РОЗДІЛ 2
МОДЕЛЮВАННЯ ФІЛЬТРАЦІЇ ТА МІГРАЦІЇ ЗАБРУДНЕНЬ У ВОДОНОСНИХ ПЛАСТАХ
Методи розрахунку фільтрації грунується на розв'язку диференційних рівнянь підземної гідродинаміки або теорії фільтрації [44-60]. Відмітимо, що задачі про фільтрацію рідин і міграцію речовин у пластах є дуже складними. Це пояснюється головним чином складністю геологічних та гідрогеологічних умов та недостатньою вивченістю процесів фільтрації. Звичайно, для одержання певної фільтраційної задачі реальну природну обстановку приходиться істотно схематизувати.
У більшості випадків, слід рахувати такі передумови, а саме:
* приймається припущення, що реальні фільтраційні потоки можна осереднювати (наприклад, у вертикальному розрізі, оскільки водоносні пласти мають набагато більшу потужність у порівнянні з площею їх розповсюдження);
* при аналітичному розв'язку фільтраційних задач, як правило, приймається також, що реальні водоносні пласти можна розглядати умовно однорідними або дискретно-неоднорідними;
* задачі про міграцію забруднень звичайно розглядаються з передумовою, що фільтраційні параметри та параметри фізико-механічних властивостей ґрунтів є незалежні;
* в якості основних динамічних законів при розвязку рівнянь приймаються для фільтраційного процесу закон Дарсі, а для міграції речовин - закон Фіка з врахуванням молекулярного, конвективного переносу та дисперсії.
2.1 Математичне моделювання фільтрації рідини у пласті
2.1.1 Основні рівняння фільтрації рідини та їх аналіз
Одномірна лінійна фільтрація рідини описується класичним рівнянням Дарсі, яке має вигляд:
,
де W - швидкість фільтрації;
k - проникність пористого середовища;
? - динамічна в'язкість;
P - тиск;
x - лінійна координата.
Для нестаціонарної лінійної одномірної фільтрації рідини справедливе рівняння нерозриву, яке може бути записано в вигляді [46]:
,
де с - швидкість розповсюдження звуку в середовищі;
? - густина рідини;
t - час.
Рівняння 2.1 і 2.2 складають систему, яка у векторній формі може бути представлена:
Диференціюючи 2.1 по часу, а 2.2 - по лінійній координаті і розв'язуючи їх сумісно, можна прийди до рівняння, яке відоме у математичній фізиці під назвою рівняння теплопровідності:
,
Якщо рідина нестискувана і густина не залежить від тиску, то 2.4 може бути записане у вигляді:
,
де - кінематична в'язкість рідини.
Коефіцієнт має розмірність L2T-1 і називається коефіцієнтом п'єзопровідності пористого середовища.
Розглянемо лінійну фільтрацію рідини на відстані L вздовж координатної осі OX. Нехай починаючи з лінійної координати х1 і до лінійної координати х2 має місце шляховий відбір рідини (сток) і інтенсивністю mх. Тоді рівняння нерозривності 2.2 матиме вигляд:
де F - площа поперечного перерізу потоку;
?(х-х1); ?(х-х2) - одиничні функції Хевнайда
Розв'язуючи сумісно рівняння 2.6 з рівнянням 2.1, одержимо:
Запишемо х2=х1+х. Тоді
,
Нехай ?х>0.
де ?(х-х1) - функція джерела Дірака.
Дана функція має наступні властивості:
1.
2.
3.
4.
5.
Таким чином, задача лінійної нестаціонарної одномірної фільтрації рідини з точковим джерелом, що має лінійну координату х1, зводиться до неоднорідного рівняння теплопровідності в вигляді:
,
де - питома інтенсивність джерела.
У векторній формі рівняння (2.8) матиме вигляд:
де N - кількість точкових джерел;
xi, yi, zi - координати точкових джерел в трьохвимірному просторі.
Зауважимо, що аналогічним шляхом диференціювання рівнянь (2.1) і (2.6) можна прийти до неоднорідного рівняння типу теплопровідності відносно зміни пластового тиску в процесі нестаціонарної фільтрації рідини, яке матиме вигляд:
Або:
де 2 - оператор Лапласа;
f - функція внутрішнього джерела в пласті.
Для пластів невеликої потужності розподілом тиску по товщині пласта можна знехтувати. В такому разі задача фільтрації зводиться до реалізації двомірного рівняння (2.9) або (2.10).
Для створення математичної моделі диференціальне рівняння нестаціонарної фільтрації рідини доповнюється початковими і граничними умовами, які виражають значення функції до початку нестаціонарного процесу (початкові умови) і її зміну на границях області в плині нестаціонарного процесу (граничні умови).
2.1.2 Математична модель нестаціонарної фільтрації рідини в пласті
Диференціальне рівняння фільтрації рідини в пласті має такий вигляд [53]:
,
де Р - тиск рідини в пласті, Па;
t -час;
? - коефіцієнт теплопровідності, м2/c (?=k/??*),
k - коефіцієнт проникності пласта, що характеризує властивість пористого середовища пропускати через себе рідину під дією прикладеного перепаду тиску, м2;
? - динамічний коефіцієнт в'язкості рідини, Па?с; ?*=m ?р+?с, m - пористість середовища пласта (безрозмірна величина),
?р, ?с - коефіцієнти об'ємної пружності відповідно рідини і пласта, Па);
? - густина рідини, кг/м3;
2 - оператор Лапласа (в декартовій системі координат);
f - функція внутрішнього джерела маси в пласті,
де ?V-частина об'єму пласта;
?t - проміжок часу;
?G- маса рідини, що утворюється (виділяється) в об'ємі ?V), кг/м3·с.
Для випадку фільтрації в горизонтальній площині (двомірна задача фільтрації, фільтрація в напрямі третьої осі відсутня), маємо з (2.13):
де
Нехай маємо горизонтальний пласт (безмежний) невеликої товщини, так що зміною тиску в напрямі третьої осі Z можна знехтувати. Початковий тиск у всіх точках пласта одинаковий і рівний р0. В момент часу t=0 в точці з координатами x1, y1 почало діяти додатне джерело маси, інтенсивність якого q1 (кг/м·с), а в точці пласта з координатами x2, y2 з того ж моменту часу - від'ємне джерело, інтенсивність якого q2 (кг/м·с). У такому