РАЗДЕЛ 2
ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ ЖИДКОСТИ, ВОЗМУЩЕННЫХ ПРОДОЛЬНОЙ КАЧКОЙ СУДНА НА ГЛУБОКОЙ
ВОДЕ
2.1. Линейная краевая задача гидродинамической теории качки
Рассмотрим линейную краевую задачу для потенциала скоростей жидкости,
возмущенных вынужденными продольными колебаниями судна, не имеющего хода
(1.2.26) - (1.2.30).
Обозначим через E область определения потенциала , представляющую собой часть
нижнего полупространства, ограниченную смоченной поверхностью S судна в
положении равновесия на тихой воде и свободной поверхностью . Свободная
поверхность - это плоскость z=0 вне ватерлинии . С учетом (1.2.26) - (1.2.30),
для потенциала имеет место следующая краевая задача
(2.1.1)
(2.1.2)
(2.1.3)
,;
(2.1.4)
, .
(2.1.5)
«Принцип излучения» для сформулированной гидродинамической задачи рассмотрен
ниже.
Вектор перемещения точки поверхности S определен равенством
(2.1.6)
где и ? малые нестационарные линейные и угловые перемещения судна, -
радиус-вектор точки поверхности корпуса в жестко связанной с судном системе
координат xyz.
Учитывая линейность краевой задачи, представим функцию в виде суммы
,
(2.1.7)
где ? потенциал скоростей, возмущенных продольной качкой судна на тихой воде
(потенциал излучения);
? потенциал скоростей набегающей системы регулярных волн;
? потенциал скоростей дифрагированного волнового движения.
Потенциал скоростей в системе координат, связанной с судном, имеет вид [4]
(2.1.8)
где ? частота набегающей системы регулярных волн;
? курсовой угол набегающей системы регулярных волн;
? амплитуда волнения.
Следовательно, задача отыскания сводится к определению потенциалов и . Обе
функции гармоничны и удовлетворяют граничным условиям (2.1.2) на свободной
поверхности и условиям типа (2.1.5) на большой глубине, а также принципу
излучения, согласно которому волны, вызванные качкой судна и дифракцией на нем
набегающего волнения, расходятся от судна во все стороны.
На смоченной поверхности S для функций и имеют место следующие граничные
условия [20]
, ,
(2.1.9)
, ,
(2.1.10)
где ? заданная нормальная скорость точки поверхности S.
Если поверхность S совершает малые симметричные относительно ДП продольные
колебания так, что
,
(2.1.11)
то потенциал возмущенных скоростей удобно представить в виде
(2.1.12)
В случае вертикальной качки судна с частотой по закону
(2.1.13)
где и ? амплитуды косинусной и синусной составляющих, граничное условие (2.1.9)
запишем в виде
(2.1.14)
Здесь ? угол между нормалью к поверхности S и осью OZ. В случае килевой качки с
частотой по закону
(2.1.15)
(2.1.16)
Условие (2.1.16) выписано в предположении о том, что качающееся судно является
тонким.
Рассмотрим теперь условие (2.1.10) для нормальной производной дифракционного
потенциала. Учитывая (2.1.10) и (2.1.8), находим
(2.1.17)
При выводе (2.1.17) на основании предположения о тонкости судна принято, что .
Рассматривая условия (2.1.14), (2.1.16) и (2.1.17), замечаем, что их структура
одинакова.
Поэтому граничные условия на корпусе судна можно представить в обобщенном виде
(2.1.18)
Потенциалы и являются гармоническими функциями и удовлетворяют одинаковым по
структуре граничным условиям типа (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4) и (2.1.5).
Следовательно, можно рассмотреть одну краевую задачу для этих функций, а
полученный результат конкретизировать для каждой из них, заменяя функции
fc(x,z) и fs(x,z), фигурирующие в краевом условии (2.1.18), соответствующими
значениями из краевых условий на корпусе судне.
2.2. Потенциал возмущенных скоростей при продольной качке тонкого судна
Будем считать судно тонким. В этом случае поверхность корпуса судна можно
заменить его диаметралью S0, область E – областью E0, представляющей собой
нижнее полупространство с вырезом S0, а границу ? границей , то есть плоскостью
z=0 с исключенным отрезком на оси 0x.
Потенциал возмущенных скоростей, вызванных качкой тонкого судна, представим в
виде суммы
.
(2.2.1)
Амплитудные значения косинусной и синусной составляющих потенциала должны
удовлетворять следующим дифференциальным системам:
(2.2.2)
;
(2.2.3)
, , .
(2.2.4)
На диаметральной плоскости S0 в случае продольных колебаний имеют место условия
для компонент потенциала излучения:
;
(2.2.5)
(2.2.6)
для компонент дифракционного потенциала:
;
(2.2.7)
(2.2.8)
В плоскости y = 0 вне S0 условия (2.2.5) ? (2.2.8) имеют вид:
(2.2.9)
Линейная комбинация (2.2.1) потенциалов и должна удовлетворять “принципу
излучения”.
При решении задачи используем, следуя Ю.Л. Воробьеву [74], преобразование
Фурье-Митчеля [134] для потенциалов Фc,s. Рассмотрим сначала потенциал .
Разлагая функцию в обобщенный интеграл Фурье-Митчеля по собственным функциям
дифференциального оператора на полуоси и учитывая (2.2.3), в качестве
граничного условия на свободной поверхности принимаем
. при z = 0
(2.2.10)
Положительным собственным числам соответствуют собственные функции
,
(2.2.11)
а отрицательному собственному числу собственная функция .
Формулы обращения таковы [134]:
,
(2.2.12)
(2.2.13)
(2.2.14)
Амплитуда Фc потенциала скоростей должна удовлетворять уравнению Лапласа.
Поэтому функции gc(x,y,m) и Gc(x,y) подбираются так, чтобы функция Фс(x,y,z)
была гармонической. Из (2.2.2), используя ортогональность функций e-kz и ,
получаем
(2.2.15)
(2.2.16)
Условия (2.2.7) и (2.2.8), а также (2.2.5) показывают, что на S0 нормальная
производная потенциала имеет скачок. Из этого следует, что необходимо искать
решения уравнений (2.2.15) и (2.2.16), удовлетворяющие таким условиям:
(2.2.17)
(2.2.18)
Приведенные ниже решения являются регулярными всюду вне отрезка , удовлетворяют