Кристаллогеометрические и рентгенодифракционные методы исследования специальных границ зерен

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1
Расчет разориентировок кубических решеток, создающих РСУ, на основе периодической системы кристаллографических индексов.
ГЛАВА 2
Расчет разориентировок <иУЛУ> кубических решёток, образующих РСУ разных сингоний.
ГЛАВА 3
Разработка рентгеновского метода реперной дифракции специальных границ зёрен в спальном листе с кубической компонентой текстуры и тетрагональными РСУ.
ГЛАВА 4
Дифрактометрический анализ ромбических РСУ на ребровой текстуре листовой стали.
ГЛАВА 5
Рентгенодифракционный анализ гексагональных РСУ в октаэдрической компоненте текстуры стали.
ГЛАВА 6
Рентгеноструктурные исследования ромбоэдрических РСУ в октаэдрической компоненте текстуры листовой стали.
ГЛАВА 7
Рентгенодифракционные исследования ромбических РСУ на специальных границах в компоненте текстуры (112) листовой стали.
ГЛАВА 8
Реперная дифракция моноклинных РСУ в специальных границах стального листа
ГЛАВА 9
РСУ с осями разориентировки, не совпадающими с нормалями к плоскости листа.
Стр.
4-19
20-30
31-41
42 -64
65-88
89 - 102
103-118
119-131
132-145
146-172
3
ГЛАВА 10
Текстурная наследственность и специальные разориентировки в структуре непрерывнолитой стали и стали из слитка.
ГЛАВА И
Текстура и РСУ в нержавеющей и ультранизкоуглеродистой (1Р) листовой стали.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ
Формулы для расчета реперной дифракции РСУ кубических материалов на основных компонентах текстуры.
Таблицы параметров для дифрактометрии (Ре-излучение) РСУ всех сингоний на границах збрен с разными осями разориентировок <1ГУ\У>||НН в стальном листе.
Расчёт информационных объёмов дифрагирующих поликристаллов при съёмке прямых полюсных фигур зёрен и РСУ в специальных межзеренных границах.
Математические способы описания кристаллографических разориентировок кубических кристаллов.
Источники погрешности определения специальных разориентировок зёрен методом реперной дифракции.
173-186
187-212
213-215
216-229
230
231-233
234-240
241-247
248-249
250-254
4
ВВЕДЕНИЕ
Подавляющая масса материалов в промышленности используется в поликристалли-ческом состоянии, поэтому границы зёрен являются неизбежным структурным элементом
большинства твёрдых тел. Границы зёрен - важнейший ст кт ный параметр поликри-сталлических материалов ещё в начале века привлекал внимание материаловедов и специалистов в области физики твёрдого тела. Однако только за последние 35 лет были достигнуты значительные успехи в теоретических и экспериментальных работах по изучению атомной структуры и поведения большеугловых межкристаллитных и межфазных поверхностей раздела [1-35]. В зависимости от типа, структуры и плотности границ зёрен в поликристаллическом материале могут быть повышены полезные свойства и подавлены вредные эффекты, созданы принципиально новые свойства поликристаллов. Например, ярким примером достижений в области исследований границ зёрен являются работы по снижению зернограничной хрупкости в интерметаллическом соединении >НзА1 [36-38]. Интерметаллические соединения характеризуются высокотемпературной прочностью, но имеют низкую пластичность,<7^ю-является фактором, ограничивающим их использование в промышленности. КанпйоказаЗГ, что проблема может быть разрешена путём умеяшю^ ния разориентаций между зёрнами и подавлением зернограничных сегрегаций. Сассуст^ новил, что существует большое различие в образовании серр^ЦиГг&цра^чЗ границах зёрен, характеризуемых обратной плотностью узлов совпадения 1=3, и на произвольных границах. Дезориентирующий эффект сегрегаций бора, увелиЧиваюишя долю произвольных границ, уменьшает зернограничную хрупкость. Способность поликристалла к пограничному скольжению - основной механизм сверхпластичности поликристаллического материала с ульрамелкозернистой структурой (с размером зерна 1-10 мкм). Увеличение общей протяжённости границ зёрен различной ориентации - основное требование для обеспечения эффекта свехпластичной деформации. Для сверхпластичности характерно отсутствие упрочнения при деформации, низкие напряжения течения, их высокая скоростная чувствительность, отсутствие дислокационной структуры, линий скольжения после деформации, интенсивные смещения и вращения зёрен, их равноосность, размытие исходной кристаллографической текстуры. Сверхпластичность проявляется тем больше, чем больше доля малоугловых границ и границ с малыми значениями параметра £, так как они имеют низкие значения граничной энергии и более “проницаемы” для дислокаций, чег/произвольные границы, являясь менее эффективными концентраторами напряжений.
