Розділ 2. СПЛАЙН-ФУНКЦІЇ В ПРОСТОРІ
В матеріалах розділу розглянуто питання апроксимації функцій двох та більше
змінних локальними поліноміальними сплайнами на основі В-сплайнів. Виключення
становить підрозд.2.1 – в якому запропоновано подання одновимірних
поліноміальних сплайн-операторів у вигляді, що, як буде показано у подальшому
викладенні, є придатним при побудові сплайнів більш високої розмірності.
Головну увагу приділено сплайнам, близьким до інтерполяційних у середньому, що
обумовлено доцільністю їхнього застосування при опрацюванні результатів
спостережень реалізацій стохастичних функцій. У підрозд.2.2 наведено розгорнуті
подання сплайнів двох змінних мінімального дефекту на основі В-сплайнів другого
та третього порядків. Дослідження якості апроксимації зазначеними сплайнами – у
підрозд.2.3. Узагальнення сплайн-операторів на випадок змінних розглянуто в
підрозд.2.4. У підрозд.2.5 зведено дослідження з алгоритмізації застосування
обчислювальних схем введених сплайнів при опрацюванні дискретних даних.
2.1. Матричне подання поліномаільних сплайнів від одної змінної
Розгорнуте подання (1.23)–(1.31) сплайнів (1.14)–(1.22) дозволяє чітко
простежити, що сплайни, які розглядаються, справді є поліномами. Отже, для
сплайнів (1.14)–(1.22) справедливе наступне представлення [66; 67]:
, (2.1)
де
; ;
; (2.2)
; (2.3)
; (2.4)
; (2.5)
; (2.6)
; (2.7)
; (2.8)
; (2.9)
. (2.10)
Подання (2.1), як і вирази (1.23)–(1.31), є придатнім для реалізації у
програмному забезпеченні, де передбачені бібліотеки процедур опрацювання даних
у матричному представленні.
2.2. Сплайни від двох змінних, близькі до інтерполяційних у середньому
Поняття одновимірного локального поліноміального сплайну на основі В-сплайнів
за рівномірним розбиттям (1.8) можна узагальнити на випадок двох і більшого
числа змінних [44; 62; 66]. Будемо у подальшому викладенні шукати наближення
деякої функції , визначеної на , у вигляді сплайн-функцій від двох змінних.
Зафіксуємо два розбиття , осей і точками
, , ,
, , ,
відповідно до яких задається розбиття дійсної площини на однакові прямокутні
області, кожна з яких визначається координатами лівого нижнього та правого
верхнього кута:
У подальшому будемо називати розбиття рівномірним (регулярним), а двійки точок
, , будемо називати рівномірною (регулярною) сіткою вузлів розбиття .
Часто є потреба кожну -у прямокутну область розбиття асоціювати з центральною
точкою такого прямокутника. В цьому разі доцільно, поряд з , розглядати сітку
вузлів , визначену точками
, , ,
, , .
Двовимірним сплайном порядку дефекту за змінною і порядку дефекту за змінною ,
відносно розбиття , називають функцію , яка на кожному елементі розбиття є
алгебраїчним багаточленом степеня по і степеня по . Лінійне різноманіття таких
сплайнів позначимо . За аналогією з одновимірним випадком – множину (або )
будемо називати множиною сплайнів мінімального дефекту від двох змінних. Разом
з природним є можливість розгляду лінійного різноманіття й одновимірних
сплайнів за змінними і відповідно.
Відомо [44], що, коли
, , …,
деякий базис , а
, , …,
– базис , то система функцій, утворена з усіляких добутків
,
є базисом множини . Останній факт дозволяє будувати сплайни двох змінних
виходячи з одновимірних.
Отже, нехай у вузлах розбиття () задано значення деякої функції : , , причому,
будемо вважати, що виконується
, (2.11)
де
; (2.12)
– деяка похибка.
Тоді, якщо задано системи базисних функцій у вигляді В-сплайнів, можна
одержати двовимірний поліноміальний сплайн з множини (або ), що є наближенням
функції . Іншими словами, масиву значень поставимо у відповідність сплайни
вигляду
. (2.13)
Зауважимо, що
, при ,
та
, при ,
У зв’язку з переставною дією сплайн-оператора по кожній із змінних [44] у
(2.13), справедливі такі співвідношення:
У випадку, коли , з огляду на подання В-сплайну другого порядку (1.5), сплайн
, визначений на розбитті , можна подати у вигляді:
. (2.14)
Проведемо заміну:
, , , . (2.15)
З урахуванням (1.5), значення В-сплайнів в (2.14) можна подати наступним чином:
, ,
Тоді розгорнуте подання сплайну буде:
(2.16)
або, групуючи відносно і , одержимо:
. (2.17)
Слід зазначити, що при реалізації сплайну та йому подібних у програмному
забезпеченні ЕОМ, слід віддавати перевагу обчислювальній схемі, побудованій на
представленні (2.17). Елементарні операції типу “+”, “–“ та порівняно мала
кількість операцій множення та ділення, забезпечують подібній обчислювальній
схемі найбільшу швидкодію.
Для зручності, коефіцієнти сплайну для відповідних вузлів та при
1, , , , , , , ,
можна звести до таблиці (табл.2.1).
Таблиця 2.1
Коефіцієнти сплайну
1
12
–2
–2
–4
0
12
–2
–2
36
–12
–12
Примітка до табл.2.1: при реалізації обчислювальної схеми, всі коефіцієнти
(табл.2.1) мають бути поділені на число 64.
За аналогією з одновимірним випадком, на розбитті уводяться до розгляду
уточнюючі локальні поліноміальні сплайни від двох змінних на основі В-сплайнів
другого порядку першого та другого степеня уточнення у вигляді:
(2.18)
(2.19)
де
; ;
; ;
Подання сплайнів , у вигляді (2.18), (2.19) є не зовсім зручним для
використання, тому подаються таблиці коефіцієнтів для відповідних вузлів
(додат.А: табл.А.1, А.2) при
1, , , , , , , ,
(тут і на розбитті визначаються, як і раніше, згідно (2.15)).
На разі, коли є потреба в застосуванні сплайнів , ,