РАЗДЕЛ 2
МЕТОДОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЧНОСТИ, РАЦИОНАЛЬНОГО И ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
СИСТЕМ ТМП НА БАЗЕ МКЭ
Ориентация на решение практических, а не только исследовательских задач,
выдвигает ряд требований к методологии расчетов. К числу таких требований
относятся: возможность геометрического моделирования сложной формы реальных
конструкций, учет кусочной или непрерывной изменяемости тепломеханических
свойств среды, произвольность граничных условий, удобство для параметризации,
важное для оптимизационных задач, и др. Из большого разнообразия современных
методов расчета на прочность следует отметить сеточные (МКЭ, МГЭ, конечно- и
вариационно-разностный) и различные модификации метода Ритца, в частности,
структурный метод В.Л. Рвачева [46–50], а также регионально-структурный метод
[51].
Каждый из используемых в настоящее время методов имеет как преимущества, так и
недостатки. Однако, с учетом все возрастающих требований, выдвигаемых при
создании новой техники к точности и универсальности расчетных исследований,
предпочтение отдается МКЭ. Его главное преимущество – простота и
универсальность, надежность в достижении результата высокой точности, легкая
алгоритмируемость и программируемость. Из недостатков можно отметить
затруднения в параметризации при оптимизационных исследованиях, требующей
дополнительной разработки промежуточных управляющих процедур, как правило, для
классов конструкций.
В настоящее время МКЭ является доминирующим методом в практических
исследованиях прочности различных конструкций, в том числе и силовых
конструкций электрофизической аппаратуры. Теоретические осно-вы и практика
применения представлены в мировой научной и научно-технической литературе
тысячами журнальных статей и десятками монографий. Из монографий, посвященных
теоретическим аспектам МКЭ – исследованию аппроксимаций, точности и сходимости,
отметим [62, 63, 65, 67–69, 139–142], вопросам численной реализации и
практическим приложениям – [60, 61, 64, 65, 68, 143–151].
2.1. Двухмерные и трехмерные схемы МКЭ для решения задач термоупругости.
Используемые аппроксимации. Модифицированная модель плоского напряженного
состояния
В настоящее время наиболее распространенным является вариант МКЭ, основанный
на методе перемещений. Для получения уравнений МКЭ предпочтительна вариационная
формулировка, которая применительно к рассматриваемой постановке задачи
представлена в виде принципа минимума полной потенциальной энергии системы
[152]. Классический функционал полной потенциальной энергии системы F имеет
следующий вид
, (2.1)
где – тензор упругих постоянных неоднородной ортотропной среды;
– вектор перемещений;
– тензор деформации;
– единичный тензор;
– объемные и поверхностные силы;
SF – часть поверхности, где действуют силы ;
a – коэффициент теплового расширения;
Т – температура.
Варьируемые смещения в (2.1) согласно МКЭ представлены суперпозицией
аппроксимаций на локальном носителе – конечном элементе. Необходимое условие
решения вариационной задачи (2.1) – это непрерывность смещений, удовлетворяющих
кинематическим граничным условиям, и полнота аппроксимаций. В этом случае
сходимость процесса, в качестве которого обычно используют метод Ритца,
является монотонной [65]. Непрерывность смещений означает выбор совместного
элемента, а условие полноты обычно сводится к требованию возможности
представления перемещения тела как жесткого целого и состояния однородной
деформации.
Концепция изопараметрического преобразования, используемая в настоящей работе,
гарантирует выполнение необходимых условий монотонной сходимости МКЭ. В работе
рассматриваются двухмерные и трехмерные постановки задач термоупругости и
соответственно им использованы аппроксимации вектора перемещений и вектора
радиуса
где – векторы смещений и радиус-вектор на КЭ;
Gi – функции формы на элементе, записанные для трехмерного случая;
xi – локальные координаты, условно показанные на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Используемые конечные элементы
Скорость сходимости по МКЭ при увеличении дискретизации на КЭ существенно
зависит от вида аппроксимации на элементе. Увеличение порядка полиномов, обычно
используемых в функциях формы Gi, повышает скорость сходимости, но при этом
возрастает количество переменных и изменяется ширина ленты матрицы системы
уравнений МКЭ. Поэтому вопрос о выборе элемента, т.е. функций формы, является
открытым. В данной работе использованы разные аппроксимации: в двухмерной
задаче – полилинейные приближения, а в трехмерной – полилинейные и
квадратичные. Для случая полилинейного приближения (см. рис. 2.1, а, б) функции
Gi определяются формулами
для двухмерного КЭ (i=1,..., 4) и
для трехмерного КЭ (i=1,..., 8),
причем величины x1i, x2i, x3i являются координатами i узла в локальных
координатах x1, x2, x3 , в которых КЭ являются классическими фигурами –
квадратом или кубом, а начало координат лежит в центре и x ki = ± 1 (к =1, 2,
3).
Для квадратичных приближений формулы следующие (см. рис. 2.1)
(i=1, 5, 8, 11, 13, 16, 18, 20),
(i=2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 17, 19).
Для двухмерного случая – элемент четырехузловой с восемью узловыми
параметрами; для трехмерного случая с полилинейными аппроксимациями (в
локальных координатах) – восьмиузловой с 24 узловыми неизвестными, а для
квадратичных приближений – 20 узловой с 60 узловыми параметрами.
На сходимость влияет полнота полиномиального представления [65], причем более
последовательным является применение полных полиномов, содержащих все
необходимые комбинации переменных. Отмети