Кроме того^специальные границы м^нее склонны к образованию сегрегаций - дополнительных концентраторов напряжений у границ зёрен. Образование двойниковых прослоек и изменение структурного состояния границ зёрен “стимулируют” проскальзывание по геометрическим поверхностям, разделяющим зёрна, усиливая способность материала к сверхпластичности [3].
Большой практический интерес в создании принципиально новых конструкционных и функциональных материалов, обладающих уникальными свойствами, имеют наноструктурные поликристаллы со средним размером зёрен менее 100 нм. Наноструктуры содержат преимущественно бОЛЬШеуГЛОВЫе ГранИЦЫ Зёрен, ПрИ ЭТОМ В СравнеНЙН С-вбЦ(1ЧНЫМИ материалами в наноматериалах значительно больше так называемы^произвольных ниц [39]. При исследовании наноструктурных материалов был обнаружен эффект улучшения механических свойств в тех случаях, когда границы зёрен хорошо модифицирова-ны[40]. Наноструктуры получают методами обработки с использованием интенсивной пластической деформации: равноканальным угловым прессованием, кручением под высоким давлением, знакопеременным изгибом, многократной всесторонней ковкой, комбинированными схемами деформации - методами, радикально изменяющими как зёренную текстуру, так и мезотекстуру протяжённых границ зёрен [41-45]. Следует отметить, что для сталей формирование и эволюция нанокристаллических структур при пластической деформации и нагреве изучены недостаточно.
В солнечных батареях используется поликристаллический кремний и чем меньше в нём содержнтся^зрби'шольиьгх границ^уем лучше аккумулируется в нём солнечная энергия. При исследовании сверхпроводящего высокотемпературного кристаллического материала УВагСизОт-х было показано, что критический ток (Тс) также в значительной мерс зависит от разориентации границ зёрен [40].
Обзор многочисленных литературных данных показывает на необходимость контроля (и конструирования) в поликристаллических материалах границ зёрен в следующих случаях:
- повышение прочности и пластичности ( размер зерна и объём границ) - осуществляется контроль плотности границ,
- повышение предела ползучести и сверхпроводимость (пространственное расположение границ и двугранный угол) - контроль геометрии границ зёрен,
- повышение коррозионной стойкости и пластичности (форма выделений, их размер и плотность) - контроль морфологических особенностей границ,
подавление хрупкости, высокая коррозионная стойкость (уровень сегрегации, ширина зон выделений) - контроль химического и фазового составов пограничных выделений вторичных фаз,
одновременное увеличение прочностных и пластических свойств, новые свойства ( тип границ и характер их распределения) - контроль типа границ и их струк-
По данным Ватанабе [46] в зависимости от типа и характера границ зёрен можно прогнозировать следующие свойства поликристаллов:
высокие прочность и пластичность ( высокая плотное
границ с большими углами разориентировок),
высокая коррозионная стойкость ( пониженная плотность низкоэнергетических границ),
- усиление роли сегрегаций в свойства материала ( пониженная плотность низкоэнергетических границ),
высокая уплотняющая способность порошковых материалов (повышенная плотность высокоэнерг етических границ),
повышенная способность материалов (М^г, РеТШ) к абсорбции водорода ( высокая плотность высокоэнергетических границ),
высокая эффективность кремния в преобразовании солнечной энергии (низкая плотность низкоэнергетических границ ,в том числе - двойников), высокие магнитные свойства ( высокая интенсивность низкоэнергетических границ).
Феномен границ зерен связан с их значительным влиянием на структурночувствительные свойства мятериадпя Г !епеняпраяпеннпе регулирование поверхностей раздела зёрен, эффективное использование разных подвижностей границ , контроль их плотности, морфологии и характерных параметров приведут к новым свойствам материалов, которые отличаются от свойств материалов, производимых без соответствующего контроля.
Границы зёрен - это поверхность сопряжения , а точнее- пространственная область скачкообразного изменения кристаллографической ориентации зёрен. Современными
экспериментальными методами показано, что "толщина" границ зёрен составляет два-три межатомных промежутка, они имеют сложную атомную структуру, связанную с наруше-ниями позиций атомов при переходе от одной ориентации к другой. Под атомной струк-
туры.
турой границ зёрен понимают способ укладки и характер взаимодействия атомов в зернограничной области. Г раницы зёрен являются структурными дефектами в поликристаллах
и вносят заметный вклад в формирование таких свойств как прочность, пластичность, хрупкость, коррозионная стойкость, электрические и мшнитные свойства. Характер вклада каждой границы в свойства поликристалла индивидуализирован, что связано с многообразием и сложностью их атомных конфигураций. Атомная структура границ целиком зависит от взаимной разориентировки кристаллических решёток зёрсн-соседсй и в меньшей степени от пространственной ориентации поверхности раздела. Для количественного описания одной индивидуальной границы следует вводить пять независимых параметров: три из них определяют взаимную разориентацию двух трёхмерных координатных базисов, связанных с кристаллическими решётками зёрен-соседей, а две - ориентацию в пространстве плоскости залегануд^юрттспр^ разориентировки ди направ-
ление оси раз во репа <ЦУ\У>задают вектор разориентировки р. При углах разориентировки, не превышающих нескольких градусов, структура границ зёрен имеет дислокационное строение, угол разориентировки в этом случае пропорционален густоте "стенок" или "сеток" дислокаций. Дислокационная модель ^алоугловых гд^иц зёрен перестаёт описывать реальную атомную структуру при больших (> 10-15°) углах разориентировок из-за перекрытия ядер густонаселённых дислокаций и малоугловая граница дислокационного типа превращается в большеугловую границу (БУГ).
