Содержание
Введение 4
1 Спиновый полярон
в сильнокоррелированных системах 10
1.1 Введение........................................... 10
1.2 Локальный спиновый полярон на кондо-решеткс .... 12
1.2.1 Спектральный вес голых носителей ............ 12
1.2.2 Нижняя ноляронная зона....................... 15
1.3 Локальный полярон, одетый в спиновые волны........
1.3.1 Случай нулевой температуры................... 18
1.3.2 Структура иолярона при конечных температурах 23
1.4 Спиновый полярон для реалистичной модели........... 27
1.5 Заключение......................................... 31
2 Спаривание ноляронов в двумерной модели Хаббарда 32
2.1 Вариационная функция основного состояния........... 32
2.2 Одночастнчные возбуждения.......................... 36
2.3 Спектр двухчастичных возбуждений................... 38
2 4 Явные выражения для состояний блока................ 43
3 Спиновая восприимчивость купратов 45
31 Обзор эксперимента и некоторых теорий ............. 45
3.2 Схема вычислений................................... 51
3.3 Эволюция спектра в средненолевом приближении ... 56
3 4 Предел малого допирования.......................... 59
3.5 Допирование, близкое к оптимальному ............... 66
3.6 Выводы............................................. 70
4 Низкоразмерные блочные модели 72
4.1 Одномерная модель Хаббарда......................... 72
4.1.1 Введение..................................... 72
4.1.2 Блочный вариационный метод................... 74
4.1.3 Реализация с минимальным блоком.............. 76
4.1.4 Увеличение размеров блока.................... 78
4.1.5 Приложение................................... 82
4.2 Одномерная решетка Андерсона....................... 82
2
4.2.1 Фазовый переход и структура основного состояния 82
4.2.2 Схема вычисления вариационных средних .... 86
4.3 Модель Гейзенберга на треугольной решетке............ 92
4.3.1 Состояния блока................................ 93
4.3.2 Блочный гамильтониан........................... 95
4.3.3 Хартриевское основное состояние и спиновые возбуждения.......................................... 99
4.4 Модель с двумя спиновыми степенями свободы...........107
4.4.1 Модель ........................................107
4.4.2 Классическая и среднеполевая фазовые диаграммы ..............................................108
4.4.3 Схема вычислений...............................109
4.4.4 Результаты и обсуждение.........................ИЗ
4.5 Вигнеровский кристалл с дефектами....................116
5 Особенности сопротивления и эффекта Холла 123
5.1 Введение.............................................123
5.2 Связь константы Холла в т-приближении
с кривизной поверхности Ферми........................124
5.3 Применение к нескольким простым моделям..............126
5.4 Коэффициент Холла н сопротивление
в двухмоментном приближении..........................128
С Сверхпроводимость в подходе спинового полярона 133
6.1 Введение. Модель ....................................133
6.2 Вычисления в нормальном состоянии....................134
6.3 Сверхпроводящее состояние. Голые дырки и поляроны 136
7 Спин-жидкостной подход
в теории классической жидкости 141
7.1 Введение.............................................141
7.2 Модель ..............................................142
7.3 Схема вычислений.....................................144
7.4 Результаты и обсуждение..............................146
Заключение 152
3
Введение
Введение
Предметом настоящей работы являются системы с сильными меж-электронными корреляциями. Если сформулировать точнее - с сильными корреляциями между подсистемой носителей и маснигным, спиновым фоном. Эта область физики твердого тела, всегда бывшая интересной и актуальной, получила сильнейший импульс после открытия высокотемпературной сверхпроводимости и последовавшего за ним всплеска корреляционных моделей ВТСП. а также бурного развития смежных областей, таких как тяжелые фермионы и квантовые фазовые переходы.
Для указанных систем и соответствующих моделей характерно наличие двух "этажей”: нижнего - магнитного фона, и верхнего - зарядовых носителей. Магнитный фон обычно описывается стандартной моделью Гейзенберга или ее модификациями (в предельном случае на нижнем этаже может оставаться набор невзаимодействующих локализованных спинов). Подчеркнем сразу, что везде далее, за исключением специально оговоренных случаев, взаимодействие между спинами магнитной подсистемы подразумевается ангиферромагнитным. Зарядовые носители - подвижные электроны или дырки в концентрациях от ничтожных до металлических.
