РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ИЗЛУЧЕНИЯ МНОГОЛУЧЕВОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ЗЕРКАЛЬНОЙ АНТЕННЫ
2.1 Основные геометрические параметры спиральных излучателей
При расчете распределения тока на поверхности спирального излучателя и его характеристик излучения нам потребуются уравнения, описывающие геометрическую форму проводника в пространстве. Поскольку основой всех исследуемых вариантов излучателей является равношаговая спираль на круговом цилиндре, то вначале необходимо рассмотреть этот случай. Затем, используя полученные соотношения, можно перейти к анализу модифицированной спирали на сфероцилиндрической поверхности.
Равношаговая спираль на круговом цилиндре. Эта спираль может быть задана несколькими различными способами, в зависимости от того, какие параметры считаются известными. В нашем случае будем полагать известными радиус цилиндра a, количество витков nc и угол намотки спирали ?c. Геометрическая форма исследуемой спирали и построения, поясняющие введенные параметры, показаны на рис. 2.1.
Введем обобщенный угловой параметр спирали ? , смысл которого ясен из рис. 2.1. При обходе по длине спирали ? меняется от 0 (в точке возбуждения) до значения ?max=2?nc (в конце спирали). В случае равношаговой спирали справедливы следующие параметрические уравнения для декартовой системы координат [89-91]:
(2.1)
Выполняя дифференцирование (2.1) по параметру ?, получаем:
Рис. 2.1. Равношаговая спираль на круговом цилиндре
(2.2)
Полученные выражения (2.1) и (2.2) содержат всю информацию о форме спирали, необходимую для дальнейших исследований.
Спираль на сфероцилиндре. Рассматриваемый в данной работе сфероцилиндрический спиральный излучатель представляет собой комбинацию двух участков спирали. Первый участок образован равношаговой спиралью на круговом цилиндре, а второй - дополняющей спиралью, навитой особым образом на часть сферической поверхности, сопряженной с круговым цилиндром. При этом кривизна проводника на сопрягаемых поверхностях меняется плавно, без изломов.
Для цилиндрической части спирали, как и ранее, будем полагать известными радиус цилиндра a, количество витков nc и угол намотки спирали ?c. В дополнение к этому примем, что используемая часть сферической поверхности, имеющей тот же диаметр 2a, что и цилиндр, ограничена окружностью диаметра dmin, полученной сечением полусферы плоскостью, проходящей через конец спирали параллельно плоскости XOY (показана на рис. 2.2). На используемой части полусферы размещено nsf витков, при этом угол между проводником спирали и параллелью сферы в точке сопряжения равен ?sf1, в конце спирали - ?sf2, а между ними меняется по некоторому закону ?sf(?).
Введенные параметры позволяют наиболее простым способом осуществить соединение спиралей, расположенных на сопрягаемых поверхностях. Геометрическая форма исследуемой спирали и построения, поясняющие введенные параметры, показаны на рис. 2.2.
Для участка спирали, расположенного на цилиндрической поверхности, все необходимые соотношения получены в предыдущем пункте, поэтому дальнейшие рассуждения касаются только участка спирали, расположенного на сферической поверхности.
Рис. 2.2. Модифицированная спираль на сфероцилиндре
Сфероцилиндрическая спираль не будет иметь излома, если угол намотки спирали в месте сопряжения поверхностей сферы и цилиндра меняется плавно.
Поэтому для участка цилиндрической спирали в непосредственной близости от места соединения угол наклона спирали будет тем же, что и для примыкающего к нему участка спирали, расположенного на сферической поверхности: ?c = ?sf1.
Из рис. 2.2 следует, что для участка спирали на сферической поверхности
(2.3)
(2.4)
Подставляя (2.3) в (2.4), приходим к выражению:
(2.5)
Полученные формулы определяют проекции элемента спирали в сферической системе координат, показанной на рис. 2.2. Из них путем интегрирования можно получить параметрические уравнения для сферических координат элемента спирали dl :
(2.6)
Соотношения (2.6) в декартовой системе координат имеют вид:
(2.7)
Выполняя дифференцирование (2.7) по параметру ? и подставляя (2.5), получаем:
(2.8)
Таким образом, остается определить закон намотки ?sf(?) на части сферической поверхности, ограниченной окружностью диаметром dmin, при котором справедливы соотношения (2.3)...(2.8). Для этого обратимся к рис. 2.3, из которого следует, что функция ??f(?), реализующая этот закон, должна обладать следующими свойствами.
Во-первых, она должна проходить через две узловые точки - точку сопряжения и конец спирали, в которых известны значения этой функции и ее первой производной.
Во-вторых, поскольку переход от точки сопряжения по спирали к точки питания должен быть как можно более плавным, то искомая функция ??f(?) должна иметь наименьшую возможную кривизну.
В-третьих, анализ возможных значений ?c и ?sf2 показывает, что возможны 3 характерных случая по отношению к прямой, проходящей через начало координат (рис. 2.3) с угловым коэффициентом
(2.9)
где :
1. или . В этом случае искомая функция ??f(?) лежит по одну сторону от прямой с угловым коэффициентом (2.9).
2. или . В этом случае искомая функция ??f(?) пересекает прямую (2.9) на рассматриваемом участке.
3. В этом случае равношаговой (равноугольной) спирали искомая функция ??f(?) совпадает с прямой (2.9).
Во всех возможных случаях искомая функция ??f(?) на рассматриваемом отрезке содержит не более двух локальных экстремумов, поэтому может быть интерполирована одним полиномом третьей степени. При этом наиболее плавная функция, как известно, будет получена при кубической сплайн-интерполяции.
Запишем интерполирующий полином в виде:
(2.10)
Используя известные значения геометрических параметров, можем записать:
(2.11)
Выполняя дифференцирование (2.10) по параметру ? и подставляя соответствующие значения параметров из (2.11), п