Центральное место в современных представлениях БУГ занимает модель решёток совпадающих узлов (РСУ), впервые представленная в работе Кронберга и Уилсона [10] и далее усовершенствованная Брэндоном [11]. Сверхрешётка(на специальных грашща?Го^-разуется при определённых параметрах разориентировки одного кристалла относительно другого, при этом она объединяет атомные узоры двух кристаллов через совпадения части узлов двух кристаллических решёток зёрен, развёрнутых относительно какой-либо определённой кристаллографической оси на строго детерминированные углы. Характерным дискретным углам р и осям разворота <1Т\АУ> соответствует определённая плотность узлов совпадения - доля их по отношению ко всем узлам решётки кристалла. Чаще для характеристики РСУ используют обратную величину плотности узлов совпадения, обозначаемую символом Е - число узлов решётки кристалла в элементарной ячейке РСУ. Модель Кронберга-Уилсона для геометрического описания большеугловых границ, не поддающихся дислокационным концепциям, оказалась настолько плодотворной, что привела к серии новых образов и понятий, таких как геометрические модели вспомогательных решёток: полная решётка наложений (ПРИ), решётка зернограничных сдвигов (РЗС), 0 -решётка [1,5,12,13], зернограничные дислокации, обобщённые модели решёток РСУ-ПРН для межзёренных и межфазных границ. Были получены неопровержимые эксперимен-
8
тальные доказательства того факта, что в массе так называемых произвольных границ поликристаллов существует множество специальных высокоупорядоченных или близких к ним границ толщиной в несколько межатомных расстояний, играющих решающую роль в формировании структуры реальных материалов и их физико-механических свойств. Спе- ^ циальные границы по своей структуре, а их энергия имеет экстре-
мально низкие значения, они резко отличаются по своему поведению от произвольных границ общего типа. Энергетические "провалы" на зависимости энергия - угол разориен-тировки в специальных разориентациях имеет небольшую (1-3°) ширину, поэтому важное значение для формирования свойств поликристалла имеют и так называемые границы, близкие к специальным (БС), незначительно отличающиеся по разориеишровкам от специальных, но также имеющие пониженные значения своих энергий. Ощутимый прогресс в понимании устройства границ эбрен и их связи со свойствами был достигнут в исследованиях бикристаллов особо чистых материалов - объектов, аттестованных в химическом, геометрическом и кристаллографическом отношениях. Аттестация большеугловых границ по их количественным параметрам, отнесение экспериментально выявленных индивидуальных поверхностей раздела к классу специальных границ или к границам близким к специальным, определение их кристаллографической ориентации - важная задача физики поликристаллов, от решения которой -зависит решение проблемы создания материалов с -заданными свойствами и, в частности с заданными специальными границами зерен.
Параметрами кристаллогеометрической а'гтестац^Гстециалъньпм^ниц зерен, выделяющими их из всего многообразия внутренних поверхностей раздела, являются: направление оси разориентировки или ось поворота с вектором направления и , угол разо-^3 риентации зерен р, класс Бравэ РСУ, ориентация плоскости границы с нормалью п относительно оси поворота или координатной системы одного из кристаллитов и обратная плотность совпадающих узлов £.В общем виде для экспериментального определения оси ° разориентировки бикристаллов сначала определяют ориентации кристаллической решетки зерен относительно каких-либо внешних направлений, например с помощью микродифракции находят в решетках соседних збрен направления, параллельные пучку электронов, а затем, разориентировку находят через аналитические вычисления ортогональной матрицы разориентировки, либо с помощью стереографических проекций [3]. Ось и угол разориентировки определяют из матрицы разориентировки, элементами которой являются направляющие косинусы между координатными осями смежных кристаллов или збрен, образующих спецграницу. Погрешность определения разориентировки напрямую связана
9
с погрешностями анализа дифракционных картин или точностью графических построений на стереографических проекциях.