Между подсистемами-этажами существует взаимодействие. Его физические причины (и математическое выражение) могут быть разными. но у всех рассматриваемых моделей есть важнейшая общая черта - это взаимодействие сильное. Сильное в том смысле, что даже для качественном описания картины необходимо учитывать его уже в нулевом приближении.
Самой простой и самой известной моделью такого типа является однозонная модель Хаббарда [68, 69) с гамильтонианом
НниЬЬаЫ = 4 £ («+о, + (’.+6; ) + и £ <а‘Ь>‘ (Н
<а> I
здесь а+ и 6* рождают на узле г электрон со спинов вверх н вниз, £ и и - перескоковый интеграл и внутриузельнос кулоновское отталкивание, < у > обозначает пары узлов (в простейшем случае ближайших соседей). В рассматриваемом контексте наиболее интересен, конечно, предел сильной корреляции Ь <§; и.
4
Введение
В модели Хаббарда одни и те же электроны выступают и как магнитный фон, и как зарядовые носители, то есть разделение на подсистемы не столь очевидно. Оно ясно проявляется в производной от модели Хаббрда t — J модели
£<-/=«£ +Щ)+J Е s<si (2>
<»>> <ij>
Первая сумма в t — J гамильтониане описывает движение скоррелированных электронов (прыжок возможен только на свободный узел), вторая - обменное взаимодействие электронных спинов (J ~ t2(U). Вопросу о корректности перехода от (1) к (2) и возможности опросить при этом трехузельные члены посвящена обширная литература, не будем на нем останавливаться, стандартные преобразовнания выполнены в [35, 60, 31).
Еще в двух широко распространенных моделях - s — d модели и периодической модели Андерсона - разделение на подсистемы производится изначально, взаимодействие же между магнитным фоном и носителями имеет разный вид.
В 5 - d модели (она же s — / модель, регулярная модель Кондо, спин-фермяонная модель) взаимодействуют спины локализованных и зонных электронов (S, и s, соответственно)
H9-d — tijciec)o ■+ J S,s (3)
<ij> і
здесь cf+ = afy cf_ = b*; обменный член записан в гейзенберговском виде для наглядности (в корректной формулировке спины зонных электронов должны быть выражены через фермн-операторы с помощью преобразования Абрикосова [2|).
В периодической (регулярной) модели Андерсона механизмом взаимодействия подсистем является гибридизация
ft Anderson = Y, 1ЧС1оСз° + ^ S Т,Ъ + UY, nWl (4)
<ij> і<г і
+ £ (Vti4,ilc + h e.) (5)
здесь £d - уровень локализованного электрона ndio = dfcdio - число локализованных (d) электронов на узле, V - параметр гибридизации.
5
Введение
Все четыре модели записаны здесь в простейшем виде, без учета нередко вводимых дополнительных взаимодействий, анергия везде отсчитана от центра зоны проводимости.
Существуют, конечно, и более сложные модели описанною вида. Самая известная из них - используемая при анализе СиО2 плоскостей ВТСП купратов трехзонная модель Хаббарда.
Настоящая работа представляет собой попытку построения основного состояния, спиновых и зарядовых возбуждений в нескольких моделях описанного типа. Построение ведется на основе двух физических идей.
1. Основным состоянием магнитной системы с антиферромагнит-ным (АФМ) взаимодействием не обязательно является неелевское АФМ состояние с подрешетками. пусть даже и размытое спиновыми волнами. Конкурентным с ним по энергии нередко оказывается состояние другого типа - состояние ИУВ, снин-жидкостное состояние, сферически-симметричное синглетное состояние (эти термины, означающие почти одно и то же, будут пояснены далее}. В случае низкой размерности, в ультраквактовом пределе спина 5 = 1/2, при наличии фрустрации любого происхождения (геох<етрической или вызванной взаимодействием с дальними соседями) эта конкуренция усиливается.
Для такого состояния характерно отсутствие магнитных подреше-ток и нулевой средний спин на узле. Однако антиферромагнитный корреляции в системе остаются, а их поведение на больших расстояниях определяет наличие или отсутствие дальнего порядка. Спектр спиновых возбуждений при этом может существенно отличаться от стандартных АФМ спиновых волн.
