Розділ 2
ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ТЕОРІЇ СТІЙКОСТІ
ОБМОТОК ТРАНСФОРМАТОРІВ
2.1. Загальні рівняння стійкості
В якості розрахункової схеми обмотки візьмемо лінійно-пружний нескінченний
стрижень прямокутного поперечного перерізу, віссю якого є гвинтова лінія
(рис.2.1, де осі збігаються з головною нормаллю, бінормаллю та дотичною [230]).
Стрижень має зосереджені лінійно-пружні опори, розташовані на рівновіддалених
одна від одної твірних колового циліндра радіуса , на якому лежить гвинтова
вісь. Опори протидіють переміщенням у напрямку осей і поворотам поперечних
перерізів відносно осей Крім того, в опорах виникають моменти тертя, які
перешкоджають поворотам поперечних перерізів відносно осей На стрижень діє
рівномірно розподілене вздовж його осі радіальне навантаження У перерізах, що
потрапляють на опори, до стрижня прикладені протилежно спрямовані сили котрі
діють вздовж твірних циліндра, який містить гвинтову вісь (рис.2.2).
Геометричні та фізичні параметри стрижня, значення сил, що діють на нього, такі
ж, як у середнього в радіальному напрямку провідника обмотки, отже - середній
радіус обмотки. Для відображення процесу втрати стійкості поданої моделі
скористаємося співвідношеннями теорії просторової деформації криволінійних
стрижнів [77, 230]. Рівняння рівноваги елемента стрижня (провідника) мають
вигляд
(2.1)
де - проекції головного вектора і головного моменту внутрішніх зусиль
на осі ;
- проекції головного вектора і головного моменту розподілених
зовнішніх сил на осі ;
- головні компоненти кривизни та кручення.
Рис. 2.1. Схема розрахунку гвинтової обмотки
Рис. 2.2. Схема сил, що викликають утрату стійкості
Штрихами позначається диференціювання за координатою (див. рис.2.1), що
представляє довжину дуги гвинтової лінії (відлічується вздовж гвинтової осі від
певної точки, яка взята за початок відліку).
Головні компоненти кривизни та кручення визначаються таким чином:
(2.2)
де - головні компоненти кривизни та кручення ідеального стрижня
з гвинтовою віссю;
- прирости головних компонентів кривизни та кручення, які
відповідають початковим і повним переміщенням.
Під початковими маються на увазі переміщення, обумовлені геометричними
недосконалостями, що виникли під час виготовлення стрижня (обмотки).
Додатковими вважаються переміщення, викликані дією зовнішніх сил. Повні
переміщення являють собою суму (у загальному випадку геометричну) початкових і
додаткових переміщень. Повні й початкові переміщення відлічуються від осі
ідеального стрижня. Додаткові переміщення відлічуються від осі стрижня, що має
початкові геометричні недосконалості.
Прирости головних компонентів кривизни та кручення виражаються через
переміщення за допомогою наступних співвідношень [230]:
(2.3)
де - переміщення в напрямку осей ;
- кути повороту поперечних перерізів стрижня відносно осей .
Для проекцій головного моменту внутрішніх зусиль справедливі вирази
(2.4)
де - моменти інерції поперечного перерізу стрижня (провідника) при
згинанні у напрямку осей і крученні відносно осі
- модулі пружності матеріалу провідників при розтягненні-стисненні
і зсуві.
Використовуючи співвідношення (2.1) - (2.4) і враховуючи, що для ідеальної
гвинтової лінії кривизна проекції елемента дуги на спрямну площину дорівнює
нулю , розглянемо стрижень у двох станах: в ідеальному (недеформованому) і в
деякому деформованому .
У першому випадку сили, прикладені до стрижня, дорівнюють
(2.5)
Підставивши вирази (2.5) до рівнянь рівноваги (2.1), отримаємо
(2.6)
де - проекції головного вектора і головного моменту внутрішніх зусиль
на осі для ідеального стрижня, які у даному випадку позначені
через (див. рис.2.2).
У деформованому стані стрижень будемо розглядати з урахуванням повороту його
поперечних перерізів відносно осі (див. рис.2.2). Беручи до уваги реакції опор,
для проекцій на осі головного вектора і головного моменту розподілених
зовнішніх сил отримаємо такі вирази:
(2.7)
де - осьовий розмір (висота) поперечного перерізу стрижня
(провідника);
- номер опори (стовпа дистанціювальних прокладок);
- координата, що визначає місце розташування -ї опори;
- дельта-функція (Дірака) [42, 162];
- коефіцієнти жорсткості опор при переміщеннях у напрямку
осей і ;
- коефіцієнти жорсткості опор при поворотах поперечних перерізів
стрижня відносно осей
- моменти відносно осей обумовлені тертям в опорах.
Проекції на осі головного вектора внутрішніх зусиль подамо у вигляді сум
(2.8)
де - прирости проекцій на осі головного вектора внутрішніх зусиль,
викликані деформацією стрижня.
Підставимо вирази (2.8) до рівнянь рівноваги (2.1) і виключимо з них прирости
проекцій на осі головного вектора внутрішніх зусиль. З урахуванням
співвідношень (2.6) будемо мати
(2.9)
Переміщення стрижня подамо у вигляді тригонометричних рядів
(2.10)
де - номер форми (втрати стійкості).
Унесемо в рівняння (2.9) вирази для головних компонентів кривизни і кручення
(2.4), а також зовнішніх сил (2.7), попередньо розклавши їх у тригонометричні
ряди вигляду (2.10). Беручи до уваги, що для гвинтової лінії мають місце
співвідношення
(2.11)
і використовуючи умову нерозтяжності осі стрижня при згинанні
(2.12)
з урахуванням виразів для переміщень остаточно отримаємо таку систему рівнянь
(2.13)
де
- осьове навантаження;
- кількість опор на одному витку осі стрижня.
Рівняння (2.13) розв’яжемо відносно складових переміщень. Отримані результати