РАЗДЕЛ 2
Математическая модель количественного описания термомеханических процессов в упруго-пластических телах цилиндрической формы и цилиндрических оболочках
Приведем основные положения математической модели для описания термомеханических процессов в упруго-пластических телах цилиндрической формы и цилиндрических оболочках. Дадим геометрически линейную постановку пространственных нестационарных связанных задач теории термо-упруго-пластичности. Запишем основные уравнения. Это уравнения теплопроводности, уравнения движения, геометрические соотношения и определяющие уравнения, описывающие неизотермические процессы нагружения, как по прямолинейным траекториям деформирования, так и по траекториям деформирования малой кривизны с учетом истории нагружения. В общем виде сформулируем граничные и начальные условия.
Приведем основные сведения о кубических В-сплайнах и о напряженных сплайнах.
§ 2.1. Теплообразование в телах цилиндрической формы при воздействии циклически изменяющихся нагрузок
Используя основные соотношения термодинамики, можно определить скорость диссипации энергии для различных физических состояний твердых тел при термомеханических процессах, которые характеризуются деформациями и температурой. В результате для определения температурного поля получим уравнение теплопроводности с внутренним источником тепла, который характеризуется функцией рассеяния [50].
2.1.1. Нестационарное трехмерное уравнение теплопроводности. Температурное поле для изотропного тела в случае учета тепла, выделяемого в процессе его циклического деформирования, определяется путем решения нестационарного уравнения теплопроводности при определенных начальных и граничных условиях
, (2.1)
где - функция рассеяния, Hi -параметры Ляме (i= 1, 2, 3), точкой обозначены производные по времени
, (2.2)
, , , .
Здесь - соответственно девиаторы тензоров напряжений и деформаций, - тензоры напряжений и деформаций.
Начальное распределение температуры в теле, соответствующее естественному ненапряженному состоянию тела, задается так
при t =0. (2.3)
Граничные условия, которые отражают влияние окружающей среды на температуру тела, задаются следующим образом
, (2.4)
где - внешняя нормаль к поверхности тела, ?? - коэффициент линейного теплового расширения, ? - коэффициент теплообмена, ? - температура окружающей тело среды, q - тепловой поток.
В общем случае величины ?, ?, q. могут зависеть от времени и положения точки (?1, ?2, ?3) на поверхности трехмерного тела V. Условие (2.4) при различных значениях коэффициента ? содержит три вида граничных условий. Граничные условия первого рода заключаются в том, что на поверхности тела в каждый момент времени задано распределение температуры (). Граничные условия второго рода задают тепловой поток q через поверхность тела (). Граничные условия третьего рода формулируют закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой при заданной величине .
2.1.2. Осесимметричное температурное поле.
Рассмотрим случай, когда при решении задачи используется цилиндрическая система координат (?1= r; ?2= ?, ?3= x). В этом случае параметры Ляме определяются так . В результате уравнению (2.1) можно придать вид
(2.5)
Для определения осесимметричного температурного поля нужно найти решение такого уравнения
(2.6)
Таким образом, уравнение теплопроводности (2.6), (2.2) совместно с начальными условиями (2.3) и граничными условиями (2.4) позволяют определить осесимметричное температурное поле в цилиндрическом теле, если в каждый момент времени известна величина . Для ее определения, в случае циклического нагружения, нужно в текущий момент времени знать решение соответствующей нестационарной задачи термомеханики.
§ 2.2. Постановка нестационарной задачи термомеханики для пространственных тел цилиндрической формы
Основной задачей нестационарной теории термо-упруго-пластичности является определение температурного поля, перемещений (скоростей перемещений) и компонент тензоров напряжений и деформаций, возникающих в пространственном теле в процессе его нагружения и нагрева, когда некоторые элементы тела работают за пределом упругости материала. Процесс нагружения будем рассматривать развивающимся во времени, что может вызвать движение отдельных частей тела.
Пусть первоначально изотропное и однородное трехмерное тело V, ограниченное поверхностью S, в начальный момент времени t=0 находится в естественном ненапряженном состоянии при температуре T0 (?i), где ?i - оси произвольной ортогoнальной системы координат, i = 1, 2, 3. Затем тело подвергается нагреву и нагружению внешними силами. Это могут быть объемные силы , воздействующие на каждый элемент тела, и поверхностные силы , действующие на части поверхности тела . На другой части поверхности тела Sv, которая может быть определенным образом закреплена, задаются скорости перемещений . Предположим, что нагрев и нагружение тела протекают так, что возникающие деформации могут существенно влиять на изменение температуры этого элемента. Будем рассматривать такие процессы нагружения и уровни температур, при которых pеологические свойства материала не проявляются. Конфигурация тела задается уравнением поверхности , которая ограничивает его. Кроме этого, нужно задать теплофизические и механические характеристики материала тела и условия его теплообмена с окружающей средой. Теплофизические свойства материала характеризуются коэффициентами теплопроводности ? и температур