РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ И ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ЗЕМНОЙ КОРЕ
2.1. Математические модели процесса теплопереноса в земной коре
Распределение температуры в земной коре с учетом зависимости теплофизических коэффициентов от температуры описывается нелинейным уравнением теплопроводности:
(2.1)
Если допустить, что теплофизические коэффициенты ? и с? слабо зависят от температуры и их можно считать постоянными, то уравнение (2.1) превращается в линейное уравнение теплопроводности, в нестационарном случае
, (2.2)
и в уравнение
(2.3)
в стационарном,
где x, y, z - текущие координаты;
?=(х, y, z, T) - коэффициент теплопроводности, Вт.м/град;
T - температура, град;
с??(x, y, z, T) - объемная теплоемкость, Дж.кг/град;
? - время, с.
Если из (2.1)-(2.3) изъять соответствующие составляющие, легко можно получить уравнения для:
двумерных задач
(2.4)
(2.5)
, (2.6)
и одномерных задач
(2.7)
(2.8)
. (2.9)
Кроме основного уравнения математическая модель явления теплопроводности должна также содержать описание начального распределения температур и соотношения, указывающие на характер, величину и место приложения граничных тепловых воздействий, которые в совокупности определяют однозначный результат.
Если температура на границе задана явно, то имеют место граничные условия первого рода (ГУ I рода)
; (2.10)
и граничные условия второго рода (ГУ II рода)
, (2.11)
где q - тепловой поток, Вт/м2;
n - нормаль к границе.
Если условия на границе тел задаются с привлечением параметров окружающей среды или параметров сопряженного с данным объектом тела, то в этом случае граничные воздействия формализуются в граничные условия третьего (ГУ III рода)
(2.12)
и четвертого рода (ГУ IV рода)
?n=+0, Т?n=+0-T?n=-0=, (2.13)
где ?* - коэффициент теплопроводности сопряженного тела;
Rk(x,y,z,T) - термическое сопротивление контакта, град. м 2/Вт.
2.2. Математические модели процессов фильтрации и теплопереноса в водонапорных пластовых системах
При расчете геотермальных циркуляционных систем следует определять сетку размещения скважин (расстояние между скважинами и схему их размещения), диаметры скважин, режимы работы циркуляционной системы (дебит скважин, давление в нагнетательных и подъемных скважинах), при которых достигается наиболее полное и экономически рациональное извлечение тепла Земли. Для этого необходимо совместное решение тепловой и гидродинамической задачи [14, 46, 48, 49, 50, 54, 65, 66].
В [65] описаны математические модели процессов тепломассопереноса в водонапорных пластовых системах, в которых:
1. Гидродинамическая задача ставится как плановая (одномерная по оси z и двумерная по осям х и у), фильтрация несжимаемой жидкости в горизонтальном пласте с переменной (во времени и по протяженности пласта) гидропроводностью.
2. Процесс охлаждения твердого скелета рассматривается как внутренняя задача нестационарной теплопроводности в каждой отдельной частице при обтекании ее жидкостью.
3. Теплоперенос фильтрационным потоком рассматривается как внешняя задача конвективного теплообмена при обтекании теплоносителем частиц твердого скелета.
Математическая модель процесса неизотермической фильтрации при этом имеет вид:
(2.14)
(2.15)
где H - напор, м;
k - коэффициент фильтрации;
? - коэффициент теплопроводности водонасыщенного пласта, Вт.м/град;
c? - объемная теплоемкость жидкости, Дж.кг/град;
с0?0 - объемная теплоемкость горной породы, Дж.кг/град ;
p - пористость;
Q - внутренний источник теплоты;
Vx,, Vy - составляющие скорости фильтрации.
Решение этой системы уравнений осуществляется на ПЭВМ. В процессе решения уточняется расстояние между подъемными и нагнетательными скважинами, определяются гидродинамические характеристики циркуляционной системы. Результаты моделирования представляются в виде температурных полей и полей давлений в пласте.
Для решения линейных и нелинейных плоских и объемных задач, описываемых уравнением или системой уравнений нестационарной теплопроводности, когда решение реализуется на ПЭВМ, наиболее эффективным является метод конечных разностей.
2.3. Решение систем конечно-разностных уравнений на ПЭВМ
Замена бесконечно малых изменений переменных в математической модели их конечными аналогами лежит в основе численных методов моделирования [10].
Метод прямых аналогии предполагает проведение дифференциально-разностной аппроксимации, в результате которой уравнение с частными производными преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, после чего используется один из аналитических или численных методов.
Наиболее разработанным и удобным для технической реализации является метод конечных разностей. Этот метод, называемый также методом сеток, основан на приближенной аппроксимации основного дифференциального уравнения и соответствующих граничных и начальных условий разностными уравнениями, в результате чего моделирование сводится к решению системы алгебраических уравнений.
Одним из первых шагов при применении метода конечных разностей к решению уравнения в частных производных является переход от непрерывной области к конечно-разностной сетке (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Пример конечно-разностной сетки.
Теперь будем рассматривать не функцию Т(x, y), а функцию Т(i?x, j?y). Положение точек (узлов сетки) внутри области определяется значением величин i, j, поэтому разностные уравнения обычно записываются для произвольного узла (i,j), причем используются значения функции T в этом и соседних узлах сетки.
Пусть Тi,j= Т(x0,y0), тогда
Ti+1,j= Т(x0+?x, y0), Ti-1, j= Т(x0-?x, y0),
Ti,j+1= Т(x0, y0+?y),