РАЗДЕЛ 2
Численное интегрирование уравнений переноса загрязняющих веществ в атмосфере
Одним из важных вопросов в проблеме теоретического решения задачи о переносе
примесей является выбор расчетного метода, в основе которого лежит комплекс
задач по защите атмосферы от загрязнения. Нередко выбор расчетного метода
оказывает самое значительное влияние на итог решения задачи. В настоящей главе
рассмотрено построение попеременно-треугольных неявных разностных схем
расщепления, которые используются в работе для решения задач о миграции
примесей (токсичного вещества, нейтрализатора) в атмосфере.
Выбор данных схем объясняется тем, что на каждом дробном шаге расчет
неизвестной величины осуществляется по явной формуле – формуле бегущего счета.
Это, с одной стороны, дает возможность простой «программной» реализации
применяемых разностных соотношений, а с другой - обеспечивает экономичность
расчетов.
Рассмотренные разностные схемы положены в основу построенных расчетных методов,
которые являются научным сопровождением различных технических мероприятий по
защите атмосферы и базируются на численном моделировании процессов переноса
токсиканта, нейтрализатора.
Четырехшаговая попеременно-треугольная разностная схема
для численного интегрирования двумерного уравнения
переноса загрязнения
Рассмотрим построение неявной разностной схемы численного интегрирования
уравнения переноса и диффузии загрязняющего вещества.
Процесс переноса загрязнения в атмосфере в случае двумерной постановки задачи,
описывается уравнением [61]
, (2.1)
где u, v – компоненты вектора скорости воздушного потока;
- координаты точечного источника выброса, .
Остальные параметры, входящие в данное уравнение, рассмотрены в п.1.2.
Граничные и начальные условия для данного уравнения обсуждаются в гл.1.
Построим абсолютно устойчивую неявную разностную схему для решения уравнения
(2.1) в области , разбитой равномерной прямоугольной сеткой. Неизвестное
значение концентрации загрязнения будем определять в центре разностных ячеек, а
компоненты вектора скорости u, v задавать на сторонах ячеек (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Схема размещения расчетных узлов
Производную за временем аппроксимируем разделенной разностью «назад»:
Конвективные производные запишем в виде
где ; ; ; .
Аппроксимируем конвективные производные разделенными разностями «против потока»
на верхнем временном слое следующим образом:
Компоненты скорости u будем определять на вертикальных гранях разностных ячеек,
а компоненты скорости v - на горизонтальных гранях. Индексы этих граней
отвечают индексам ячеек, расположенных правее или выше соответствующей грани
(рис. 2.1).
Вторые производные аппроксимируем так:
Здесь - условные обозначения разностных операторов. С учетом приведенных выше
обозначений запишем разностный аналог уравнения (2.1):
(2.5)
Обозначим числом 1 или 0, в зависимости от того, расположен или нет в
разностной ячейке "і,j" источник загрязнения. Значение равняется интенсивности
qk соответствующего k-го источника, размещенного в разностной ячейке "і,j",
делимой на площадь этой ячейки:
Расщепим разностное уравнение (2.3) на четыре разностных уравнения так, чтобы
на каждом шаге учитывалось лишь одно направление переноса примеси,
обусловленное знаком при конвективных производных. В этом случае разностные
уравнения имеют вид:
на первом шаге расщепления k = + n:
на втором шаге расщепления ; :
на третьем шаге расщепления ; :
на четвертом шаге расщепления ; :
В дискретном виде дельта-функцию Дирака «размажем» на одну разностную ячейку
так, чтобы сохранить суммарное количество qі загрязняющего вещества, которое
выбрасывается из всей площади разностной ячейки. В таком случае в разностные
уравнения входит значение мощности точечного выброса . Функция тождественно
равняется нулю во всех ячейках, кроме тех, где расположен источник выброса
загрязняющего вещества.
Необходимо отметить, что на каждом шаге расщепления приведенных выше разностных
уравнений при аппроксимации вторых производных используется два временных слоя,
аналогично аппроксимации вторых производных в методе В. К. Саульева. На верхнем
временном слое вычисляется та часть разностных операторов , , которая
согласовывается с направлением разделенной разницы для конвективной
производной. Через одностороннюю аппроксимацию конвективных производных такой
подход разрешает использовать значение неизвестной функции ц в трех разностных
узлах на верхнем временном слое для каждого шага расщепления.
Поскольку на каждом шаге расщепления шаблон разностных уравнений имеет
треугольную форму на верхнем временном слое, неизвестное значение функции ц
можно легко найти по методу «бегущего счета» [49].
Использование явных формул для определения неизвестного значения концентрации ц
загрязняющего вещества на каждом шаге расщепления позволяет построить
эффективный численный алгоритм интегрирования исходного дифференциального
уравнения, в то же время являющийся абсолютно устойчивым [49].
Начальное условие для каждого уравнения расщепления записывается так:
, .
Неявная разностная схема для численного интегрирования
трехмерного уравнения переноса примеси в атмосфере
Как известно, для получения более точной прогнозной информации, процесс
математического моделирования переноса ТВ необходимо осуществлять на базе
пространственной (трехмерной модели) [61]. В этом случае появляется возможность
задавать профиль скорости ветра. В данной работе для описания миграции
токсичного вещества (или нейтрализатора) в атмосфере используется трехмерное
уравнение переноса примеси:
где С – концентрация загрязнителя (нейтрализатора) в единице объема воздуха;
u,