РОЗДІЛ 2
ОДНОВИМІРНІ МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ДИФУЗІЇ З УМОВАМИ СПРЯЖЕННЯ НЕІДЕАЛЬНОГО КОНТАКТУ
В цьому розділі послідовно в декартових і циліндричних координатах розглянуто змішані крайові задачі дифузії з умовами спряження неідеального контакту.
2.1. Диференціальні і узагальнені задачі в декартових координатах
Розглядувані задачі з умовами спряження неідеального контакту можуть моделювати усталений температурний режим тонкого складеного стержня із складеним коротким включенням або усталену вертикальну напірну фільтрацію рідини в багатокомпонентному ґрунтовому середовищі зі складеним тришаровим включенням.
2.1.1. Задача з умовами власного зосередженого джерела.
Крайова та узагальнені задачі.
Нехай на області визначено рівняння
(2.1)
де
На кінцях відрізку задані неоднорідні змішані крайові умови
(2.2)
(2.3)
де - множина дійсних чисел.
В точці умови спряження мають вигляд
(2.4)
(2.5)
В роботі [39] відзначається, що умови спряження (2.4), (2.5) враховують власне зосереджене джерело в точці .
Таким чином, визначена крайова задача (2.1)-(2.5) для диференціального рівняння другого порядку (2.1) з неперервним розв'язком та стрибком потоку в точці , пропорційним розв'язку.
Нехай М - множина функцій що задовільняють умови (2.2)-(2.5). Функція , що задовольняє рівняння (2.1), називається класичним розв'язком крайової задачі (2.1)-(2.5).
Згідно [62] візьмемо - довільну фіксовану функцію з М. Тоді за допомогою співвідношення
(2.6)
перебираючи всі функції , отримаємо лінійну множину функцій що задовольняють однорідні крайові умови (2.2), (2.3) та однорідні умови спряження (2.4), (2.5), тобто ці умови при Для будь-якого мають місце співвідношення
(2.7)
(2.8)
Із (2.7), (2.8) випливає, що оператор L, визначений лівою частиною рівняння (2.1), симетричний та додатно визначений на М0, а та відповідно енергетичні скалярний добуток та норма. Поповнюючи M за енергетичною нормою, згідно з [71], отримуємо енергетичний простір . У відповідності до [71], з врахуванням (2.6), для крайової задачі (2.1)-(2.5) функціонал енергії має вигляд:
(2.9)
де
Із необхідної умови мінімуму функціонала (2.9) на Н отримаємо для крайової задачі (2.1)-(2.5) задачу в слабкій постановці (задачу Гальоркіна), яка полягає у наступному: потрібно відшукати функцію , що задовольняє рівняння
(2.10)
Мають місце твердження [34].
Лема 2.1. Задачі (2.9), (2.10) - еквівалентні. Їх розв'язок існує і єдиний в Н.
Визначення 2.1. Розв'язок задач (2.9), (2.10) називається узагальненим розв'язком, а самі задачі (2.9), (2.10) - узагальненими задачами крайової задачі (2.1)-(2.5).
Теорема 2.1. Крайова задача (2.1)-(2.5) має єдиний узагальнений розв'язок . Якщо то - класичний розв'язок крайової задачі (2.1)-(2.5), а умови (2.3), (2.5) виконуються автоматично, тобто вони природні.
Наближений узагальнений розв'язок.
У відповідності з МСЕ замкнута область , на якій визначена крайова задача (2.1)-(2.5), подана у вигляді об'єднання скінченних елементів (елементарних відрізків) при На кожному з цих елементів вводяться вузлові точки, в яких визначені значення допустимих функцій МСЕ або значення цих функцій та значення їх похідних. Множина таких точок складає дискретну сітку.
Варто зазначити, що функції з множини Н області визначення функціонала енергії (2.9) на кожному з інтервалів обмежені за нормою простору С.Л. Соболєва [103]. Нехай - простір функцій , що є повними поліномами степеня k змінної x на кожному елементарному відрізку . Тоді Тут N - число відрізків , на які розбитий сегмент . Розбиття виконується так, щоб виявився розбитим кожен із відрізків окремо. Шуканий розв'язок варіаційної задачі на кожному із відрізків розбиття апроксимується за допомогою поліному k-го степеня. Після підстановки функції у функціонал енергії (2.9) отримаємо дискретне рівняння МСЕ, з якого знаходиться наближений чисельний узагальнений розв'язок крайової задачі (2.1)-(2.5). Наближений узагальнений розв'язок визначаємо за допомогою наближеного чисельного узагальненого розв'язку. Тут
Оскільки довільна функція має вигляд
(2.11)
де - базис простору , то з задачі (2.9) чи (2.10) отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)
(2.12)
із симетричною, додатно визначеною матрицею А для визначення невідомих значень розкладу (2.11) наближеного узагальненого розв'язку . Тут vi - значення функції чи певної її похідної у відповідній вузловій точці, . Матриця A та вектор B визначаються так:
Справедливим є наступне твердження [34].
Теорема 2.2. Нехай класичний розв'язок крайової задачі (2.1)-(2.5) має на інтервалах неперервні обмежені похідні до (k+1)-го порядку включно. Тоді для наближеного узагальненого розв'язку цієї задачі має місце оцінка
(2.13)
де
Результати розв'язання модельного прикладу.
Крайова задача (2.1)-(2.5) чисельно розв'язана за допомогою розроблених алгоритмів з використанням класу при з наступними вхідними даними:
При цих даних класичний розв'язок задачі (2.1)-(2.5) має вигляд:
Відрізок розбивався на елементарні відрізки з постійним кроком . Відносна похибка отриманого наближеного розв'язку у вузлових точках не перевищувала . В табл. А.2.1 наведено результати розрахунку.
2.1.2. Задача з умовами узагальненого зосередженого власного джерела.
Крайова та узагальнені задачі.
Нехай на області визначено рівняння (2.1). На кінцях відрізка задано змішані крайові умови (2.2), (2.3), а в точці - умови спряження
(2.14)
(2.15)
де
Таким чином, визначена крайова задача (2.1)-(2.3), (2.14), (2.15) з можливими розривами в точці розв'язку і потоку
Функціонал енергії для крайової задачі (2.1)-(2.3), (2.14), (2.15):