2. Из-за сильного взаимодействия с подсистемой носителей перестройка структуры магнитного фона сказывается и на спектре зарядовых возбуждений. Причина в том, что затравочные (или слегка перенормированные) электроны и дырки не являются в таких системах хорошими квазичастицами. Хорошая квазичастица, по крайней мере, в некоторых случаях, - это магнитный полярой, то есть электрон (дырка), сопровождаемый существенным искажением магнитного фона, не обязательно локальным.
Поэтому спектр зарядовых квазичастич может, во-первых, сильно отличаться от спектра затравочных электронов и дырок, а, во-вторых, существенно зависит от структуры магнитного фона.
6
Введение
Реализации этих двух идей для некоторых как модельных, так и более близких к эксперименту' задам посвящена настоящая работа. План изложения следующий.
Во второй главе для последовательно усложняемых моделей представлен обзор основных идей концепции магнитного полярона, показаны пути усложнения и детализации структуры полярона.
В третьей главе рассматривается пример сильно фрустрирован-ной двумерной магнитной системы треугольная гейзенберговская решетка. На основе блочного метода строится основное состояние с упомянутыми выше свойствами, производи гея его сравнение со стандартным антиферромагнитным.
Четвертая глава посвящена спиновым свойствам ВТСП купратов в области допирования от нулевого до оптимального. Рассмотрение ведется на основе фрустрнрованной модели Гейзенберга на квадратной решетке, результаты позволяют произвести подробное сравнение с экспериментом.
Следующая, пятая глава посвящена нескольким ннзкоразмерным моделям, для каждой из которых анализируется возможность построения состояний спин-жидкостного типа.
В шестой главе демонстрируется возможность корреляционного спаривания поляронов в простейшей сильнокоррелированной модели - двумерной модели Хаббарда.
Седьмая глава посвящена кинетическим свойствам особенностям сопротивления и эффекта Холла в двумерных системах с характерным для ВТСП купратов спектром.
В восьмой задача о спаривании поляронов рассмотрена для более сложной - $ — с/ модели. Продемонстрирована возможность такого спаривания, показана критическая важность учета деталей структуры полярона.
И, наконец, последняя глава не касается сильнокоррелированных электронных систем. Она представляет собой попытку перенесения математических методов, развитых при рассмотрении спиновой жидкости, на теорию классической жидкости.
Изложение соответствует работам [165) - [182], ссылки на которые приведены в конце списка литературы
7
Введение
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Развитие для 20 модели Хаббарда в пределе сильной корреляции (вблизи половинного заполнения) блочного вариационного метода. позволяющего корректно учесть ближний порядок, построение основного состояния и определение его структуры построение одно-и двухчастичных зарядовых возбуждений.
2. Демонстрация для упомянутой модели возможности корреляционного механизма динамического спаривания локальных поляронов. Оценка энергии связи пары - биполярона.
3. Развитие самосогласованной теории двумерной фрустрирован-иой 5 = 1/2 модели Гейзенберга с учетом действительных и мнимых перенормировок функций Грина спиновых флуктуаций.
4. Восстановление величины затухания спиновых возбуждений и его температурной зависимости для недодоиированных куиратов в рамках развитой теории и на основе анализа нейтронного экспери-мента.
5. Построение аналитического вида скейлннговой функции для спиновой восприимчивости, которая описывает экспериментальный скейлинг в недодоиированных купрагах.
6. Теоретическое описание возникновения седловой точки вблизи (7г/2,тг/2) в спиновом спектре лантановых купрагов в диэлектрическом пределе.
7. Демонстрация в рамках страйи-сценария эволюции спинового спектра купратов с росток« допирования: сдвиг пика плотности состояний в область низких частот м ~ 50 те!''; возникновение седловой особенности в спектре вблизи (тг/2,0); сильное смягчение спектра вблизи (тг,0).
8. Развитие метода (гибрида ренормгрупгш в прямом пространстве н вариационного подхода) нахождения энергии основного состояния для модели Хаббарда, который дает хорошее согласие с точным решением в Ш случае и допускает обобщение на большую размерность.
