РАЗДЕЛ 2
МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ И ДИСКРЕТИЗАЦИИ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ОБЛАСТЕЙ
2.1. Методы геометрического представления сложных объектов
Проблема построения дискретной геометрической модели объекта сложной формы
является весьма сложной и актуальной. Поэтому, модуль построения геометрических
дискретных моделей – препроцессор является одной из главных частей любой
современной САПР в машиностроении и строительстве. Проблема построения
оптимальной дискретной модели также является достаточно сложной. Это
объясняется тем фактом, что к форме конечных элементов, как правило,
предъявляются следующие основные требования: 1) минимальный угол в элементе не
должен быть меньше определенной наперед заданной величины; 2) объем (площадь)
элемента также не должен превышать некоторое наперед заданной значение. При
нарушении первого критерия при численных расчетах могут возникать значительные
вычислительные погрешности, во втором случае – возможна потеря точности
вычислений внутри элемента.
Таким образом, автоматизация построения конечно-элементной геометрической
модели представляет собой весьма сложную задачу. Во втором разделе описаны
основные способы описания топологии геометрических объектов, методы и алгоритмы
их дискретизации на конечные элементы, а также алгоритмы оптимизации
полученного разбиения.
2.1.1. Твердотельное геометрическое моделирование. Одним из важнейших элементов
графического представления трехмерных объектов, а также численного расчета
напряженно-деформированного состояния проектируемых инженерных конструкций и
сооружений является построение адекватной геометрической модели обрабатываемого
области. На практике обычно приходиться сталкиваться с объектами достаточно
сложной конфигурации, что существенно усложняет построение их геометрических
моделей. В то же время требование точного соответствия модели реальному объекту
часто является определяющим (например, от качества построенной геометрической
модели во многом будет зависеть качество полученного результата при численном
решении задач математической физики).
Первой проблемой, возникающей при геометрическом моделировании, является
формализация описания геометрии обрабатываемого объекта. В настоящее время
существуют различные способы описания геометрии моделируемой области. Одним из
наиболее часто используемых подходов является использование специализированных
CAD-систем [82, 118, 124 140], позволяющих построить требуемую геометрическую
модель, как некоторую комбинацию базовых геометрических примитивов,
объединенных набором логических Эйлеровых операций. Такой подход применяется,
например, в системах ANSYS [7, 30, 31], COSMOS [26, 27, 137] и COSAR [25]. В
модулях геометрического моделирования которых – препроцессорах имеются
библиотеки таких геометрических базовых элементов как точка, линия, полигиния,
кривая (сплайн), сегмент, окружность, сфера, конус, куб и др., над которыми
определены операции объединения, пересечения и логического вычитания,
позволяющие описывать широкие классы геометрических областей.
Альтернативным подходом является использование метода реконструкции трехмерной
геометрической модели объекта по имеющимся техническим чертежам его проекций.
Например, системы AutoCAD [44, 45], SolidEdge Intergraph [43] и КОМПАС [54]
поддерживают эту возможность.
2.1.2. Описание границы области сложного объекта. Другим эффективным подходом
является некоторое параметрическое описание геометрической модели области с
помощью специализированного проблемно-ориентированного языка описания
топологии. Наиболее примитивным способом такого описания является явное задание
границы или поверхности объекта в виде некоторой конечной совокупности
граничных сегментов. Например, в системе геометрического моделирования и
конечно-элементной дискретизации GRUMMP (Generation and Refinement of
Unstructured Mixed-Element Meshes in Parallel) [140-142] для задания топологии
объекта необходимо в явном виде описать его границу. Причем в плоском случае
она описывается как некоторая совокупность опорных точек и граничных сегментов,
в качестве которых допускается использование полилиний, окружностей, сегментов,
кривых Безье и сплайнов. Причем для описания топологии объекта используется
специализированный формальный язык BDRY.
Ниже приведено изображение плоской геометрической фигуры и пример ее описания
с помощью BDRY.
# Задание количества опорных точек и граничных сегментов
8 6
# Задание координат опорных точек
-0.2 0.0
0.5 0.0
1.0 0.5
1.0 1.0
-0.2 1.0
0.5 0.5
0.72 0.0
1.0 0.28
# Задание параметров граничных сегментов
polyline r 1 b 1 5 2 3 4 0 1
circle b 2 r 1 0.45 5
bezier r 1 b 1 1 2 6 7
Для описания геометрических моделей трехмерных объектов в языке BDRY можно
использовать только полигональные граничные сегменты. Например, описание куба
будет иметь следующий вид:
8 6
-1 -1 -1
1 -1 -1
1 1 -1
-1 1 -1
-1 -1 1
1 -1 1
1 1 1
-1 1 1
polygon b 1 r 1 4 0 1 2 3
polygon b 2 r 1 4 7 6 5 4
polygon b 3 r 1 4 4 5 1 0
polygon b 4 r 1 4 5 6 2 1
polygon b 5 r 1 4 6 7 3 2
polygon b 6 r 1 4 7 4 0 3
Очевидно, что для описания геометрических моделей трехмерных областей сложной
формы такой подход практически неприемлем, так как его трудоемкость нивелирует
достоинства полученного результата.
В качестве примера можно привести язык конструирования твердотельной геометрии
– CSG (Constructive Solid Geometry) [135], позволяющий описывать геометрические
модели трехмерных областей средней сложности. Описание модели осуществляется
путем задания параметрических характеристик используемых базовых примитивов, а
также комбинации логических оператор
- Київ+380960830922