РОЗДІЛ 2
ПОЛЯРИЗАЦІЙНІ СИНГУЛЯРНОСТІ. ТОНКА СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. УСЕРЕДНЕНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Отже розглянемо як пов'язані традиційні характеристики, такі як усереднені параметри Стокса і елементи матриці когерентності, якими прийнято описувати електромагнітне поле з системою особливих точок (вихорів різниці фаз, сідлових точок різниці фаз, азимута поляризації), які визначають якісну поведінку векторного поля в кожній його точці.
2.1. Усереднені параметри Стокса
Припустимо, що лазерний пучок з досить великою довжиною когерентності освітлює розсіюючий об'єкт, у загальному випадку з випадково розподіленими оптичними характеристиками, центрами розсіювання, поверхневим рельєфом і т.д. При цьому об'єкт відповідає такому класу розсіювачів, що когерентні характеристики розсіяного поля зберігаються, і в далекій зоні формується когерентне випадкове спекл-поле [116,121-122]. В далекій зоні середні розміри спекла, як відомо, визначаються поперечними розмірами світлової плями, сформованої безпосередньо за об'єктом, відстанню до точки спостереження та довжиною хвилі опромінення [102,103]. Додамо, що в далекій зоні довжина кореляції практично будь-якого параметра поля має одне і те саме значення. Отже, на далі під довжиною кореляції поля будемо розуміти саме цю універсальну величину. Зокрема середні розміри спекла дорівнюють . При цьому вимірювані традиційними методами поляризаційні характеристики поля, так чи інакше, формуються на основі усереднених по площадці фотоприймача даних. Кількість спеклів, що містяться на площадці приймача повинна бути досить великою, щоб усереднена величина мало відрізнялася від математичного очікування [116]. Іншими словами, для стійких вимірів площа приймача повинна бути такою, щоб вона покривала (залежно від необхідної точності виміру) 20-100 спеклів. Природно, що випадкові просторово-розподілені величини розсіяного випромінювання, наприклад, інтенсивність, статистично-неоднорідні і є певною функцією кута освітлення об'єкта й кута розсіювання. Однак, у малому тілесному куті, обмеженому розміром площадки фотоприймача можна вважати, з високою точністю, що характеристики поля статистично-однорідні та уздовж довільно обраного напрямку в площині аналізу розподілені по Гаусовому закону.
Таким чином, виконується умова
, (2.1)
де - площа фотоприймача,
, довжини кореляції уздовж осей , лабораторної системи координат.
Зауважимо, що у випадку симетричної світлової плями після об'єкта, для досить широкого інтервалу кутів розсіювання довжини кореляцій і практично рівні. Більше того, можна показати, що ці величини тотожно рівні при орієнтації лабораторної системи координат так, що виконується умова:
, (2.2)
де , - інтенсивності ортогональних компонент, усереднені по площадці фотоприймача. Надалі, наш розгляд будемо проводити для деякого фіксованого кута розсіювання. Оскільки саме умова (2.2) буде виконуватися, то ми будемо використати лише одну величину .
Зорієнтувавши вісь у напрямку деякого кута розсіювання , можна констатувати, що справедливими є такі твердження:
1. Виконується параксіальне наближення, якщо поперечні розміри світлової плями, безпосередньо за об'єктом, що розсіює, і розміри площадки фотоприймача (площі аналізу) набагато менше відстані між об'єктом й областю спостереження.
2. Поляризаційну ситуацію поля в площині фотоприймача перпендикулярного до осі можна описувати традиційними параметрами Стокса (як локальними, так й усередненими).
Відомо [94-97], що параметр Стокса (i=0,1,2,3) можна одержати, проводячи виміри відповідних інтенсивнісних параметрів:
. (2.3)
Очевидно, що у випадку виміру усереднених параметрів - величина усереднена по площадці фотоприймача :
, (2.4)
де - локальний інтенсивнісний параметр у довільній точці. Надалі, для простоти, множник будемо упускати, тому що він є постійним і може бути завжди врахований відповідним нормуванням.
2.2. Аналіз усереднених параметрів при розкладанні поля на лінійно-поляризовані компоненти
Відомо [98-101], що може бути виражено через компоненти матриці когерентності:
. (2.5)
Зауважимо, що (ермітова матриця). Виходячи з (2.4 і 2.5) визначається через усереднені компоненти матриці когерентності:
, (2.6)
- відповідають . Нагадаємо [1,2], що
, (2.7)
де - усереднення за часом.
При використанні когерентного, абсолютно поляризованого світла усереднення за часом "знімається" і [95], де - комплексна амплітуда ортогональних компонент. має вигляд:
, (2.8)
де - модулі амплітуд і різниця фаз ортогональних компонент.
Зауважимо, що вираз для збігається з виразом для оціночної функції, введеної в п. 1.4 (вираз (1.8)).
Тому вихорі різниці фаз можна трактувати як вихорі недіагональних елементів матриці когерентності. Нулі збігаються з нулями компонент, які, як було показано, однозначно пов'язані з поляризаційними сингулярностями (-контурами і -точками).
Усереднену компоненту матриці когерентності
. (2.9)
можна інтерпретувати як максимум кореляційної функції комплексних амплітуд ортогональних компонент [99]. Зауважимо, що швидко осцилююча функція. При цьому найбільша швидкість зміни спостерігається в районі нулів (в областях вихорів компонент), де фаза компонент змінюється від до в дуже невеликому околі, що містить центр вихору. Там же, - найменше (або , або ). У такому випадку внесок від таких областей в (2.9) мінімальний. Основний внесок в (2.9) здійснюють області стаціонарних точок , де похідна від різниці фаз змінюється повільно. Оскільки в далекій зоні кількість екстремумів різниці фаз в 15-20 разів менше ніж кількість сідлових точок цієї величини [60], надалі, під стаціонарними точками різниці фаз будемо розуміти саме її сідлові точки.
В області усереднення може бути представлено:
, (2.10)
де
, (2.10а)
- область, що містить одну стаціонарну точку різниці фа