Розділ 2 присвячений вивченню груп з сепаруючими підгрупами відносно системи нормальних нерозкладних циклічних підгруп.
Для цього у підрозділі 2.1 подано необхідні означення та допоміжні результати.
Нехай ? - деяка теоретико-групова властивість підгруп групи G. Тоді підгрупу Н групи G, що має властивість ?, називатимемо ?-підгрупою.
О з н а ч е н н я 2. 1. 1. Нехай ?, ? - деякі теоретико-групові властивості підгруп групи G. Групу G називатимемо Н(\?S)-групою, якщо в ній нормальні всі підгрупи із системи підгруп групи G, що не містяться в деякій власній ?-підгрупі S групи G. При цьому ?-підгрупу S називатимемо Н(\?)-сепаруючою підгрупою групи G. Перетин М всіх Н(\?)-сепаруючих підгруп групи G називатимемо її Н(\?)-сепаратором.
Система підгруп групи G, яка розглядається, складається, як правило, з усіх ?-підгруп групи G.
Будь-яка ?-підгрупа Р із Н(\?S)-групи G така, що всі підгрупи системи , які не містяться в Р, є нормальними в G, називається Н(\?)-сепаруючою підгрупою групи G. Зокрема, якщо ? - це властивість "бути власною підгрупою групи", то Н(\?S)-групи називатимемо Н(\S)-групами, або, іншими словами, групами з сепаруючими підгрупами відносно системи підгруп ? . Також групи, у яких всі підгрупи з системи ? нормальні в групі, називатимемо Н()-групами.
Серед використаних в дисертації властивостей ( - це властивість бути: довільною (в позначеннях ( опускається), нескінченною (І-), нескінченною циклічною (ІС-),примарною циклічною (РС-), нециклічною (-), нескінченною нециклічною (І-), нерозкладною циклічною (IndecC-) підгрупою групи. Замість Н(\?)-сепаруючої підгрупи та Н(\?)-сепаратора групи G, де це не викликає непорозумінь, використовуватимемо скорочене позначення - сепаруюча підгрупа та сепаратор.
У лемі 2.1.1 та наслідку 2.1.1 наведено загальні властивості класу Н(\?S)-груп. Зокрема, встановлено, що у випадку, коли ? - це властивість "бути власною підгрупою групи", то М-сепаратор Н(\S)-групи співпадає з підгрупою, породженою всіма ненормальними (-підгрупами з системи (. Будь-яка підгрупа Н(\S)-групи, що містить сепаруючу підгрупу S, сама є сепаруючою підгрупою. Також установлено, що фактор-група Н(\?S)-групи за будь-якою сепаруючою підгрупою - це дедекіндова група, а за будь-якою власною підгрупою сепаруючої підгрупи (яка сама не є сепаруючою підгрупою) буде Н(S)-групою.
У підрозділі 2.2 охарактеризовано групи з сепаруючими підгрупами відносно системи нерозкладних нормальних циклічних підгруп (тобто Н(IпdecC\S)-групи).
Відомо, що клас груп, у яких нормальними є всі нерозкладні циклічні підгрупи, співпадає з класом дедекіндових груп. При переході до розгляду груп з сепаруючими підгрупами відносно системи нерозкладних нормальних циклічних підгруп виявляється, що клас Н(IndecC\S)-груп значно ширший ніж клас Н(S)-груп (теорема 2.2.4). Тому природним є характеризація першого.
Зрозуміло, що клас Н(IndecC\S)-груп є перетином класу груп з сепаруючими підгрупами відносно системи нормальних примарних циклічних підгруп (тобто в наших позначеннях Н(РС\S)-груп) та класу груп з сепаруючими підгрупами відносно системи нормальних нескінченних циклічних підгруп (тобто Н(ІС\S)-груп). Отже, для встановлення властивостей класу Н(IпdecC\S)-груп, потрібно з'ясувати властивості класів H(PC\S)- та H(IC\S)-груп.
Т е о р е м а 2. 2. 1. Група G є Н(ІС\S)-групою тоді і тільки тоді, коли вона є групою одного з типів:
1) G - дедекіндова група;
2) G - періодична недедекіндова група;
3) G = А?, де А - неперіодична квазіцентральна абелева підгрупа групи G, |b| ? {2, 4}, A =
4) G - неперіодична група, всі ненормальні нескінченні циклічні підгрупи якої породжують власну неодиничну нормальну підгрупу К, що містить будь-який елемент нескінченного порядку групи G.
Т е о р е м а 2. 2. 2. Група G містить таку власну підгрупу S, для якої в групі нормальні всі примарні циклічні підгрупи при умові, що вони не містяться в S, тоді і тільки тоді, коли G - група одного з типів:
1) G - неодинична група з періодичною частиною Т(G), Т(G) - квазіцентральна підгрупа групи G і сепаруюча підгрупа S = 1;
2) G - група з нормальною підгрупою D = B(A, яка містить всі елементи скінченного порядку, де В - нормальна підгрупа в G, породжена деякою множиною ненормальних в G примарних циклічних підгруп, В < D, A - прямий добуток нормальних в G силовських рі-підгруп Рі, кожна з яких містить власну підгрупу Si G, і в групі G нормальні всі підгрупи Рі, що не містяться в Si, де і І, |І| > 0, pi ?(G), [A, B] = 1, а сепаруюча підгрупа S має вигляд S = B?;
3) G - група, в якій усі ненормальні примарні циклічні підгрупи породжують власну неодиничну нормальну підгрупу К, і К містить всі елементи скінченного порядку групи G, як сепаруючу підгрупу можна взяти S = K.
Т е о р е м а 2. 2. 4. Група G є Н(IпdecС\S)-групою тоді і тільки тоді, коли G є групою одного з типів:
1) G - неодинична дедекіндова група;
2) G - недедекіндова група, що є прямим добутком своїх силовських рі-підгруп Рі, і І, кожна з яких є Н(S)-групою;
3) G = A(B, де А та В - холлівські підгрупи групи G, А - підгрупа типу 1 або 2, В не може бути ні групою типу 1, ні групою типу 2, [A, B] = 1.
Теорема 2.2.4 - основний результат розділу 2.
У розділі 3 досліджуються групи з нормальними нескінченними підгрупами деяких фіксованих систем. Клас Н(І\S)-груп (тобто груп, у яких нормальними є всі нескінченні нециклічні підгрупи, що не містяться в деякій власній підгрупі групи) містить всі групи, в яких нормальними є всі нескінченні нециклічні підгрупи, (тобто Н(І)-групи) та всі групи з сепаруючими підгрупами відносно системи нескінченних підгруп (тобто Н(І\S)-групи). Зокрема, підгрупи та фактор-групи Н(І\S)-груп є Н(І)- або Н(І\S)-групами. У зв'язку з цим виникають самостійні задачі опису Н(І)- та Н(І\S)-
- Київ+380960830922