В материале с кристаллографической текстурой не может быть хаотического распределения разориентировок, поскольку с наибольшей вероятностью должны встречаться оси разориентаций зёрен, близкие к оси или нормали к плоскости текстуры, т.е. близкие к физически выделенным при механической или каких-либо других обработках материалов направлениям. В текстурованном металлопрокате внешние направления предопределены симметрией физического воздействия, реализуемой при прокатке полос на станах горячей и холодной прокатки, и жёстко связаны с плоскостью прокатки, направлением прокатки (НП) и поперечным к последнему направлению в плоскости полосы (ПН). Поскольку основные компоненты текстуры металлопроката на всех технологических переделах либо
хорошо известны, либо точно определяются современными дифракционными методами,._______
анализа, наибольший интерес исследователей вызывают разориентировки зёрен внутри каждого компонента текстуры с осями поворота, параллельными нормали к плоскости проката. Такие разориентировки - наиболее удобный для исследователей объект изучения обустройства спецграниц и их связей с текстурой зёрен поликристаллических материалов. Для исследования разориентировок зёрен в поперечных к плоскости прокатки плоскостях необходимо подготавливать составные пакеты соответствующе вырезанных образцов. Оси разориентировок кристаллитов и могут занимать и различное положение по отношению к основным осям симметрии листа. Описания разориентировки в терминах ось - угол и в виде поворотной матрицы из-за простого физического смысла получили наибольшее распространение в современных представлениях. Наряду с ними исследователи пользуются и другими представлениями, в частности поворотом в форме трехмерного вектора Гиб-бса [4].
Любую криволинейную границу можно представить последовательностью плоских фасеток, каждая из которых характеризуется своей единичной нормалью п. Плоскость за-легаыия границьг^аздела также описывается индексами кристаллической решётки одного из зёрен. Из взаимоотношений векторов и и п можно вычленить два предельных случая: границы наклона, если ось поворота расположена в плоскости границы и • п = 0, и границы кручения, когда ось поворота ортогональна плоскости границы их п * 0. Любое другое расположение нормали п по отношению к оси поворота и можно разложить на соответствующие компоненты или проекции на плоскость границы и на перпендикулярную к ней ось. Ориентацию плоской границы экспериментально находят по следам пересечения границы с поверхностью образца металлографическими или электронно-
10
микроскопическими методами. Плоскость залегания г раницы часто проходит по плотно
—.—_ _ - ~
упакованным плоскостям РСУ, но далеко не во все:---------- '
представляет собой число узлов решетки в элементарной ячейке РСУ и равна отношению объема элементарной ячейки РСУ к атомному объему основного материала. Значения величин I представляют собой ряд нечетных чисел, кроме Х=1, когда нет никакой разориен-тации. Считается, что разориентировки, отвечающие низким значениям X, относятся к специальным, так как чем меньше число X, тем выше упорядоченность и короче период повторяемости в плоскости границы. Однако, чётких критериев относительно искусственно вводимых ограничений на максимальные величины Хт, выше которых границы не рассматриваются как упорядоченные, нет. Критерии существования специальных границ по величине I получали, исходя из учёта динамики кристаллической решётки. Физически выделенные регулярные границы при некоторых максимальных значениях Х„, перестают быть таковыми, когда с ростом X амплитуды тепловых колебаний атомов размывают устойчивые конфигурации в решётке совпадений, при этом глубина зернограничного потенциального рельефа, приходящаяся на один атом, становится сопоставимой со средней тепловой энергией колебаний атомов. Предел, разделяющий область существования специальных и произвольных границ, находили по температурной зависимости величины Хт <г— Если ребро ячейки РСУ обозначить символом Ь , период полной решётки совпадения Ьо~Ь /1 = Ь / X273 , кратчайшее межатомное расстояние в кристалле Ъ, амплитуду тепловых колебаний и , то условие стабильности РСУ: Ьо/Ь < ( и/Ь ). По правилу Линдемана при температуре плавления амплитуда тепловых колебаний (и/Ь) ~ 0,1 , что ограничивает область существования РСУ по величине X < 32, с понижением температуры величина £т увеличивается [47]. Величины Хщ у разных авторов различны: 29, 60, 100 и т.д. Тем не менее экспериментально найденные специальные разориентировки были охарактеризованы величинами X 243 (медно-кремнистый сплав), X 377 (границы кручения в золоте), т.е. значительно превышают прогноз [3]. С увеличением числа X должна увеличиваться и толщина слоя, образованного регулярной границей б ~ ЬХ1/3. Однако автоионная микроскопия и другие методы однозначно определяют толщину в 2-3 межатомных расстояния для всех границ, независимо от величины X.
