Розділ 2
розробка математичної моделі роботи гірогравіметра в умовах збурень на борту
рухомого апарату
2.1. Аналіз останніх досліджень
У доступних інформаційних джерелах математичні моделі гіроскопічних приладів
розглядаються на основі наближених прецесійних рівнянь та із суттєвими
спрощеннями: нехтуванням маси рамок підвісу та припущенням про рівність нулю
першої локальної похідної кінетичного моменту кількості руху [39-41].
Проф. Ішлінський А.Ю. [40] висловлює думку про слабкість прецесійної теорії для
точних досліджень гіроскопів і про необхідність застосування у повному вигляді
теореми про зміну кінетичного моменту кількості руху системи матеріальних
точок.
Відома математична модель гіроінтегратора лінійних прискорень [42], яка
базується на теоремі про зміну кінетичного моменту кількості руху системи
матеріальних точок. Ця модель враховує першу похідну кінетичного моменту
кількості руху, але сумарний кінетичний момент системи відносно обраної точки
визначається спрощено як векторна сума кінетичних моментів кількості руху
елементів приладу, але вже визначених відносно інших точок і у системах
координат, що зв’язані із кожним елементом приладу. Такий прийом значно зменшує
кількість обчислень, але суперечить основним теоремам про момент кількості руху
системи матеріальних точок, відомим з курсу теоретичної механіки [41].
Отже, на цей час науковий інтерес представляє така математична модель динаміки
гірогравіметра, який встановлено на рухомій основі. Така математична модель має
відображати динаміку основних елементів гірогравіметра в найбільш загальному
вигляді та без суттєвих спрощень: з урахуванням першої похідної кінетичного
моменту кількості руху та з урахуванням взаємного розташування елементів
системи приладу у статичному та динамічному режимах роботи приладу.
2.2. Формулювання задачі моделювання
Задачею моделювання є створення розгорнутої математичної моделі роботи
гірогравіметра для випадку встановлення цього приладу на рухомій основі.
Математичну модель представити як формалізований опис руху основних елементів
гірогравіметра у вигляді наступних функціональних залежностей:
(2.1)
де – кут повороту зовнішньої рамки гірогравіметра відносно рухомої платформи; –
кут повороту внутрішньої рамки гірогравіметра відносно зовнішньої рамки; , –
функції, що описують динаміку і у часі; – вектор миттєвої кутової швидкості
рухомої основи, де встановлено гірогравіметр; – вектор миттєвого абсолютного
лінійного прискорення рухомої основи; – сукупність мас і-тих матеріальних точок
елементів гірогравіметра; – сукупність векторів розташування і-тих матеріальних
точок із масиву відносно заданих центрів; – вектор прискорення сили тяжіння у
місці розташування гірогравіметра на рухомій основі.
2.3. Теоретичний базис
Створення математичної моделі роботи гірогравіметра можливе завдяки
застосуванню базових елементів теоретичної механіки [41]: законів Ньютона,
теорем про динаміку систем матеріальних точок, теорем про геометрію мас, теорем
про кінетичний момент кількості руху системи матеріальних точок та теорем про
зміну кінетичного моменту системи матеріальних точок із обов’язковим залученням
елементів математичної теорії [41], [48]: векторного та диференційного
числення.
2.4. Розробка математичної моделі
2.4.1. Припущення: - всі елементи гірогравіметра абсолютно тверді тіла, між
якими існує механічний зв'язок (підшипникові вузли) та електромеханічний
зв'язок (система корекції по перпендикулярності рамок); - гірогравіметр жорстко
закріплений на рухомій платформі; - головні елементи гірогравіметра: підшипники
зовнішнього підвісу, зовнішня рамка, підшипники внутрішнього підвісу, гіромотор
(ротор + кожух); - відцентрові моменти головних елементів відносно осей власних
систем координат дорівнюють нулю; - товщину ротора прийняти нульовою; - центр
мас гіромотора розміщений на осі обертання ротора; - центр мас ротора лежить на
осі його обертання; - центр мас зовнішньої рамки не співпадає у загальному
випадку з центром мас гіромотора при взаємо-перпендикулярному положенні осі
обертання ротора та площини зовнішньої рамки; - центр мас зовнішньої рамки
лежить на осі обертання зовнішньої рамки, яка лежить в площині зовнішньої
рамки; - проекції кутових швидкостей та прискорень достатньо малі, щоб
знехтувати їх добутками.
2.4.2. Визначення систем координат основних елементів гірогравіметра та їх
взаємного розташування.
На рис. 2.1 та рис. 2.2 зображено: – система координат ротора; – кожуха; –
зовнішньої рамки; – Землі (опорна: нерухома відносно нерухомих зірок); –
рухомої платформи; точки , , , співпадають з центрами мас відповідно ротора,
зовнішньої рамки, Землі, кожуха; нерухома відносно ; співпадає з ;
, , , ,
(2.2)
співпадає з ; співпадає з ; співпадає з віссю обертання Землі.
2.4.3. Складання рівнянь для осей зовнішнього та внутрішнього підвісу за
теоремою про зміну кінетичного моменту системи матеріальних точок.
(2.3)
Якщо існує нерухома опорна система координат, а відносно неї змінює своє
положення рухома система координат: – вектор абсолютного лінійного прискорення
центру рухомої системи; – вектор кутової швидкості рухомої системи відносно
нерухомої; – кінетичний момент кількості руху рухомої системи координат
відносно її центру; – похідна вектора , обчислена відносно рухомої системи
координат; – маса рухомої системи; – момент зовнішніх сил відносно центру
рухомої системи координат; – радіус вектор центру мас рухомої системи
проведений з її центру.
Необхідно задіяти метод перерізів [41]: розгляд окремо систем: «рухома
платформа + гірогравіметр» (1*), «зовнішня рамка + кожух + ротор» (2*), «ко
- Київ+380960830922