РОЗДІЛ 2
АНАЛІЗ ІНТЕГРОВНОСТІ НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ
СИСТЕМ
2.1. Симплектичні структури і нелінійні динамічні системи
Розглянемо нескінченновимірний многовид М, який, наприклад, можна реалізувати за допомогою деякого спеціального підпростору простору гладких вектор-функцій на замкненій множині , де т, п - деякі натуральні числа.
Як і в скінченновимірному випадку, динамічною системою на М називається однопараметрична група автоморфізмів простору М з інваріантною мірою ? на ?-алгебрі вимірних підмножин многовиду М.
Нескінченновимірна динамічна система записується в локальних координатах многовиду М як рівняння в частинних похідних
де - деякий локальний функціонал на М, гладкий за Фреше. В достатньо загальному вигляді функціонал К[и] можна представити у вигляді , де , - гладке відображення простору джетів в , . Множину гладких за Фреше функціоналів на М будемо позначати через D(М).
Для будь-яких через
позначимо білінійну форму на Якщо многовид М є -періодичним, тобто реалізований з допомогою простору -періодичних гладких вектор-функцій , то інтеграл в обчислюється за періодом.
Оператор називається кососиметричним відносно білінійної форми , якщо для всіх виконується рівність
Визначимо для довільного елементу оператор , що діє за формулою , де - варіаційна похідна Ейлера. Зокрема, якщо и = (и1,и2,...,ип), то
Для функціонала , визначеного відповідно до формули
згідно справедливі рівності
Якщо введений вище оператор додатково задовольняє тотожності Якобі
то функціонал є дужкою Пуассона для елементів . Відзначимо, що умову необхідно перевіряти в кожному конкретному випадку окремо, оскільки оператор в загальному випадку є операторнозначним функціоналом на многовиді М.
Кососиметричний оператор називається ньотеровим для динамічної системи , якщо його похідна Лі в напрямку векторного поля К дорівнює нулеві, тобто
де "*" - звичайне спряження відносно білінійної форми , штрих - похідна Фреше, яка для довільного локального функціонала на М із значеннями в лінійному просторі Е обчислюється згідно формули
,
У випадку лінійного простору М із отримаємо
де
Якщо для невиродженого ньотерового оператора справедлива умова імплектичності, тобто для всіх виконується рівність
то оператор називається імплектичним або обернено симплектичним. Якщо ж до того існує обернений оператор , то оператор називається косимплектичним, а - симплектичним. Очевидно, якщо оператор , як функціонал, на М сталий, то він необхідно імплектичний. Надалі для дослідження нелінійних динамічних систем вигляду при визначенні функціонала як кососиметричного оператора використовуються імплектичні і ньотерові оператори, тобто оператори, що задовольняють додатково умовам і . Введений таким чином функціонал задовольняє всім властивостям стандартної дужки Пуассона (кососиметричність, білінійність, диференційовність за кожним з аргументів; формула Лейбніца, тотожність Якобі, перевіряються безпосередніми обчисленнями), а пара задає на многовиді М пуассонову гамільтонову структуру, з допомогою якої зручно проводити аналіз інтегровності нелінійних динамічних систем вигляду (2.1).
Функціонал називається законом збереження для динамічної системи , якщо величина завдяки задовольняє рівнянню
,
або в явному вигляді
де - як і раніше, похідна Лі [] вздовж векторного поля .
Динамічна система називається гамільтоновою, якщо справедливе представлення
де - функція Гамільтона (закон збереження), що задає систему . Якщо існує ще один (лінійно незалежний з ) розв'язок рівняння , а саме імплектичний і ньотеровий оператор , то необхідно існує нова функція Гамільтона , така, що виконується рівність
У цьому випадку динамічна система називається бігамільтоновою.
Функціонал (векторне поле) називається однорідною симетрією динамічної системи , якщо
і відповідно, функціонал (векторне поле) називається неоднорідною симетрією для динамічної системи , якщо
Має місце таке твердження [].
Твердження 2.1. Якщо - кососиметричний оператор, то наступні твердження еквівалентні:
1. оператор є імплектичним;
2. оператор є ньотеровим для динамічної системи ;
3. для любих функціоналів справедлива тотожність:
Наслідок 2.1. Для бігамільтонової динамічної системи оператори , є ньотеровими.
Із отримуємо як простий наслідок, що локальний функціонал представляється у вигляді де - закон збереження для динамічної системи , тоді й тільки тоді, коли оператор ньотерів, а функціонал ? задовольняє рівняння
тобто імплектичний оператор переводить градієнти однорідних (не залежних явно від еволюційного параметра ) законів збереження в однорідні симетрії.
Динамічна система називається цілком інтегровною (за Лаксом), якщо вона володіє нескінченною ієрархією законів збереження які знаходяться в інволюції відносно деякої симплектичної структури.
Динамічна система володіє зображенням типу Лакса, якщо співвідношення служить умовою операторного рівняння
де - деякі лінійні диференціальні оператори, що діють в просторі і є на М функціоналами, параметрично залежні від , - звичайний комутатор.
Зображення типу Лакса є вихідним пунктом у методі оберненої задачі теорії розсіяння, за допомогою якого в останні 30 років досягнуто значні успіхи у дослідженні нелінійних динамічних систем, які задаються диференціальними рівняннями в частинних похідних. Істотним моментом даного методу є інваріантність згідно рівняння спе