Модель размытия регулярных границ тепловым движением атомов полезна для для ориентировочных оценок экспериментальных результатов исследования специальных
Важной характеристикой (специальной грани объёмная доля совпадаю-
щих узлов среди узлов одной из кристаллической решёток X'1. Обратная ей величина X
II
границ в поликристаллах, тем не менее следует иметь ввиду некоторые детали модели, ограничивающие область ей применения и предполагающие дополнительные поправки. Границы зёрен, имеющие кристаллографически упорядоченное строение, содержат дискретные нарушения в виде зернограничных дислокаций и их комплексов - источников упругих полей, изменяющих потенциальный рельеф границы. Атомные смещения в приграничных областях изменяют динамику' колебаний решетки и, следовательно, приводят к изменению температуры Дебая, упругих модулей и других свойств. Величина зависит от плоскости залегания поверхности границы и не может быть единой для границ наклона и кручения, в то же время фасетированная граница различается плоскостями залегания. Разориентировки в спецграницах могут быть построены из нескольких структурных элементов, тогда как в расчетах принимается допущение строительства границ из атомных групп одного сорта. Все вычисления проводились из условия статического равновесия, в то время как при переброске атомов (и > Ьо) устанавливается динамическое равновесие в спектре колебаний решётки. Границы разупорядочиваются при выполнении условия Ди(£)~3/2кТ, однако вид зависимости Ди(2) неизвестен. Реальное пространственное расположение атомов в кристаллической решётке не обязательно совпадает с идеальным каркасом, т.е. решётки кристаллов, образующих границы, не являются совершенными, они упруго искажены. "Зернограничная фаза" имеет пониженную плотность, что и Приводит к появлению дополнительных пиков при мёссбауэровских исследованиях. Средняя амплитуда колебаний решётки характеризует динамику изотропного твёрдого тела, в тек-стурированном поликристалле динамика объединённых общими границами кристаллитов определяется спектром фононов с набором длин волн, собственных частот, направлений распространения и векторов поляризации, при этом спектр колебаний решётки анизотропен.
Перечисленных причин вполне достаточно для того, чтобы за основу теории границ зёрен принимать геометрические соотношения, в первую очередь проводить геометрическое моделирование строения границ зёрен и далее разрабатывать их геометрические и энергетические концепции. Геометрический, а в более широком смысле, симметрийный подход к проблеме границ зёрен предопределяет возможные (и запрещённые) варианты "строительства" в дискретном пространстве связанных поверхностями раздела кристаллических объектов в виде текстурных компонентов поликристалла - канву, на которой развиваются энергетические концепции, допускающие существование как специальных, так и обычных границ, в сущности представляющих смеси низкоэнергетических структур
12
(островная модель Мотта, дисклинационные модели Гляйтера и Чалмерса, Ли, Ройтбур-да).
Анализируя литературные данные, можно получить следующие соотношения элементарных объёмов РСУ, основной решётки материала ОР и ПРН: У,р = ЕУпри, Урсу= 2Уор, Урсу =22Упрн. РСУ является подрегпёткой по отношению к кристаллической решётке, в то же время последняя является иодрешёткой по отношению к ПРН. Для выделения в спектре границ относительной доли границ, близких к границам совпадающих узлов, задаётся помимо ограничительных рамок величин 2 априорный интервал расхождения от специальной разориентировки , в частности критерий Брэндона Д0 = 0о2 '|/2, где ©о * 8-15° - предельная величина угла разориентировки для малоугловых границ. Эти отклонения обусловлены наличием зернограничных дислокаций и их характеристиками. Поскольку расчёты зависят от величины допуска Д0 и ограничительных цензов разнообразные описания распределения границ зёрен по ориентировкам несут очень важную информацию, которая, к сожалению, не всегда совершенна. Анализ полученных данных показывает, что границы с очень малой плотностью узлов совпадения I »100 имеют ярко выраженные специальные свойства Очевидно, одинаковые РСУ для кубических решёток вследствие высокой симметрии или фактора повторяемости (24 поворота, если не принимать во внимание зеркальные отражения) можно получить поворотом вокруг различных осей на разные углы разориентрировки р. В связи с различными эквивалентными способами описания одной разориентировки одна и та же граница может быть формально охарактеризована и границей наклона, и границей кручения, и смешанной границей. Например, когерентная двойниковая граница на плоскости (111) в ГЦК-решётке, как специальная (2=3) при разориентировке вокруг оси <111> на угол р = 60°, может быть представлена как граница кручения, однако она считается границей наклона относительно оси разориентировки <1 1 0> на угол р = 70.5°. Исследователи придерживаются негласного правила: если хотя бы при одном эквивалентном описании, независимо от величины угла р соблюдается выражение и • п ■* 0, то граница считается границей наклона.
Симметрия РСУ или класс Бравз для ограниченного количества разориентировок определяется по методу Мигелла, Санторо и Доннэ и его результаты представлены в Интернациональных таблицах рентгеновской кристаллографии [24], а также в работах [5,13]„ где подробно излагается метод расчёта 0 - решётки на основе матричных представлений. Здесь же даны таблицы для разориентировок с образованием РСУ тетрагональной, ромбической, гексагональной, ромбоэдрической и моноклинной сингонии в диапазоне значений 2 = 3 - 49. Следует признать, что вычисления, связанные с определением симметрии РСУ,
и
громоздки и затруднены для разориентировок вокруг высокоиндексных осей кристаллических решёток.
