РОЗДІЛ 2
ЧАСО-ЧАСТОТНА КОНЦЕПЦІЯ МОДЕЛЮВАННЯ СТОХАСТИЧНИХ ЛІНІЙНИХ ДИСКРЕТНИХ
ІНФОРМАЦІЙНИХ КАНАЛІВ
Однією з складних та актуальних проблем моделювання СЕІС є необхідність
адекватного врахування імовірнісного характеру математичної моделі дії на
інформаційну систему суміші сигналів та перешкод , яка в найбільш узагальненому
вигляді є нестаціонарним випадковим процесом (НВП). Відсутність вичерпного
аналітичного інструментарію стохастичного моделювання в багатьох випадках
змушує дослідників до заміни стохастичних за природою явищ їх детермінованими
еквівалентами. Тому питання аналізу та синтезу математичних моделей дії
випадкових процесів на електронну інформаційну систему, які базуються на
положеннях спектральної теорії та теорії випадкових процесів, не втрачають
актуальності. Але на цей час аналітичні основи синтезу узагальнених моделей,
які відповідні перетворенням нестаціонарних випадкових процесів параметричними
СЕІС, в повному обсязі не створені.
2.1. Математичний інструментарій моделювання
Наведений в розділі матеріал містить співвідношення для часо-частотних засобів
подання моделей дискретних нестаціонарних випадкових процесів як найбільш
загальних моделей дії в електронних інформаційних системах. Відповідні
співвідношення для моделей неперервних випадкових процесів наведено в Додатку
В.
Математичний апарат подання стохастичних інформаційних процесів. Аналітичним
інструментом подання дискретного нестаціонарного випадкового процесу (ДНВП) є
пара дискретних в часі перетворень Фур’є (ДЧПФ):
де - взаємна функція кореляції (з точністю до множника ) процесу та його
спектральної функції ;
- різницева функція кореляції за часом процесу;
~ - символ періодичності прямого ДЧПФ, причому період за частотою становить ;
- безвимірна кутова частота;
- крок дискретизації у безвимірному дискретному часі .
Комплекти ЧЧХ для дискретних НВП відрізняються в залежності від форми запису
спектру процесу V(t). На практиці розглядають дві версії спектра Раєвського
(СР). Перша відповідає точковим аргументам за часом і частотою (абсолютним
координатам процесу), друга – різницевим аргументам за часом і частотою
(відносним координатам).
Спектр Раєвського. За першою версією спектра Раєвського (СР) [63]:
- спектр дискретного нестаціонарного випадкового процесу (НВП)
, (2.1)
Інша інтерпретація спектра Раєвського:
- Функція кореляції процесу за часом
. (2.2)
Функція кореляції за частотою цього процесу
. (2.3)
Вказані характеристики складають комплекс часо-частотних характеристик (ЧЧХ)
дискретного нестаціонарного ВП, що гармонізується.
Безумовно, замість спектра можна користуватися спектром . Визначені ЧЧХ
взаємозв’язані трьома парами перетворень Фур’є:
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Схематично ці взаємозв’язки мають вигляд (рис.2.1).
Якщо дискретний ВП утворено шляхом дискретизації за часом вихідного аналогового
процесу з кроком дискретизації , то справедливі рівності:
,
де , та - однойменні характеристики вихідних аналогових НВП (відповідно,
співвідношення (В.1.1), (В.1.2) і (В.1.3) Додатку В).
Це означає, що СР дискретного НВП:
а) є періодичним повторенням СР вихідного аналогового НВП;
б) є періодичною функцією аргументу з періодом (або аргументу з періодом ).
ФК за частотою дискретного НВП – це двовимірна періодична функція аргументів та
з однаковими періодами, що дорівнюють (або аргументів та з періодом ).
За другою версією спектру Раєвського: ЧЧХ відносно різницевих аргументів і
мають вигляд:
, (2.7)
, (2.8)
, (2.9)
. (2.10)
Взаємні зв’язки між ними - це діаграма (рис.2.2) та співвідношення (2.11-2.16):
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Спектр Вігнера – Віля. При синтезі ЧЧХ, які адекватні дискретному (гратчастому)
процесу, створеному в результаті дискретизації аналогового НВП з кроком ,
виникає проблема визначення симетризованої ФК за часом. Справа в тому, що в
визначені ФК за часом аналогового ВП (див. формулу В.1.18 Додатку В) фігурує
зсув , а в випадку дискретного процесу зсуви можуть бути лише кратними величині
. Тому дискретний еквівалент взаємної ФК за часом має вигляд [63]:
. (2.17)
Конструкція взаємної ФК за частотою аналогічна:
. (2.18)
де ,
,
Визначення спектра Вігнера - Віля дискретного нестаціонарного ВП має вигляд:
. (2.19)
Функцію невизначеності дискретного НВП визначають так:
. (2.20)
Модифікація теореми Вінера – Хінчина в даному випадку має вигляд:
,
,
,
,
Діаграма цих взаємозв’язків має вигляд (рис.2.3).
Окремі випадки нестаціонарного випадкового процесу. Стаціонарний та
детермінований процеси – два можливі окремі випадки нестаціонарного ВП.
Виведено співвідношення для ЧЧХ в кожному з його окремих випадків, відповідних
дискретній моделі НВП, стосовно всіх трьох комплексів ЧЧХ (трьох модифікацій
спектра НВП). Співвідношення, адекватні неперервній моделі дії, наведено в
Додатку В.
Стаціонарний випадковий процес. В окремому випадку, коли - стаціонарний ВП
(навіть, в широкому розумінні), ЧЧХ ВП набувають наступного вигляду:
,
.
,
.
,
.
,
.
Стосовно дискретного стаціонарного ВП співвідношення, відповідні до (В.1.33,
В.1.34) Додатку В такі:
,
,
.
Зазначимо, що - дійсна та парна функція .
Детермінований процес. Якщо - детермінований процес, його ЧЧХ (в цьому випадку,
- енергетичні характеристики) виглядають ідентично однойменним характеристикам
нестаціонарного ВП за наявністю двох відмінностей. Перша – формальна: відсутні
символи МС. Друга – принципова: вони позбавлені імовірні