Раздел 2
ОСОБЕННОСТИ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛИРОВАНИЯ
И ИДЕНТИФИКАЦИИ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА
В данном разделе рассмотрены особенности математического моделирования тепломассопереноса с применением компьютеров, которые позволяют рассматривать эту область теплофизики как компьютерное моделирование процессов тепломассопереноса. От общих проблем, связанные как с языковыми и вычислительными особенностями компьютера, так и с некоторыми геометрическими и метрологическими проблемами численного моделирования. Основные из этих проблем решены в последующих разделах. Результаты этого раздела опубликованы в работах [42, 51, 54].
2.1. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ И РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Идентификация тепломассопереноса предполагает, как правило, многократное решение прямой задачи и нахождение условий, приводящих объект в состояние, идентичное заданному. При моделировании мы исследуем сам теплоперенос, его особенности и различные стороны его проявления, т.е. изучаем следствия, а при идентификации объектом исследования являются причины в их количественном проявлении. Формально математическая модель, используемая для моделирования, отличается от модели для идентификации отсутствием уравнения измерений. Именно это уравнение определяет, т.е. выделяет на множестве виртуальных случаев моделирования теплопереноса в элементе конструкции, тот случай, который имеет место на самом деле. Именно средства измерения, отражением которых является уравнение измерений, позволяют нам установить (измерить) следствие процесса тепломассопереноса. Ответ на вопрос, какова причина этого следствия, является предметом решения обратной задачи.
Исследование непрерывных по своей физической сути температурных полей как набора (вектора) температур узлов приводит к рассмотрению изучаемого объекта в некотором пространстве с координатами узлов, в которых определяется температура. Такой подход изложен в работе [220]. Развивая его и переходя от пространства сосредоточенных к пространству распределенных параметров, приходим к динамическим системам с распределенными параметрами.
(2.1)
Динамические системы являются основой математической теории систем управления. Вид динамической системы с сосредоточенными параметрами следующий:
где X - вектор состояния; U - вектор управления; Y - вектор наблюдения;
A, B, C, D - матрицы соответствующих размеров.
Первое уравнение называют уравнением объекта, второе - уравнением наблюдения, измерения. Относительно объекта и наблюдения введены понятия управляемости и наблюдаемости, а также получены условия наблюдаемости и управляемости в терминах матриц A, B, C, D [115].
Если уравнение объекта записать как дифференциальное уравнение в частных производных, то получим динамическую систему с распределенными параметрами. Для моделирования теплопереноса в области ? с границей ? динамическая система с распределенными параметрами имеет следующий вид:
(2.2)
где Y - вектор наблюдений; T, U - векторы, координатами которых являются измеряемые локальные температуры в области ? и на границе ? соответственно; H, G - матрицы наблюдений локальных температур в области ? и на границе ? соответственно.
При этом вид уравнения измерения останется прежним. Это связано с тем, что приборы измеряют сосредоточенные или осредненные величины и нет приборов для распределенных измерений
Исследование динамических систем с распределенными параметрами математиками не проводилось, свойства их не изучались и математический аппарат для работы с такими системами пока не создан. Однако поскольку уравнение теплопередачи с распределенными параметрами может быть представлено системой дифференциально-разностных уравнений, то в этом случае мы приходим к динамической системе с сосредоточенными параметрами (2.1).
Следует отметить различия интересов исследователей, использующих аппарат динамических систем в управлении и идентификации. Если первых, занимающихся управлением в основном интересуют понятия управляемости по состоянию и по выходу, то вторых - понятия наблюдаемости состояния и выхода. Относительно понятия наблюдаемости динамической системы по выходу можно привести следующие рассуждения из работ [96, 220]. В работе [96] на с. 127 сказано:
"Теорема. Система, описываемая уравнениями (2.1), полностью наблюдаема на [t0, tf] тогда и только тогда, когда сопряженная система *
полностью управляема по состоянию на [t0, tf].
Теорема имеет весьма большое значение, так как все критерии для исследования управляемости системы по состоянию можно на основании этой теоремы использовать для исследования наблюдаемости системы... Таким образом, теорема устанавливает дуальную связь между наблюдаемостью и управляемостью по состоянию. Важно отметить, что такой имеющей физический смысл дуальности для понятия управляемости по выходу не существует".
Однако последнее утверждение было опровергнуто в работе [220], в которой на с. 60 - 63 написано:
"Условие наблюдаемости по состоянию является принципиально необходимым для решения задачи оптимального оценивания вектора состояния системы или проблем фильтрации. Для тепловых систем наблюдаемость по состоянию представляет интерес при восстановлении температурных полей и в ряде других случаев. Однако интенсивность изучения задач наблюдаемости заметно ниже, чем задач управляемости. Правда, много внимания уделяется принципу двойственности (дуальности) между задачами управления и наблюдения, но нелинейные задачи наблюдения и принципа двойственности из-за их сложности почти не исследовались.
В работе [96] приводится следующий критерий наблюдаемости линейной системы по состоянию:
система
(2.3)
наблюдаема по состоянию, если матрица Ns наблюдаемости по состоянию
имеет ранг n на любом подынтервале (?0, ?*).
Здесь ; - линейные операторы.
Для теплоизмерительных систем, задачей которых является определение входного воздействия, представляется принципиально важным понятие наблюда