Анализ литературы последних лет показывает, что в исследованиях границ зёрен появился качественно новый этап, который характеризуется стремлением синтезировать различные подходы к изучению зериограничных ансамблей и прогнозировать свойства поликристаллов по свойствам индивидуальных границ. Продолжается развитие методов накопления фактического материала по структуре границ и её преобразованиям в различных материалах как модельных, так и промышленных, представляющих практический интерес. Метод накопления информации в экспериментальных работах сопряжён с чрезвычайно большими затратами времени и средств, так как исследователи имеют дело с бесчисленным множеством как специальных, так и обычных границ зёрен поликристаллов. Показательно, что изучение двойниковых (X = 3) границ растянулось на 60 лет, но до сих пор в механизме и кинетике образования двойников отжига остаётся ещё много белых пятен. Осознано также, что множество атомных конфигураций зернограничных структур и закономерностей их перестроек при обработке материалов не может быть описано какой-то одной простой моделью, пригодной для любых границ. Несмотря на значительный прогресс в понимании сущности межзёренных границ, все-таки не хватает связной атомной модели их структуры.
В последние годы благодаря развитию высокоразрешающих дифракционных методов и машинного моделирования выработаны достаточно ясные представления о строении границ зёрен, при этом считается, что любую границу можно рассматривать как суперпозицию неких низкоэнергетических поверхностей раздела, для которых задаются следующие макро - и - микроскопические параметры, три - определяют направление оси поворота и величину угла разориентировки зёрен, два - направление нормали к плоскости 1рани-цы, три - взаимное смещение зёрен, один - хиральность сопрягающихся кристаллитов и последний - потенциал межатомного взаимодействия. ^ ^ ^
Геометрические модели структурных элементов, полиэдров, дисклинаций и сопрг
гающихся плоскостей не обладают прогностическими свойствами, но хорошо объясняют дефектную структуру границ и могут служить основой для теорий различных ^ерногра-ничных явлений. Известно, что специальные границы обладают особыми и даже экстре-
мальными кинетическими и термодинамическими свойствами - им соответствуют минимумы на зависимостях энергии, коэффициента зернограничной диффузии, сегрегации примеси, адсорбции растворённых в материале примесей, подвижности и других свойств от разориентировки. Поведение границ зёрен имеет большое значение в явлениях сверх-
пластичности, межзёренной хрупкости, фазовых превращениях, в деформационных и рек-ристаллизационных процессах горячей и холодной деформации. Заметное достижение последних лет - использование машинного моделирования при обработке экспериментальных данных и вычисления параметров внутренних поверхностей раздела обеспечивает возможности статистической аттестации зернограничных ансамблей в поликристалличе-ских материалах и позволяет исследовать коллективное поведение ансамбля взаимодействующих границ. Особое внимание уделяется роли границ совпадения решёток в процессах избирательного роста зёрен в различных сталях во время рекристаллизационного отжига. В электротехнической динамной стали, например, при отжиге зародыши растут в матрице с помощью избирательного механизма, включающего в себя высокую подвижность РСУ X 19а и £33а <110> [ 29 ]. В № стали для глубокой вытяжки рост зародышей во время отжига стимулируется миграцией границ £5 <100> 17 <111> [30]. Машинные построения модельных поликристаллов с хаотически разориентированными зёрнами, например, содержащими более 20000 границ между 4000 зёрнами [4], сравниваются с моделями текстурованных поликристаллов различных материалов и по отличиям в распределениях осей и углов разориентировок оценивается специфика структуры межзёренных и межфазных границ. Типичный подход к исследованию кристаллогеометрии границ зёрен в поликристаллах заключается в измерении разориентаций между зёрнами и использовании подхода «бикристального ансамбля». Однако следует помнить, что это упрощение вряд ли приведёт к раскрытию всех закономерностей в системах границ, так как в поликристаллах существует трёхмерная ориентационная взаимосвязь, включающая в себя не только кристаллографию поверхностей раздела, но и кристаллографию стыков зёрен и их топологию.
Разработки оптимальных технологических процессов изготовления поликристалли-ческих материалов невозможны без глубокого понимания специфики зернограничных атомных перестроек в каждом конкретном случае. Технологические режимы производства поликристаллических материалов, в частности стального металлопроката, должны учитывать специфику зернограничных ансамблей и их атомных перестроек в процессах кристаллизации, горячей и холодной прокатки, ре кристаллизационном отжиге и т.д.
