РОЗДІЛ 2
НОВИЙ ПІДХІД ДО ЧИСЕЛЬНОЇ РЕАЛІЗАЦІЇ МЕТОДУ ЛІДР
У ДВОВИМІРНОМУ ВИПАДКУ
2.1. Деякі теореми про структуру системи лінійних алгебраїчних рівнянь в інтерлінаційному методі скінчених елементів.
Розглянемо задачу
, (2. 1)
, (2. 2)
де прямокутний багатокутник, обмежений прямими, паралельними осям координат. Нехай мінімальний прямокутник, який охоплює область . Не обмежуючи загальності можна вважати, що .
Розіб'ємо прямими, паралельними осям координат (ректангулюємо) на прямокутники, причому так, щоб належала розбиттю. Це розбиття позначимо , де
;
.
Шукатимемо розв'язок задачі (2.1)-(2.2) у вигляді стандартного білінійного інтерполянта
, (2. 3)
де
. (2. 4)
Очевидно, що , , , якщо . Інтерполянт (2.3) має наступні властивості:
.
При цьому для залишку справедливі такі співвідношення ()
.
Зауважимо, що при такій інтерполяції для одержання похибки наближення з порядком , треба значень функції .
Як відомо, з варіаційної точки зору розв'язок задачі (2.1)-(2.2) зводиться до відшукання мінімуму функціонала
, (2. 5)
припускаючи, що точно виконуються граничні умови.
Підставляючи наближений розв'язок у вигляді (2.3) в функціонал (2.5), маємо
Мінімізуючи цей функціонал по , отримаємо наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) для визначення , , :
або більш розгорнуто
Отже СЛАР, яку треба розв'язати, має вигляд
. (2. 6)
Значення коефіцієнтів та системи знаходяться в залежності від значень , а саме:
.
Система (2.6) має порядок , отже для її розв'язання методом Гауса необхідно виконати арифметичних операцій.
Нехай тепер наближений розв'язок задачі (2.1)-(2.2) шукаємо у вигляді інтерлінанта
(2. 7)
який є кусково-лінійним і співпадає з на х лініях-прямих, паралельних осям координат:
Теорема 2.1. [25] Хай відомі сліди та деякої функції на прямих та . Тоді оператор
має наступні властивості
(2. 8)
Доведення: Зауважимо, що оператор можна представити у вигляді:
,
де
,
.
Оператори та є інтерполяційними операторами (поліномами Ерміта за змінними та ) із наступними властивостями
,
.
Ці оператори переставні один з одним, причому
,
, (2. 9)
, . (2. 10)
Враховуючи рівності (2.9) та (2.10), одержуємо
,
,
що доводить властивості (2.8). Теорема 2.1 доведена.
Теорема 2.2. [25] При наближенні функції оператором для залишку справедлива рівність
(2. 11)
Доведення: Для доведення формули (2.11) зобразимо залишок у вигляді:
,(2. 12)
де
,
.
Підставивши ці формули у рівність (2.12), яка є добутком двох операторів, отримаємо доведення (2.11). Теорема 2.2 доведена.
Теорема 2.3. Якщо функція , то існують такі числа та , , такі, що для залишку поліноміальної інтерлінації можна записати рівність:
.
Доведення: Дійсно, для залишку поліноміальної інтерлінації справедлива формула (2.12), а для залишків та , як для залишків інтерполяційних формул Ерміта, у припущенні неперервності функції мають місце рівності
,
.
Їх можна переписати у вигляді:
,
,
де
,
,
За інтегральною теоремою про середнє, оскільки ,
та
А оскільки
то, підставивши отримані формули у рівність (2.12), яка є добутком двох операторів, отримуємо:
.
Теорема 2.3 доведена.
Отже, якщо функції та відомі, то інтерлінант (2.7) відновлює функцію на з похибкою .
Замінюючи в (2.7) кожну з функцій та її інтерполянтом
допускаємо похибку .
Таким чином, інтерполянт
(2. 13)
має наступні властивості
Тобто для наближення з похибкою використовується значень функції , де .
Оскільки задача розв'язується на і повинна виконуватись умова (2.2), а розбиття проводилось для , то ті вузли сітки, які не попали у , можна зовсім виключити з розгляду.
Далі формулу (2.13) будемо використовувати у вигляді
де
Для знаходження невідомих методом Гальоркіна треба розв'язати таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
(2. 14)
де
Тепер розпишемо рівняння (2.14):
якщо та ;
якщо та ;
якщо та .
Все це можна переписати у вигляді:
(2. 15)
Випишемо всі ці матриці:
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
,
.
Далі згадаємо [93, стор. 82], що кронекеровим добутком матриці та матриці є матриця розміру , яка позначається символом та має таку блочну структуру:
.
Зробимо наступні перетворення:
- вектор розміру ;
- вектор розміру ;
- вектор розміру ;
- вектор розміру ;
- вектор розміру ;
- вектор розміру .
Тоді отримуємо лінійні системи вигляду:
(2. 16)
де
- матриця розміру ;