9. Развитие метода вычисления вариационной энергии для Ш регулярной модели Андерсона в высоком порядке по гибридизации и с учетом внтуриузелысого в — / обмена Определение структуры основного состояния, которое в АФМ фазе оказывается бесподрешеточным, и аначнз ФМ—»АФМ перехода в зависимости от параметров модели.
10. Описание для 2Б треугольной решетки перехода по фрустрации
8
Введение
из 120°-структуры в страйп-фазу. Построение квантового основного состояния в обеих фазах, анализ спектра спиновых возбуждений.
11. Построение фазовой диаграммы для 20 модели с двумя спиновыми степенями свободы на каждом узле (обобщение модели Ашкина-Теллера). Демонстрация возможности фазового перехода АФМ -»спиновая жидкость - как в обеих подсистемах одновременно, так и только в одной из них.
12. Анализ неустойчивости двумерного вигнеровского кристалла по отношению к образованию конечного числа точечных дефектов. Демонстрация того, что косвенное взаимодействие дефектов через поджатие решетки может приводить к изменению картины перехода.
13. Для модели 20 допированного антиферромагнетика с квазиод-номерным спектром зарядовых носителей (дно зоны вблизи границы АФМ зоны Бриллюэна) показано, что линейный ход сопротивления из-за квазинестинга в спектре носителей может быть существенно затянут в область низких температур, а коэффициент Холла может иметь сильную температурную зависимость из-за анизотропии рассеяния. Учет такого рассеяния (как на магнонах, так и на фононах) произведен в рамках многомоментного метода решения кинетического уравнения.
14. В рамках 20 решетки Кондо показано, что для появления сверхпроводящего спаривания недостаточно учета аномальных функций Грина для голых дырок - спаривание возникает только при введении аномальный функций Грина для спин-поляронных операторов.
15. На основе развитого выше (пункт 3) математического аппарата предложен основанный на модели Гейзенберга решеточный спин-жидкостной подход к рассмотрению классической жидкости, который позволяет описать поведение полной корреляционной функции при изменении температуры и вида потенциала. Для модели двухступенчатого потенциала продемонстрирована возможность фазового перехода по температуре в жидкости с изменением ближнего порядка.
9
Спиновый полярон в сильнокоррелпрованных системах
1 Спиновый полярон
в сильнокоррелированных системах - обзор
1.1 Введение
В этом разделе изложены основные теоретические идеи, касающиеся спин-поляронного сценария для зарядовых возбуждений в двумерном антиферромагнетике. Отличительная особенность развиваемого подхода состоит в рассмотрении локального полярона (а не голой дырки] в качестве нулевого приближения для квазичастицы. На следующем этапе это возбуждение одевается в антиферромагннтные спиновые волны - формируется полярон промежуточного (или бесконечного) радиуса. Метод позволяет непрерывно описать переход от нулевых температур к конечным и рассмотреть широкий диапазон допирования. Изложенный подход объясняет основные результаты АКРЕ5-экспсриментов в плоскости СпОг.
Как известно, существует много двумерных (20) систем с сильной корреляцией, которые демонстрируют нефермижндкостное поведение носителей. Основная трудность теории здесь состоит в том, что операторы низколежащих элементарных возбуждений в таких системах не удовлетворяют ни бозевским, ни фермиевским коммутационным соотношениям. Один из наиболее ярких примеров такой ситуации представляет из себя доиированный 20 антиферромагнетнк (АФМ), который отражает основные черты плоскости Си()2 в высокотемпературных сверхпроводниках (ВТСП). Эта система экспериментально наиболее изучена. В частности, целый ряд необычных свойств демонстрируется фотоэмиссионной спектроскопией с угловым разрешением (АЯРЕЗ), которая в принципе позволяет измерить одночастичную спектральную функцию носителей.
Одним из подходов для описания элементарных возбуждений в 2Э АФМ является концепция спинового магнитного полярона (175), рассмотрение которой и представляет основную цель этой обзорной главы.
