РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ РУХУ РІДИНИ В ТРІЩИНУВАТО-ПОРОВИХ ПОРОДАХ З ТОНКИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ ТА В БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ СЕРЕДОВИЩАХ З ТРІЩИНУВАТО-ПОРОВИМИ СКЛАДОВИМИ
2.1. Математичні моделі руху рідини в тріщинувато-порових
породах з слабкопроникливим прошарком
Нехай тіло складається із двох тіл та слабкопроникливим прошарком , що їх розмежовує (рис. 2.1). Вважатимемо, що -
тріщинувато-порові середовища.
Рис. 2.1
Слідуючи [4-8], рух рідини в таких середовищах описується псевдопараболічним рівнянням, яке у загальному випадку можна записати для наступним чином:
(1.1)
де .
Будемо вважати, що взаємодія потоків рідини областей між собою відбувається по нормалі до серединної поверхні g прошарку товщини d (, де L - характерний розмір областей ). При цьому вважаємо, що рух рідини вздовж поверхні g відсутній.
Припустимо, що напір и по товщині прошарку для кожного змінюється лінійно
(1.2)
і рух рідини по заданій нормалі відбувається відповідно до закону Дарсі:
(1.3)
без втрати на самому прошарку, де k0 ? коефіцієнт фільтрації прошарку .
Ці припущення дозволяють записати наступні рівності:
, (1.4)
, (1.5)
де ? граничне значення функції ?, коли точка декартової системи координат в області прямує до .
Умови (1.4), (1.5) ? це умови, що виражають неперервність потоку та пропорційність потоку, що переходить з одної області до другої, стрибку напору, з коефіцієнтом пропорційності r.
Якщо d = 0, то маємо умову неперервності потоку (1.4) і з (1.5), в силу обмеженості потоку через ?, отримуємо неперервність напору
. (1.6)
Якщо k0 = 0, то водні потоки областей не взаємодіють і на маємо умови
(1.7)
де n ? орт нормалі до ?, спрямований в область . Цей орт ще будемо називати просто нормаллю.
Нехтуючи товщиною прошарку , тобто замінюючи його серединною поверхнею ?, для опису руху рідини в тріщинувато-поровому середовищі , що складається з двох тріщинуватих порових середовищ , розділених тонким слабкопроникливим прошарком ?, отримуємо наступну початково-крайову задачу для псевдопараболічного рівняння.
В області рівняння руху рідини має вигляд:
, (1.8)
де
Умови спряження тонкого слабкопроникливого включення:
(1.9)
(1.10)
Крайові умови:
, (1.11)
, (1.12)
, (1.13)
де ?? g, ?? ? ? відомі, при .
При t ? 0 маємо початкову умову
, (1.14)
де .
Позначимо .
Визначення 1.1. Класичним розв'язком початково-крайової задачі (1.8)?(1.14) називається функція u(x, t)?М, що задовольняє рівності (1.8)?(1.14).
Позначимо де ? простір Соболєва.
Нехай u(x, t) ? класичний розв'язок початково-крайової задачі (1.8)? (1.14). Легко бачити, що він задовольняє тотожності
(1.15)
(1.16)
де
, (1.17)
Визначення 2.1. Узагальненим розв'язком початково-крайової задачі (1.8)?(1.14) називається функція u(x, t)?Н, яка задовольняє тотожності (1.15), (1.16), де .
Легко бачити, що класичний розв'язок початково-крайової задачі (1.8)?(1.14) також є її узагальненим розв'язком.
Також не важко переконатись, що коли узагальнений розв'язок u?М, то він є класичним розв'язком задачі (1.8)?(1.14), де умови спряження (1.9), (1.10), як і крайові умови (1.12), (1.13), виконуються автоматично, тобто вони є природними.
Зауваження 1.1. Якщо d = 0, тобто для випадку умов спряження (1.9), (1.6) і для початково-крайової задачі (1.8), (1.9), (1.6), (1.12)?(1.14) узагальнена задача має вигляд (1.15), (1.16), де білінійна форма a0(???) визначена відповідним виразом (1.17), а
2.2. Математичні моделі руху рідини в тріщинувато-порових
середовищах, що вміщують тришарове тонке включення
На рис. 2.2 зображене тришарове тонке включення ? слабкопроникливі включення, а ? сильнопрониклива складова.
Рис. 2.2
Будемо вважати, що серединні поверхні складових паралельні серединній поверхні ? складової , а в кожний момент часу t напір h постійний по нормалі до ? у включенні , тобто .
Нехай у включенні , напір у фіксований момент часу змінюється лінійно по товщині: у від а у ? від тобто
В припущеннях виконання закону Дарсі у включеннях та неперервності потоків в комплексах маємо
(2.1)
(2.2)
де q? ? кількість рідини, що виходить з області і проходить без втрат через а q+ ? кількість рідини, що виходить з без втрат через через одиничну площу.
На основі (2.1), (2.2) маємо
, (2.3)
, (2.4)
де ? ? потужність джерела чи стоку на сильнопроникливій складовій ; .
Отже, вплив тришарового тонкого включення на рух рідини в тріщинувато-поровому середовищі описується початково-крайовою задачею (1.8), (1.11)-(1.14), (2.3), (2.4).
Нехай u(x, t) - класичний розв'язок початково-крайової задачі (1.8), (1.11)-(1.14), (2.3), (2.4). Легко бачити, що він задовольняє наступні тотожності:
(2.5)
(2.6)
де білінійна форма a0(???) визначена відповідним виразом (1.17), а
Визначення 2.2. Розв'язок задачі (2.5), (2.6), тобто функція u(x, t)?Н= яка задовольняє тотожності (2.5), (2.6), називається узагальненим розв'язком початково-крайової задачі (1.8), (1.11)-(1.14), (2.3), (2.4), а сама задача (2.5), (2.6) ? узагальненою задачею, що відповідає цій початково-крайовій задачі.
Зауваження 2.1. Умови спряження (2.3), (2.4) є природними.
Зауваження 2.2. Із складеного включення можна виділити деякі частинні випадки:
1) відсутня складова - нижня частина тріщини покрита дрібними щільно укладеними частинками;
2) відсутня складова - відсутня тріщина;
3) відсутня складова - утворена тріщина під слабкопроникливим прошарком.
Для цих випадків умови спряження, білінійна форма a(???) та лінійний функціонал l(?), відповідно мають вигляд
1) (2.7)
2) , (2.8)
, (2.9)
3) (2.10)
Оскільки практично важко визначити параметри то з метою більш точного відображення впливу складеного тонкого включення можна дещо збурити умови (2.3), (2.4), записавши їх таким