РАЗДЕЛ 2
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ
УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ
В предыдущем разделе был выделен класс управляемых объектов, которые были
названы квазистатическими. Основной особенностью таких объектов управления
следует считать однозначно зависимость выходных координат от входных в текущий
момент времени. Такое упрощение объекта управления позволяет рассматривать его
математическую модель в виде алгебраических соотношений, связывающих вход и
выход, в отличие от реально существующих связей вход-выход в виде систем
дифференциальных уравнений. Как было отмечено ранее, характерным качеством
многих технологических процессов является разнотемповость взаимодействующих
между собой сепаратных подпроцессов, что позволяет снизить порядок системы
дифференциальных уравнений, моделирующих объект управления. Квазистатические
процессы можно считать предельным случаем разнотемповых, при котором
размерность подсистемы, описываемой дифференциальными уравнениями, становится
равной нулю. Теория управления, основные положения которой ориентированы на
динамическую модель управляемых процессов, не может напрямую быть перенесена на
квазистатическую математическую модель, заданную в алгебраической форме. В то
же время, показано, что алгебраические соотношения могут быть преобразованы в
дифференциальную форму, удобную для адаптации методов теории управления,
применительно к квазистатическим процессам. Целью настоящего раздела является
адаптация ряда положений теории управления динамическими системами к
квазистатическим управляемым процессам.
2.1. Критерии квазистатичности управляемых процессов
Представление динамических процессов квазистатическими нашло широкое
применение в классической термодинамике. В [9] приведены различные критерии
оценки равновесности управляемых процессов применительно к физическим объектам.
В [23] предложен критерий сравнения скоростей изменения выходных координат и
внешних воздействий, однако какие-либо рекомендации по его использованию для
практических приложений отсутствуют. В работах [25, 26] предложен подход к
оценке адекватности динамических и статических математических моделей ТП, суть
которого состоит в непосредственном сравнении результатов математического
моделирования ТП для заданного класса внешних воздействий.
Как было отмечено выше, большинство реальных управляемых технологических
процессов могут быть описаны системами обыкновенных дифференциальных уравнений
(2.1)
где - - мерная, непрерывная вектор-функция своих аргументов, - вектор
состояния, - вектор воздействия, включающий контролируемые и неконтролируемые
компоненты, принадлежащий некоторой замкнутой области допустимых управлений .
Относительно функции будем предполагать, что она содержит только вынужденную
составляющую, обусловленную воздействием . Свободная составляющая,
обусловленная начальными условиями, предполагается стремящейся к нулю на
временном интервале значительно меньше - времени функционирования системы.
Особый интерес для целей настоящего исследования представляет множество
установившихся или равновесных режимов управляемой системы, обусловленные
правой частью (2.1):
. (2.2)
Будем называть систему (2.1) невырожденной, если каждому значению
соответствует единственное физически реализуемое равновесное состояние .
Подмножество равновесных состояний будем называть устойчивым, если любое
положение равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову. Если , то такую
систему будем называть абсолютно устойчивой.
Квазистатической моделью абсолютно устойчивой системы будем называть
отображение : , ставящее в соответствие каждому воздействию некоторую
статическую траекторию , определяемую множеством решений системы алгебраических
уравнений
для последовательности .
Предположим, что множество допустимых воздействий, рассматриваемых как
множество функций времени, принадлежит некоторому заданному классу функций . В
дальнейшем ограничимся классом , представляющим собой множество всех
непрерывных ограниченных функций, имеющих ограниченные производные до -го
порядка включительно, а производные более высоких порядков равными нулю:
. (2.3)
Управляемый процесс будем называть квазистатическим порядка по отношению к
воздействиям класса , если для любой вынужденной составляющей решения системы
(2.1), обусловленной воздействием и соответствующей статической траекторией
выполняется условие близости - го порядка
, (2.4)
где - некоторое заданное положительное число.
В частном случае при , т.е. при близости функций нулевого порядка условие (2.4)
примет вид
, . (2.5)
В качестве нормы функции могут быть выбраны любые известные виды норм в
функциональном пространстве.
2.1.1. Критерии квазистатичности для линейной управляемой системы
Найдем условия квазистатичности для случая линейного стационарного
управляемого объекта, математическая модель которого имеет вид
, (2.6)
где - гурвицева матрица, а - матрица воздействий размерности .
Для нахождения вынужденной составляющей решения (2.6), обусловленной
воздействием , воспользуемся методом аналогичным методу коэффициентов ошибок,
широко применяемом для анализа и синтеза одномерных автоматических следящих
систем. В работе [22] рассматривается развитие этого подхода для многомерных
объектов заданных системой дифференциальных уравнений в пространстве состояний.
Там же отмечено, что предлагаемый метод практически невозможно реализовать в
связи с необходимостью обращения полиномиальных матриц. Ниже рассмотрен более
простой путь нахождения вынужденной составляющей решения
- Київ+380960830922