Начальная идея этой концепции состоит в том, что элементарное возбуждение в 2Я АФМ может быть представлено как голая частица (электрон или дырка), окруженная некоторой деформацией спиновой диэлектрической подложки. Простейшая реализация такой квазича-
10
Спиновый полярон в сильнокоррелированных системах
стицы - локальный спиновый полярон (ЛСП) - должна даваться решением кластерной задачи. Выбирая энергетически низкие состояния малого кластера, можно далее описать движение ЛСП на АФМ фоне.
Движение ЛСП сильно зависит от состояния магнитной подложки и спин-спиновых корреляционных функций. Ниже при рассмотрении магнитной подсистемы мы будем основываться на сферически симметричном описании 5 = 1/2 гейзенберговского антиферромагнетика на квадратной решетке [138, 11). Отметим, что, как известно, при любой конечной температуре, а также при достаточной фрустрации в спиновой подсистеме именно сферически симметричное состояние является наиболее реалистическим.
Интуитивно ясно, что при Т = 0 движение малого колярона должно зависеть ОТ наличия {или отсутствия) дальнего порядка в спиновой подсистеме. Это означает, что второй важный шаг в развитии концепции спинового полярона - учет взаимодействия ЛСП со спиновыми волнами с квазиимпульсом Q = (л-, тг). То есть возникает необходимость введения операторов сложного спинового поляро-па (ССП). Сложный спиновый полярон - это локальный полярон. одетый в спиновые волны с квазиимлульсом q, близким к Q. Структура низколежащего спектра ССП определяется расщеплением нижней зоны локального полярона. Как будет видно ниже, в результате эффективная поверхность Ферми демонстрирует сильнейшее отклонение от теоремы Латтинджера Кроме того, воспроизводятся следующие интересные ARPES экспериментальные результаты: резкое падение интенсивности ARPES пиков мри изменении квазиимпулься от (тг/2. л/2) к (тг, тг) или (0,0), возможность существования "теневой 30Hbi"(shado\v band effect) и так называемая псевдощель на поверхности Ферми.
Спин-поляронный подход работает в любой сильно-коррелированной модели. В этом обзоре основные его идеи будут продемонстрированы на примере кондо-решетки - простейшей из моделей, используемых для описания плоскости Си02. Для детального описания экспериментальных результатов будет использована эффективная спин-фермионная модель, учитывающая реалистические черты плоскости Си02.
11
Спиновый полярон в сильиохоррслироваиных системах
1.2 Локальный спиновый полярон на кондо-решетке
В этом разделе рассматривается кондо-решетка с исчезающе малым обменным взаимодействием между локализованными спинами (104, 105]. Единственным малым параметром задачи считается кинетическая энергия, которая много меньше кондовского обмена У » t.
Близкая ситуация наблюдается в плоскостях СиО> в сверхпроводящих купратах. Здесь кондовский обмен соответствует энергии образования синглета Занга-Райса на одной плакетке СиО* (164], он порядка 2 — 3. Кинетическая энергия t движения синглетов составляет- примерно 0.5 и существенно превышает обмен между соседними спинами, величина которого примерно 0.15.
Ниже на примере простой модели будет (в подходе спинового по-лярона) продемонстрировано отклонение от ферм невской статистики. Аналогичный эффект известен также как spectral weight transfer (50] - когда экспериментально наблюдаются зоны со спектральным весом, зависящим от заполнения и меньшим, чем в случае фермиевской статистики. Это означает, что для заполнения всей зоны нужно меньше электронов, чем в фермиевском случае.
1.2.1 Спектральный вес голых носителей
Если полностью пренебречь движением электронов и обменным взаимодействием соседних локализованных спинов, гамильтониан модели приобретает предельно простой вид:
я = £гяг,
Нг = 2./ Sr • sr = У (s;(i1,1 - nri) + SrbefjOrt + 5“a+arl) ,
где Sr - оператор локализованного спина S = 1/2 в узле г, пт„ (a (+)> 1 (")) оператор уничтожения электрона с проекцией спина 6* = а/2, пго - а\аатс.
Одноузсльный гамильтониан обладает 8-ю собственными состояниями: 2 состояния без электронов, соответствующие двум направлениям локализованного спина, 2 состояния с двумя электронами (все эти четыре состояния имеют кулевую энергию Ео = Е-1 = 0) и 4 состояния с одним электроном на узел: нижнее сивглетное и три триплет-ных с энергиями соответственно £ю = £о = -ЗУ/2, Ец = е\ = У/2.
