РАЗДЕЛ 2
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН
И ОБОЛОЧЕК
Полная система уравнений, необходимых для решения задач термоупругости пластин
и оболочек, включает в себя уравнения теплопроводности и систему уравнений
термоупругости. При выводе этих уравнений принимались некоторые гипотезы,
позволяющие упростить процесс получения искомых уравнений. Принимаемая
математическая модель изучаемого процесса обладает некоторыми ограничениями,
которые необходимо всегда помнить при использовании данной теории для решения
прикладных задач.
2.1. Основные гипотезы классической теории термоупругости оболочек
Рассмотрим тонкую ортотропную оболочку произвольной гауссовой кривизны , где и
- главные кривизны, и постоянной толщины . Отнесем оболочку к ортогональной
системе криволинейных координат , , , которые совпадают с главными
направлениями ортотропии. Рассматриваем только такие оболочки, для которых
пренебрегают изменением главных кривизн срединной поверхности и , то есть
полагаем неизменными главные радиусы кривизны и . Тонкостенность оболочки
определяется малостью параметров и по сравнению с единицей. Обычно для
тонкостенных оболочек принимают [177].
При решении задач теплопроводности тонкостенных элементов конструкций для
определения температуры вводят интегральные характеристики температуры: -
среднюю температуру и - температурный момент. Они определяются формулами [197]
; . (2.1)
Вид дифференциальных уравнений теплопроводности относительно и определяется
принятым законом распределения температуры по толщине тонкостенного элемента
конструкции. Чаще всего используют линейный закон распределения [195, 197, 184,
18], при котором температура находится по формуле
. (2.2)
Задача термоупругости решается с помощью уравнений, основанных на классических
гипотезах Кирхгофа-Лява [10]:
прямолинейный элемент, перпендикулярный срединной поверхности оболочки,
остается прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности,
причем длина его не изменяется;
нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной поверхности,
можно пренебречь по сравнению с другими компонентами тензора напряжений.
Методы фундаментальных решений в теории ортотропных оболочек применяются для
определения напряженных состояний с большим показателем изменяемости [238],
которые описываются разрешающими уравнениями, совпадающими с уравнениями теории
пологих оболочек. В связи с этим, помимо приведенных выше гипотез, принимаются
допущения теории пологих оболочек [197]:
евклидова геометрия срединной поверхности оболочки приближенно считается
совпадающей с евклидовой геометрией плоскости ее проекции;
в уравнениях равновесия пренебрегают произведениями кривизн на перерезывающие
силы.
Принятые допущения лежат в основе классической теории термоупругости
ортотропных пластин и оболочек, которая использована в данной работе.
2.2. Классические уравнения термоупругости пологих ортотропных оболочек и
пластин
Уравнения теплопроводности пологих ортотропных оболочек запишем с учетом
конвективного теплообмена с внешней средой по закону Ньютона [197, 26]. Следуя
работам [194, 195, 235], они имеют вид:
;
(2.3)
,
где ;
, , - главные коэффициенты теплопроводности;
, где - критерий Био на поверхностях , коэффициенты теплообмена на поверхностях
;
, где - средняя кривизна срединной поверхности;
, где - температура среды, омывающей поверхности ;
- плотность источников средней температуры;
- плотность источников температурного момента;
- отнесённая к единице площади срединной плоскости оболочки плотность
источников тепла;
- отнесённая к единице площади срединной плоскости оболочки плотность
"моментов" источников тепла;
- объемная плотность источников тепла, равная количеству тепла, которое
производится в единице объема за единицу времени.
Исходная система уравнений термоупругости тонких пологих ортотропных оболочек
включает следующие соотношения [10].
1. Уравнения равновесия
; ;
; (2.4)
; ,
где , , - мембранные усилия;
, , - изгибающие и крутящий моменты;
, - перерезывающие силы;
, , - проекции внешней нагрузки на координатные оси.
Положительные направления внутренних силовых факторов показаны на рис. 2.1.
2. Уравнения физического закона
;
;
; (2.5)
;
; ,
где , , - компоненты тангенциальной деформации срединной поверхности оболочки;
, , - компоненты изгибной деформации срединной поверхности оболочки;
, , - модули Юнга и модуль сдвига для плоскостей, параллельных срединной
поверхности оболочки;
, - коэффициенты Пуассона для главных направлений;
, - температурные коэффициенты линейного расширения для главных направлений.
Рис. 2.1. Положительные направления внутренних силовых факторов.
3. Геометрические соотношения
; ; ;
(2.6)
; ; ,
где , , - перемещения точек срединной поверхности в направлении координатных
осей , , .
4. Уравнение неразрывности деформаций
. (2.7)
Полная система уравнений термоупругости ортотропных пластин получается из
уравнений теплопроводности и термоупругости ортотропных оболочек (2.3) – (2.7),
если в последних взять кривизны оболочки равными нулю .
Уравнения теплопроводности пологих изотропных оболочек отличаются от уравнений
теплопроводности ортотропных оболочек (2.3) лишь дифференциальным оператором.
Они имеют вид [182, 195]
;
(2.8)
,
где - оператор Лапласа.
Система уравнений термоупругости пологих изотропных оболочек отличается от
уравнений термоупругости ортотропных оболочек (2.4) – (2.7) лишь уравнениями
физического закона. Для изотропных оболочек они записывают