РОЗДІЛ 2
ПРО МОДЕЛІ ВЗАЄМОДІЇ КЛІТИННИХ ЕЛЕМЕНТІВ В ПРОЦЕСІ РЕКОНСТРУКЦІЇ КІСТКОВОЇ
ТКАНИНИ.
Кістка – динамічна структура з постійно поновлюваною формою і внутрішньою
організацією. В кістковій тканині протягом усього життя індивіда протікають
процеси реконструкції: резорбція старої кістки і формування нової [130] Ці
взаємопротилежні процеси пов’язані з діяльністю остеокластів (резорбція),
остеобластів та остеоцитів (відновлення). Об’єктивним показником стану
кісткової тканини є її мінеральна щільність (МЩКТ). Математичниго опису
кісткової тканини на клітинному рівні ми не зустрічали. В медицині для
визначення кількості клітинних елементів в живої людини користуються
опосередкованими методами це - вимірювання зміни концентрації маркерів
кісткової тканини в крові та сечі. Про щільність матриксу ми можемо судити на
основі результатів денситограми, ультразвукової діагностики та інших методів.
Ці методи так само є опосередкованими. Немає достатньо єфективного
прогнозування перебігу захворювання та дії різних чинників механічних, хімічних
та біологічних на кісткову тканину. В медицині напрацїований великий досвід в
галузі лікування патологічних змін в кістковій тканині. Діагностування процесів
в кістці є складним, має високу вартість так і часте використання
ренгенівського випромінювання, яке використовується для дослідження щільності
кісткової ткани є шкідливим [131].
Таким чином математичне моделювання є новим і актуальним напрямком для опису
динамічних систем взаємодії клітинних елементів кісткової тканини.
В першій частині другому розділі будуть побудовані найпростіша модель
реконструкції кісткової тканини, буде проведене якісне дослідження побудованої
моделі. Буде дослідена модель реконструкції кісткової тканини на cтійкість
розв’язків. Здійснне кількісне дослідження моделі реконструкції кісткової
тканини.
В другій частині другого розділу буде побудована модель взаємодії клітинних
елементів в процесі реконструкції кісткової тканини на основі нелінійних
рівнянь в частинних похідних та здійснене кількісне дослідження моделі.
2.1. Побудова найпростішої моделі реконструкції кісткової тканини.
Будемо вважати, що основними діючими факторами реконструкції кісткової тканини
є наступні величини.
- концентрація остеоцитів. Це популяція клітин, які розміщені в кісткових
лакунах (порожнинах) у складі звапнованого міжклітинного матриксу кісткової
тканини.
Функції остеоцитів у процесі ремоделювання
підтримують структурну цілісність мінералізованого матриксу,
беруть участь у регуляції обміну Са2+ в організмі (ця функція остеоцитів
знаходиться під контролем з боку Са2+ плазми крові та різних гормонів),
можуть продукувати речовини для утворення матриксу нової кістки, але ця
здатність менш виражена, ніж в остеобластів,
можуть бути посередниками сигналів, які регулюють кісткову резорбцію.
2) - концентрація остеобластів. Остеобласти - це популяція клітин, які
продукують практично всі інгредієнти кісткового матриксу.
Остеобласти регулюють швидкість кісткового ремоделювання завдяки міграції
клітин до поверхні кістки.
Остеобластні клітини мають рецептори до гормонів і факторів, які регулюють
кісткове ремоделювання.
На процеси диференціації остеобластів мають вплив матрикс і мікросередовище,
які стимулюються від механічних навантажень, гормонів та інших факторів, які
приймають участь у регуляції кісткового обміну.
3) - концентрація остеокластів. Остеобласти - це популяція клітин, які
розсмоктують кісткову тканину.
4) - щільність матриксу.
Переходимо до побудови рівнянь моделі. Перше рівняння буде описувати зміну
числа остеоцитів у кістковій тканині:
(2.1)
Перший член у правій частині цього рівняння описує приріст остеоцитів за
інтервал часу за рахунок переходу остеобласта в остеоцит, – коефіцієнт
природної смертності остеоцитів. Природно, що він пропорційний і деякому числу
, що будемо називати швидкістю переходу остеобласта в остеоцит. Член описує
число остеоцитів, які помирають природною смертю за інтервал часу . Справді,
число таких остеоцитів, мабуть, буде пропорційним кількості остеоцитів у
кістковій тканині. — коефіцієнт природної смертності остеоцитів. Розділивши
співвідношення (2.1) на , приходимо до рівняння
(2.2)
Переходимо до побудови іншого рівняння, що буде описувати зміну числа
остеобластів у кістковій тканині:
(2.3)
Перший член у правій частині цього рівняння описує приріст остеобластів за
інтервал часу за рахунок їх розмноження. Природно, він пропорційний та деякому
числу , яку будемо називати коефіцієнтом народжуваності остеобластів. Член
описує зменшення кількості остеобластів за рахунок старіння за інтервал часу .
Справді, число таких остеобластів, мабуть, буде пропорційним кількості
остеобластів у кістковій тканині. – коефіцієнт природної смертності
остеобластів. Член описує число остеобластів, зайнятих у формуванні матриксу,
який залежить від зміни щільності матриксу за інтервал часу , кількості
остеобластів , задіяних у формуванні матриксу. При цьому для формування каскаду
остеобластів та потрапляння їх у потрібну ділянку потрібен час . - коефіцієнт,
що вказує на частку остеобластів, зайнятих у формуванні матриксу. Розділивши
співвідношення (2.3) на , приходимо до рівняння:
(2.4)
Для одержання третього рівняння підрахуємо баланс числа остеокластів, що
розчиняють кісткову тканину. Будемо виходити зі співвідношення:
(2.5)
Перший член у правій частині цього рівняння