12
Спиновый полярой в снльнокоррелированных системах
Для этой модели термодинамический потенциал определяется выражением
Я = -7\\г/. ыг , £ = 2 + е-Я*-*) + 3<Г*(£1-*> + 2ем#* (7)
(Лт/. - число узлов решетки, ц - химический потенциал, 0 - обратная температура). Отсюда легко получить среднее число частиц (оно определяется величиной р) и среднюю энергию для данного узла:
дг = = | (с-Я«о-м> + Зе-Я*-*) + 4еЗД*),
(//,) = £ (вое-^“^ + ^
При высоких температурах (Т 3> 7 ) одноэлектронные состояния заполнены равномерно и тогда имеем N = 2/(е + 1). При низких
температурах (Т 7) и ух < 0 (определим ноль энергетической шкалы как Е0 = Е-2 = 0) состояния с двумя электронами не заняты. Более того, покольку е"^° » пусгы и одноэлектронные триплетные состояния, и в этом пределе имеем
* - »КЧ+Г ('« - *"■ №>
При /л > 0 заполняются состояния с двумя электронами. Однако этот случай не требует специального рассмотрения - благодаря симметрии Гамильтониана (С) по отношению к электрон-дырочному преобразованию «<, = <га1с.
Рассмотрим для сравнения случай свободных фермионов на уровне £о с двукратным спиновым вырождением. Тогда вместо (9) имеем Л'Ггее = 2/(е^*0-^ + 1). Поэтому из (9) при ц < - Т и
ехр(0(ео - ц)) 3> 1 находим
N * 1/2 = Аг/г<74, (10)
а при р> £о -Т и ехр{0[£о - /л)) <£ 1
№*1 = N**“/2. (И)
Очевидно, что заполнение будет отличаться от ферм невского и в случае, когда синглетные состояния благодаря перескокам электронов размываются в синглетную зону.
Чтобы в дальнейшем обобщить полученные выше результаты на более реалистическую ситуацию - с учетом кинетической энергии, -
13
Спиновый полярон в сильнокоррелированных системах
решим теперь задачу (6) с помощью двухвременных функций Грина. Используя операторы
а - аг\ , Ь — S*ori + S~aTi ,
с = nrlorT , d = 5‘ггг1огТ -f 5“nr-orl ,
нетрудно получить замкнутую систему уравнений движения:
и?(а | а+) =1 + J{b | а+), С; = а» + /г,
(ш + J){6 | а+) = f J(a | а+> + 2J«d1 а+»
w(c | а+> = с0 + J(d | о+)
(ui — J){d\ a+> ~<k + %J(c | a+)
Здесь введены следующие средние:
Со = <{с,а+}} = (nrl) = N/2, do = <{d,a+}) =-£{ЯГ> = -<«'&>-
(12)
(13)
(14)
Последний коррелятор легко получить из функции Грина (6 | а1). Ограничимся в дальнейшем пределом низких температур Г < 7 и ц < 0. Б этом и редаче можно угадать самосогласованное значение <4, взяв его из представленного выше термодинамического анализа, который дает (см. (9)) do = ЗЛг/4.
Решение системы уравнений (13) позволяет получить выражения для электронной функции Грина (а | а+) и функции Грина (6 | а*’). Используя (14), получаем:
, , 1 + Лг._ 3 3(1-ЛГ). ! . , N.. 3Т._1/1ГЧ
(а | а1) = —-—(и;+-^) + ■-------- (<*>- -.7) +-г-(^--7) (15)
... к 3(1 + Л0,_ 3 п. 3(1-ЛГ)._ 1 ... ЗЛГ,_ 3 {Ь | а*> =--------------+ -.7) 1 + > - -7)-1 + —(« - -.7)
(16)
Эти три полюса соответствуют переходам Ео —* Ею, Е0 —* Ей и Ею —» Е,_. При низких температурах Т <§: .7 и ц < 0 триплст-ные состояния незаняты, этим объясняется отсутствие соответствующего полюса в (15). Среднее число электронов на узле г со спи-
14
- Київ+380960830922