Математичне моделювання процесів ландшафтного масопереносу

РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ РУХУ ДВОФАЗНОГО ПОТОКУ В ПРОНИКНОМУ СЕРЕДОВИЩІ
НА ГРАНИЧНІЙ ПОВЕРХНІ
2.1. Постановка задачі
Розглянемо більш конкретно структуру математичної моделі руху нестискуваної
вўязкої рідини в пористому середовищі. В основі всіх моделей лежить рівняння
Навўє-Стокса [44,82,83]. При русі рідини в пористому середовищі виникає
додаткова обўємна сила [11]. Запишемо основну схему у вигляді:
(2.1)
В залежності від цілей дослідження і структури області руху проводиться
спрощення схеми (2.1) в результаті в більшості випадків рівняння (2.1) набуває
вигляду [29,37,54,71,127]:
Досить незначна кількість моделей враховує турбулентний характер руху, в
основному через коефіцієнт турбулентної вўязкості.
В роботах, які описують рух потоку з наявною твердою фазою, впливом останньої
на параметри руху несучої фази нехтують [54,104,127].
Оскільки існуючі математичні моделі істотно не відповідають структурі області і
процесам, що відбуваються на ній, їх важко уточнювати безпосередньо, тому
доцільно для досліджень в використати безпосередньо схему (2.1), з послідуючим
її перетворенням для отримання математичної моделі, яка є адекватною умовам в
.
В подальшій роботі будемо спиратися на вже описану в главі 1.2.2 структуру і
особливості процесів в ній, а також на сформульовані в главі 1.3 задачі
дослідження.
Запишемо схему (2.1) на випадок двофазного потоку, використовуючи при цьому
результати роботи [56]:
(2.2)
де — масова густина рідкої і твердої фази відповідно, ;
— об’ємна концентрація твердої фази;
— середня швидкість середовища (несучої рідини) і твердої фази відповідно, ;
— оператор Гамільтона;
— пульсаційні вектори рідкої і твердої фази відповідно;
— прискорення гравітаційних і негравітаційних (рідкої і твердої фази) сил
відповідно,;
— тензор молекулярних напружень;
— середні тензори додаткових напружень, які викликані перемішуванням рідких і
твердих частинок.
Зробимо наступні припущення:
1) конвективні члени рівнянь залежать лише від сил, які спонукаються
консервативними ландшафтними умовами – фактори, що визначаються лише
неоднорідністю ландшафту в просторі і мало змінюються в часі (певне той
проміжок часу, який займає елементарний акт масопереносу). Тобто такі елементи,
як тиск, тертя, ступінь турбулентності — обумовлються структурою граничної
поверхні.
2) локальна частина рівнянь визначається такими динамічними ландшафтними
факторами як інтенсивність опадів та інфільтрації, що виражаються через
параметр глибини потоку; та зміною в часі параметра концентрації твердої
домішки в потоці.
Враховуючи викладені припущення, є справедливим розгляд окремо зміни швидкості
потоку, яка обумовлена конвективними складовими рівняння (2.2) з наступним
врахуванням локальної зміни швидкості потоку.
Розглянемо фізичну основу процесу, який має відбуватися в середовищі при русі
нестискуваної вўязкої рідини в ньому. Виділимо умовно деякий обўєм середовища,
в якому розміщені елементи структури з певною просторовою щільністю. Таку
просторову щільність назвемо проникність nў, nў=0….1. При русі рідини в
середовищі з 0обўємного розміщення елементів структури , так і за рахунок вўязких сил тертя,
які розподіляються не тільки по поверхні, але і по обўєму. Із зменшенням nў
зростають обидві складові сил опору.
Така умова викликає зміну поперечного профілю швидкостей в потоці, причому,
якщо глибина потоку більша ніж величина виступів елементів структури , на них
формується ще один профіль швидкості.
Якщо розглядати рух турбулентного потоку, то варто зазначити, що, крім
пульсацій швидкості, які мають місце в потоці що рухається в середовищі з nў=1,
в потоці що рухається в середовищі з nў<1, очевидно, матимуть місце пульсації,
викликані наявністю елементів структури . Механізм виникнення таких пульсацій
швидкості можна пояснити наступним чином. Маємо рух рідкого обўєму V1 із
швидкістю u1, паралельно йому в тому ж напрямку рухаються обўєми V2,V3 рідини
із швидкостями u2 і u3. Нехай на даному відрізку шляху x1 (рис.2.1) u1=u2=u3.
На шляху руху обўєм V1 зіштовхується з елементом структури , огинає його і за
рахунок сил тертя, які виникають між рідиною і елементами структури , зменшує
свою швидкість. Це спонукає зменшити швидкість обўєму V2 за рахунок тертя з
обўємом V1. Таким чином, на ділянці x2 маємо співвідношення швидкостей
u1більшою, чим більше коефіцієнт вўязкості, і чим більше площа елементу структури
. Величина цієї різниці визначить величину пульсації повздовжньої компоненти
швидкості потоку. Якщо відстань x3 від даного елементу структури до іншого
досить значна, то на ділянці x3 зіштовхуються обўєми V1,V2,V3, які мають різні
швидкості. Очевидно, що частота повздовжніх пульсацій збільшуватиметься із
ростом швидкості і щільності розміщення елементів структури середовища , але,
певне, до деякої межі, коли nў® 0, пульсації швидкості повинні гаситися
елементами структури середовища . Варто відзначити, що пульсації швидкості, які
характерні для зони з nў=1, також мають гаситися при nў® 0; також в зоні з n<1
повинні мати місце взаємне гасіння пульсацій, характерних для зон з nў=1 і
nў<1, починаючи з деякого значення параметра. Аналогічний механізм виникнення
мають і поперечні пульсації швидкості.
Рис. 2.1. Механізм виникнення пульсацій швидкості, викликаних наявністю
елементів структури середовища :
а) механізм виникнення повздовжніх пульсацій;
б) механізм виникнення поперечних пульсацій.
Таким чином, шляхом внесення структурних