В экспериментальных исследованиях^-оанш^ зёрен и фаз используются разные методы: металлографические, рентгеноструктурные, просвечивающая электронная микроскопия (ПЭМ), микродифракция и дифракция быстрых электронов (ДБЭ), авторадиография, ионная микроскопия и др.Тонкие детали структуры и поведения границ зёрен связаны с развитием высокоразрешающих методов электронной микроскопии и компьютерных технологий. Периодичность РСУ в специальных границах может привести на рентгенограм-
мах или электронограммах, полученных по крайней мере с двух зёрен, разделённых специальной границей, к появлению дополнительных к классическим отражениям пар кристаллических решёток рефлексов самой границы. Однако дополнительная дифракция и её расчёт возможны только в тех случаях, когда соотношения межплоскостных расстояний (Ьк1) РСУ и длин волн удовлетворяют вульф-брэгговским соотношениям, а при больших параметрах элементарной ячейки РСУ рефлексы попадают в область следа первичного луча на рентгенограмме или рядом с зоной нулевого положения счётчика на дифракго-метре. Кроме того, интенсивность рефлексов от РСУ мала, так как мал и сам объём границы, по сравнению с облучаемым объёмом кристаллитов, часто структурный фактор не известен и требуется филигранное проведение дифракционного эксперимента, направленного на регистрацию дифракции границы и сё расчёта. Отдельные сведения о «дополнительных» картинах дифракции были получены на бикристаллах [31-35]. При образовании РСУ какие-то плоскости с достаточно высокой ретикулярной плотностью атомов в парах зёрен оказываются параллельными друг другу. Эти плоскости не только параллельны, но и непрерывны, если отсутствуют микроскопическая трансляция на границе. Электронномикроскопическое изображение может формироваться в общем для соседних зёрен рефлексе.
Для исследования дефектов границ зёрен и межфазных границ наиболее результативным методом является сочетание ПЭМ и ДБЭ, при этом размер реализуемых дефектов может варьироваться от сотен микрон до нескольких нанометров. Определение параметров разориентировок, индексов плоскостей залегания 1раниц, ориентационных соотношений основано на расчёте точечных электронограмм и кикучи-линий, одиночных рефлексов. Трансмиссионная электронная микроскопия бикристаллов позволила в ряде случаев определить взаимное расположение отдельных атомных рядов на их границе. Однако этими методами целесообразно пользоваться в академических исследованиях из-за их чрезвычайной трудоёмкости, локальности микродифракции, не охватывающей распределение ориентировок и разориентировок массивного материала, ряда ограничений, присущих этим методам.
Рентгенодифракционные исследования границ зёрен превалируют в обзорах, им уделяется много внимания в трудах отечественных и зарубежных металловедов и мстал-лофизиков. Заметный прогресс в физике границ в последнее время связан с применением локального дифрактометрического метода определения ориентировок отдельных зёрен крупнозернистых поликристаллов с величиной зерна >0,2мм [17]. В.В.Рыбин, Ю.Ф.Ти-^~^> товец и Д.М.Теплитский получали дифракцию от зёрен, выявленных металлографически на поверхности шлифа, определяли ортонормированные ориентационные матрицы разо-
риентировок для всех пар зёрен, образующих границу, вычисляли вектор минимального разворота, устанавливали для каждой экспериментальной границы специальную границу, минимально удалённую от изучаемой и сопоставляли величины расхождения, пользуясь критерием Брэндона. Метод /позёренного сканирования поверхности шлифа рентгеновским лучом крайне трудоёмок И Нё позволяет за приемлемое время устанавливать весь спектр пространственного распределения параметров разориентировок зёрен в промышленных материалах. Кроме того, метод практически неприменим для исследования границ в металлопрокате массового производства, в сортаменте которого крупнозернистые материалы, получаемые на поздних стадиях собирательной или вторичной рекристаллизации, занимают очень малую долю (электротехнические стали). Границы, не выявленные металлографическими процедурами, могут быть проигнорированы. Также могут возникнуть неадекватные решения в связи с формализмом критерия Брэндона и в связи со спорностью принципа сравнения параметров разориентировок и наименьшего угла направления оси разориентации.
Кристаллографическая текстура и мезотекстура поликристаллических тел и связанная с ней анизотропия физико-механических свойств является одним из важнейших объектов современного материаловедения. Это внимание продиктовано стремлением исследователей разработать технологические схемы производства промышленных материалов с уровнями физико-механических свойств, удовлетворяющими требования различных потребителей. Помимо создания экономически эффективных текстурованных материалов с теорией и практикой кристаллографической текстуры непосредственно связаны проблемы кристаллизации, фазовых превращений, окисления, эпитаксии, физики тонких плёнок и практически все явления, изучаемые мсталлофизической наукой. Несмотря на обилие многочисленных экспериментальных данных о текстурах поликристаллических материалов, скрытый потенциал улучшения их свойств и возможности управления процессами текстурообразования далеко не исчерпаны. В настоящее время потребности производства материалов с заданным комплексом физико-механических свойств заметно опережают практические возможности целенаправленного управления процессами текстурообразования. Различные конструкционные и функциональные материалы представляют собой поликристаллы, в которых наряду с трёхмерными объектами - зёрнами неотъемлемой частью структуры являются условно двухмерные образования - большеугловые границы зёрен (БУГ). Будучи внутренними поверхностями раздела, БУГ не только предопределяют размеры зёрен, активно участвуют в сложном механизме структуро-фазообразовании, но
17
также играют решающую роль в интегрированных уровнях физико-механических свойств поликристаллических твёрдых тел.
