членів розвинення залежить від фізичного змісту задачі.
Вплив вибору виду скінченних різниць на якість інтерполяції вперед і назад також вивчався методами геометричного моделювання у роботі [].
Інший підхід до приглушення осциляцій при описі ударних хвиль полягає в використанні обмежувачів. Прикладом такого підходу є TVD-схеми (Total Variation Diminishing (такі, що зменшують загальну кількість змінних)). Одним з недоліків цього підходу є зниження точності розв'язків в околах гладких екстремумів. Ці схеми приводять до заниження гладкого екстремуму [].
ENO-схеми (Essentially Nonoscillatory (Особливо стійкі до осциляцій)) об'єднали переваги двох останніх підходів та, по мірі можливості, усунули їх недоліки. Зокрема, на відміну від TVD-схем, вони зберігають порядок точності на всій області побудови розв'язку і в той же час стійкі до утворення осциляцій.
ENO-схеми почалися з класичної роботи Harten та інших [] і були розроблені для опису відбитих ударних хвиль. Ключова ідея ENO-схем полягає в використанні найбільш гладкого шаблону серед кількох можливих, щоб наблизити функцію з високою точністю і в той же час уникнути паразитарних осциляцій на проміжках з розривами або великими значеннями градієнтів.
За короткий час ENO-схеми швидко розвиваються через побудову їх модифікацій. З'являються WENO-схеми (Weighted Essentially Nonoscillatory (зважені особливо стійкі до осциляцій)) [], ОWENO-схеми (Optimized Weighted Essentially Nonoscillatory (оптимізовані зважені особливо стійкі до осциляцій)) [], MPWENO-схеми (Monotonicity Preserving Weighted Essentially Nonoscillatory (зважені особливо стійкі до осциляцій, що зберігають проміжки монотонності)) [].
Ефективність цих схем побудови наближених розв'язків диференціальних рівнянь була взята до уваги фахівцями з теорії сплайнів і головні ідеї підходів стали застосовувати для модифікації алгоритмів побудови сплайнів. На теперішній час сплайни є найбільш вживаними складеними кривими при розв'язанні задач інтерполяції. Серед сплайнів найбільш вживаними є сплайни третього порядку. Це обумовлюється простотою їх побудови, поєднанням з різними початковими умовами, існуванням наочної фізичної аналогії стосовно пружної рейки, що приймає форму, яка забезпечує мінімум потенційної енергії.
Але класичні сплайни в обмеженій кількості випадків демонструють властивість зберігати проміжки монотонності перших та других похідних експериментальних залежностей. В більшій мірі цією властивістю володіють напружені, параметричні та ермітові сплайни.
Для деяких практичних застосувань є ефективним використання саме нелокальних кубічних сплайнів, наприклад, при апроксимації коротких експериментальних залежностей, коли використання В-сплайнів недоцільне.
Усунення паразитарних осциляцій у таких сплайнів відбувається через надання їм властивостей зберігати проміжки монотонності експериментальної залежності. До такого підходу належать алгоритми модифікації нелокальних кубічних сплайнів, запропоновані акад. В.І.Пінчуковим (Інститут обчислювальних технологій, Сибірське відділення РАН) []. Ці алгоритми модифікації сплайнів базуються на ідеях ENO-схем пошуку розв'язків диференціальних рівнянь в частинних похідних, що описані вище. При побудові модифікованого нелокального сплайну відбувається поєднання ланок класичного кубічного сплайну та ланок сплайну, зміненого в околах розривів функції, що інтерполюється, або її похідних. Визначною рисою цих алгоритмів є локальна модифікація рівнянь системи для розрахунку коефіцієнтів сплайну. Об'єднання ланок сплайну виконується при умові неперервності першої похідної. Розглянемо ці алгоритми модифікації за умови еквідистантності вузлів інтерполяції.
Як відомо, рекурентне співвідношення між першими похідними в трьох послідовних точках нелокального кубічного сплайну має вигляд:
, ,(1.)
де ,, - значення похідних в трьох послідовних точках експериментальної залежності , - кількість експериментальних точок, - крок інтерполяції.
Перший алгоритм В.І.Пінчукова. Замінимо центрально-різницеву апроксимацію правої частини формули (1.) на мінімум за модулем значень різних апроксимацій: центральної, лівої, правої:
, (1.)
де , , ,
, .
Таким чином, в вузлах інтерполяції введені розриви другої похідної. Вони невеликі в областях гладкого розв'язку і зростають на стрибках функції, що апроксимується.
Модифікація правих частин системи (1.) дозволяє з набору формул одного і того ж порядку обирати апроксимаційну формулу з найменшими осциляційними властивостями. За дослідженнями В.І.Пінчукова якість побудованого сплайну задовільна на сходинкоподібних експериментальних залежностях, що містять одну сходинку. З зростанням складності експериментальної залежності якість апроксимації погіршується - сплайн , побудований за системою (1.), містить осциляційні структури. Але амплітуда осциляцій значно менша, ніж у класичного сплайну.
