РАЗДЕЛ 2
Подход к принятию решений при условии частичного задания начальной информации о платежной функции
2.1. Неполнота начальной информации и проблема восстановления платежной функции
Матричная игра с нулевой суммой (антагонистическая игра) является одной из наиболее применяемых в теории и практике теоретико-игровых моделей [37, 51, 53, 54, 77, 82, 83, 99, 85, 87, 81]. При теоретико-игровом моделировании обычно стремятся полностью определить значения всех компонент игры: множества всех чистых стратегий обоих игроков и значения всех элементов платежной матрицы игры. Но в реальных условиях не всегда имеется возможность полностью определить значения всех элементов платежной матрицы антагонистической игры, моделирующей некоторую задачу принятия решений. Именно это препятствует широкому использованию теоретико-игровых моделей в СППР.
Антагонистической игрой, заданной в условиях частичной определенности, назовем следующую обобщенную модификацию парной матричной игры с нулевой суммой:
1. Известно множество всех чистых стратегий первого игрока, занумерованных натуральными числами
2. Известно множество всех чистых стратегий второго игрока, занумерованных натуральными числами
3. Платежная матрица задана частично (известны значения не всех ее элементов)
Как и для классической антагонистической игры значения элементов будем интерпретировать как выигрыши первого игрока в условиях, когда первый игрок применил своючистую стратегию, а второй игрок применил своючистую стратегию. При этом каждый раз выигрыш
первого игрока совпадает с проигрышем второго игрока.
Для антагонистической игры, заданной в условиях частичной определенности, существуют номератакие, что значение элементаплатежной матрицынеизвестно. В общем случае таких элементов платежной матрицы может быть достаточно много.
Проблема решения антагонистических игр, заданных в условиях частичной определенности, на настоящее время в научной литературе практически не освещена.
В условиях риска и неопределенности возможны различные концепции поиска решения антагонистической игры с частично заданной платежной матрицей. Естественным методом поиска решения антагонистических игр, заданных в условиях частичной определенности, является корректное приведение такой игры к классической антагонистической игре, заданной в условиях полной определенности. Решение полученной антагонистической игры с полностью заданной платежной матрицей можно интерпретировать как оптимальное решение исходной антагонистической игры, заданной в условиях частичной определенности.
Игровая модель принятия решений задается тройкой,
где - множество чистых стратегий первого игро-
ка, - множество чистых стратегий второго игрока,
- частично заданная платежная матрица антагонистической игры. Здесь обязательно имеется один или несколько элементов значения которых неизвестны. Требуется найти оптимальные стратегии игроков (возможно смешанные) в антагонистической игре, заданной в условиях частичной определенности.
Ниже представлена классификация возможных информационных ситу-
ации подобно тому, как классифицированы информационные ситуации, характеризующие уровень неопределенности выбора "природой" своих возможных состояний [96, 90]. Излагаемый в этом пункте материал носит обзорный характер.
Под информационной ситуацией (ИС)будем понимать определенную степень градации, характеризующую неопределенность значений части элементовчастично заданной платежной матрицы
Классификатор информационных ситуаций может иметь следующий вид:
1. - первая ИС: все неизвестные элементы платежной матрицы являются
случайными величинами (СВ), заданными известными законами
распределения вероятностей;
2. - вторая ИС: все неизвестные элементы платежной матрицы являются заданными функциями одного или нескольких параметров;
3. - третья ИС: для всех неизвестных элементов платежной матрицы заданы свои ограничения, которым их значения должны удовлетворять;
4. - четвёртая ИС: о возможных значениях всех неизвестных элементов платежной матрицы нет никакой математической информации;
5. - пятая ИС: все неизвестные элементы платежной матрицы принимают наихудшие для первого игрока (ЛПР) значения, то есть такие значения, которые максимально мешают достижению первым игроком (ЛИР) своих целей;
6. - шестая ИС: все неизвестные элементы платежной матрицы принадлежат заданному нечеткому множеству [74, 90], то есть представляют собой нечеткие переменные с известными функциями принадлежности:
7.- седьмая ИС: промежуточная ИС между
Отметим одну особенность четвертой ИСВ случае только ИСнельзя, чтобы были неизвестны значения всех элементов платежной матрицы
Действительно, если платежная матрица полностью неизвестна и имеет место ИСто формализация антагонистической игры, заданной в условиях полной неопределенности, теряет всякий математический смысл.
Практически в случае всех ИС возможна оценка неизвестных значений элементов платежной матрицы при помощи интерполирования (и/или экстраполирования) соответствующих функций, или же используя методы распознавания образов.
Рассмотрим некоторые возможные методы преодоления неопределенности.
В случае ИС все неизвестные элементы платежной матрицы являются СВ, заданными своими законами распределения. Здесь целесообразно заменить все элементы платежной матрицы, являющиеся заданными СВ, значениями некоторых числовых характеристик этих СВ: ожидаемыми значениями (математическими ожиданиями), модальными значениями, а так же дисперсиями, среднеквадратичными отклонениями, коэффициентами вариации и другими числовыми характеристиками этих СВ.
В случае ИС все неизвестные элементы платежной матрицы являются заданными функциями одного или нескольких параметров. Одним из подходов поиска решения антагонистической игры, заданной в условиях частичной определенности, применение которых возможно в случае второй ИС, может быть исследование влияния возможных значений этих