РОЗДІЛ 2
СТРУКТУРА КУРСУ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
ДЛЯ МАЙБУТНЬОГО ВЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
Наведена у цьому розділі програма курсу математичного аналізу є удосконаленням першої (у часи незалежності України) програми цього курсу, у розробці якої активну участь брав і автор даного дослідження [275].
2.1. Вступ до аналізу функцій однієї змінної
Матеріал вступу до аналізу функцій однієї змінної має для вчителя математики особливо важливе значення, оскільки є фундаментом не тільки курсу математичного аналізу, а й шкільного курсу математики.
2.1.1. Програма вступу до аналізу функцій однієї змінної. На відміну від традиційної, дана програма передбачає ретельне вивчення у першому семестрі фактів, пов'язаних з поняттями функції, кількості елементів або потужності множини, з теорією дійсних та комплексних чисел, з означенням і елементарним доведенням властивостей основних елементарних функцій, серед яких особлива увага приділяється експоненті дійсного і комплексного числа, з теорією рядів. При цьому передбачається, що форма подання матеріалу дозволяє охопити випадки дійсної і комплексної змінної скрізь, де це можливо і доцільно. Тому вступ до аналізу функцій однієї змінної є одночасно і вступом до комплексного аналізу.
2.1.1.1. Елементи теорії множин. Елементи теорії множин у шкільному курсі математики.
Множини. Поняття множини та її елемента. Включення та рівність множин. Операції над множинами та їхні властивості.
Відповідність, відображення, функція. Поняття пари елементів і декартового добутку множин. Відповідність, залежність, функціональна відповідність і функція. Тотожні функції, композиція функцій. Взаємно однозначне відображення. Обернені відповідності та функції. Класифікація функцій.
Кількість елементів, або потужність, множини. Еквівалентні множини та їхні властивості. Скінченні та нескінченні множини і кількість елементів у них. Порівняння множин за кількістю елементів. Зчисленні і континуальні множини та їхні властивості. Існування множин як завгодно великої потужності.
2.1.1.2. Множини дійсних та комплексних чисел. Дійсні та комплексні числа у шкільному курсі математики.
Дійсні числа. Визначальні та вивідні властивості дійсних чисел. Множина R та зображення її елементів точками координатної (числової прямої). Максимум та мінімум, супремум та інфімум числової множини. Невласні дійсні числа і множина . Модуль (абсолютна величина) дійсного числа та його властивості. Окіл та проколений окіл власного і невласного дійсного числа.
Комплексні числа. Поняття комплексного числа, його дійсної та уявної частини. Рівність комплексних чисел. Множина С та зображення її елементів точками комплексної площини. Невласне комплексне число. Розширена комплексна площина . Модуль і аргумент комплексного числа та його тригонометрична форма. Арифметичні операції над комплексними числами та їх геометричний зміст. Основні властивості комплексних чисел. Окіл і проколений окіл власного і невласного комплексного числа.
Побудова множини N натуральних чисел. Поняття індуктивної множини. Означення множини N натуральних чисел. Принцип та метод математичної індукції. Найпростіші властивості натуральних чисел. Принцип Архімеда. Означення суми та добутку скінченної кількості чисел. Поняття степеня з натуральним показником та його властивості, біном Ньютона. Нерівність Бернуллі. Десяткове (r-кове) зображення натурального числа за допомогою його десяткового (r-кового) зображення.
Побудова множини Z цілих чисел. Поняття цілого числа та множини Z цілих чисел. Найпростіші властивості цілих чисел. Ціла і дробова частини дійсного числа. Поняття степеня з цілим показником та його властивості. Формула Муавра.
Побудова множини Q раціональних чисел. Поняття раціонального числа і множини Q раціональних чисел. Найпростіші властивості раціональних чисел. Зображення раціонального числа у вигляді нескінченного періодичного десяткового (r-кового) дробу. Поняття арифметичного кореня, дійсного кореня і комплексного кореня n-го степеня, їх існування та єдиність. Поняття дійсного і комплексного степеня з раціональним показником та їх властивості.
Границя послідовності. Поняття нескінченно малої та нескінченно великої послідовності. Границя послідовності, збіжні і розбіжні послідовності. Основні властивості границь. Границя монотонної (і квазімонотонної) послідовності. Поняття експоненти дійсного числа та її властивості. Логарифм натуральний дійсного числа. Часткова границя послідовності, верхня і нижня границі послідовності дійсних чисел, критерії збіжності. Поняття експоненти комплексного числа та її властивості. Логарифм натуральний комплексного числа та його властивості.
Побудова множини дійсних чисел. Різні форми означення дійсних чисел та їх еквівалентність. Означення відношення "менше" та арифметичних операцій на множині десяткових (r-кових) дійсних чисел. Поняття степеня з довільним дійсним або комплексним показником. Основні властивості степеня.
2.1.1.3. Основні елементарні функції. Основні елементарні функції у шкільному курсі математики. Стала функція. Експонента дійсного і комплексного числа та експоненціальна функція дійсної і комплексної змінної. Синус, косинус, тангенс і котангенс дійсного і комплексного числа та тригонометричні функції дійсної і комплексної змінної. Логарифм дійсного і комплексного числа та логарифмічна функція дійсної і комплексної змінної.
Степінь з дійсним і комплексним показником та степенева і показникова функції дійсної і комплексної змінної.
Арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс комплексного і дійсного числа та обернені тригонометричні функції дійсної і комплексної змінної.
Поняття основної елементарної функції і елементарної функції. Найпростіші методи побудови графіків деяких елементарних функцій.
2.1.1.4. Границя, неперервність і опуклість числової функції. Границя, неперервність і опуклість функції у шкільному курсі математики.
Границя функції. Гранична точка числової множини. З