Другий алгоритм В.І.Пінчукова. З метою покращення апроксимуючих властивостей нелокального кубічного сплайну і збереженням ним проміжків монотонності експериментальної залежності В.І.Пінчуковим запропонована ще одна його модифікація.
Запишемо систему для знаходження значень похідних сплайну в вузлах інтерполяції наступним чином:
(1.)де , ,
,
В роботі [] доведено, що сплайн (1.) зберігає проміжки монотонності експериментальної залежності.
Споріднені результати раніше були отримані професором Ю.І.Бадаєвим методами геометричного моделювання в - роках при дослідженні умов збереження нелокальним сплайном проміжків опуклості [-, ]. У роботах показано, що формою сплайну можна локально керувати за допомогою введення змінних коефіцієнтів у системі рівнянь, що забезпечує неперервність других похідних у точках стику ланок сплайну. Визначені інтервальні оцінки значень цих коефіцієнтів. Проведене оцінювання стійкості запропонованих алгоритмів, яке показало, що запропоновані алгоритми стійкі, крім окремих випадків.
Інтерполяційні властивості сплайнів методами прикладної геометрії також вивчалися в роботах [, ].
Таким чином, зроблений огляд методів побудови складених кривих, що зберігають проміжки монотонності експериментальної залежності, дозволяє обрати для дослідження властивостей кривих титрування в якості інтерполяційної кривої нелокальні кубічні сплайни, які при необхідності модифікувати за алгоритмами В.І.Пінчукова.
Висновки до першого
розділу
Як показав аналіз тематики досліджень провідних наукових шкіл з прикладної геометрії, проблема пошуку ефективних методів геометричного моделювання скалярних і векторних полів різної природи в теперішній час активно вивчається представниками цієї наукової галузі. Використання геометричної інформації про форму об'єкта, який є носієм поля, про геометричні властивості відновлюваної функції дозволяє створювати нові методи побудови поверхонь, що є графічною візуалізацією досліджуваних полів. Отже, обрана нами тема дисертаційних досліджень міститься в межах пріоритетного напрямку розвитку прикладної геометрії на сучасному етапі.
Цей напрямок пов'язаний з такою загальнонауковою проблемою, як пошук методів розв'язання нетрадиційних граничних задач для рівнянь математичної фізики, до яких часто приводить практика експериментальних досліджень природних та технічних об'єктів.
Серед можливих нетрадиційних постановок граничних задач, які описані в першому
розділі, виділено задачі з дискретними, експериментально встановленими граничними умовами, задачі діагностики поля в окремих точках та їх можливі комбінації.
Аналіз позитивних якостей і недоліків відомих методів розв'язання виділених задач дозволив обґрунтувати необхідність розробки нового методу моделювання гармонічних функцій. Встановлення умов ефективного перенесення окремого результату на області довільної конфігурації дозволило запропонувати такий метод. Його основу складає ідея наближення значення гармонічної функції в досліджуваній точці завдяки усередненню результатів суперпозиції кусково-сталих апроксимацій гармонічної поверхні на низці адаптивних інваріантних шаблонів.
Інваріантної форми шаблони набувають тільки при відновленні значення гармонічної функції в центрі кола. В усіх інших випадках їх форма адаптується до геометрії границі області гармонічності та взаємного розташування досліджуваної точки та найближчої точки границі.
До переваг метода слід віднести:
* застосування конформних перетворень майже виключно до точок на границі областей (крім однієї внутрішньої - досліджуваної точки);
* використання стандартної системи шаблонів для круга;
* врахування переважного впливу найближчої точки границі та її околу на формування поля в досліджуваній точці.
Аналіз задач, які виникають при дослідженні скалярних полів, показав, що відновлення виразу інтерполянта на скінченному елементі має спільні риси з відновленням функції за дискретними граничними умовами, адже основна інформація в цьому випадку концентрується в граничних вузлах елемента. Цей висновок дозволив розширити область застосування методу усереднення адаптивних інваріантних шаблонів. Можливості удосконалення методу скінченних елементів за рахунок нового підходу до оптимізації формул наближеного інтегрування розглянуті в четвертому
розділі.
Інтерпретація поліномів С.Н.Бернштейна, як одновимірних інваріантних шаблонів, дозволила використати їх в якості конструктивних елементів для опису нелокальних кубічних сплайнів. Це довело існування можливостей ефективного використання адаптивних інваріантних шаблонів в задачах відновлення функцій, які не є гармонічними.
Таким чином можна говорити про те, що метод усереднення адаптивних інваріантних шаблонів започатковує формування нового напрямку методів геометричного моделювання скалярних полів.
В першому
розділі виділені також області практичного застосування отриманих в дисертаційній роботі теоретичних результатів.
Показано, що задачі діагностики і неперервного відновлення гармонічних функцій є математичним постановками поширених інженерних задач в машинобудівній галузі.
Отже, в першому
розділі доведена актуальність
- Київ+380960830922