Имеется несколько причин создавшегося в науке о поликристаллических телах и технологии производства материалов положения. Среди них существенны: чрезвычайное обилие факторов, влияющих на образование текстуры, трудности, связанные с необходимостью осмысления огромного информационного материала, субъективизм исследователей в интерпретации полюсных фигур, формализм отдельных гипотез, низкая производительность экспериментальных методов изучения спекгра пространственного распределения границ зёрен в реальных поликристаллах. Все существующие объяснения закономерностей текстурообразования не могут быть обобщены на единой основе и, как правило, носят феноменологический характер, либо представляют собой попытки гипотез, ни одна из которых не в состоянии охватить полную картину происходящих в поликристаллах процессов (гипотезы вынужденной деформации, неоктаэдрического, поперечного скольжения, произвол в выборе величин обратной плотности совпадающих узлов £ < 1пЙХ, ,выше которых граница не считается специальной и т.д.). Стремлением найти единую основу в понимании кристаллографической анизотропии продиктована попытка создания симметрийной теории кристаллических материалов, рассматривающей ориентировки кристаллов как результат суперпозиции симметрий кристаллической решётки и физических среды [48-51]. В физике границ, бесспорно, достигнуты выдающиеся результаты, однако остаётся ещё и множество «чёрных дыр», требующих пристального внимания. Помимо актуальной задачи накопления экспериментальных данных, которые при существующих методах и темпах исследования могут продолжаться неопределённо долгое время ( что и породило пессимистические настроения у некоторых исследователей ), на первый план выдвигается задача разработки быстрых и эффективных методов дифракционных исследований внутренних поверхностей раздела, изучение законов построения спектров границ зёрен и синтез свойств поликристаллов по свойствам как индивидуальных границ, так и свойствам всего ансамбля.
Текстурообразование нельзя рассматривать в отрыве от структурных, в частности от дислокационных механизмов и преобразований на границах зёрен. В последние голы физическая интерпретация пластической деформации, рекристаллизации, фазовых превращений и других явлений в металлах и сплавах была существенно расширена и уточнена. Однако ещё нет повода для утверждения, что современные знания поликристаллического тела привели к радикальным улучшениям свойств материалов. Большая часть важных усовершенствований твёрдых тел была выполнена традиционными эмпирическими мето-
18
дами, в то время как роль теоретических и дифракционных методов сводилась к объяснению того, почему и как эти улучшения были возможны. При этом почти каждое эмпирическое исследование приводило к появлению нового набора экспериментальных результатов. Эти результаты, как правило, пытаются объяснить различными механизмами, которые специально подбираются для каждого конкретного случая и не могут быть обобщены для прогноза поведения материала и его свойств в диапазоне реализуемых на практике вариаций технологических режимов, особенно в многоэтапной технологии металлургического производства. Очевидно, материаловеды стоят перед острой необходимостью разработки новых тождественных теорий кристаллографической текстуры, кристаллогеометрического анализа межкристаллитных границ в твёрдых телах, взаимодействия границ зёрен с решёточными дефектами, теорий, выходящих за рамки традиционных подходов и дающих адекватные решения проблемы структурных превращений, приемлемые для практического использования технологами.
В последние годы происходят большие перемены в теории и практике текстурооб-разования. получены мощные инструменты предсказания, экспериментального обнаружения и регулирования текстуры практически во всех процессах обработки различных материалов. Знания о структуре и текстуре поликристаллов становятся одним из основных активно развиваемых перспективных направлений физического металловедения, так как открывают новые возможности получения и использования анизотропных материалов во всех отраслях промышленного производства, особенно в металлургии и машиностроении, дают качественно новый путь к решению ключевых проблем практического материаловедения.
Зернограничные процессы зависят от кристаллогеометрии границ и именно по этой причине материаловеды проявляют большой интерес к проблеме кристаллогеометрического анализа межкристаллитных границ и разным экспериментальным методам их исследования: металлографическим, рентгенографическим, электронно-микроскопическим и др/Следует признать, что созданные к настоящему времени методы не только трудоёмки и академичны, но и не могут быть использованы в материаловедческих исследованиях в заводских лабораториях, что существенно сдерживает широкое применение их непосредственно на предприятиях - производителях металлов и сплавов. Цель настоящей работы -восполнить этот пробел. 1^данной работе перед нами стояли задачи: разработать ускорен-ный и приемлемый для практического использования на предприятиях - производителях массового металлопроката рентгенодифракционный метод интегрального исследования ансамблей разориентировок в группах зёрен основных компонентов текстурованного ма-
о
19
териала с любой величиной зерна, апробировать метод в заводских условиях на недорогих отечественных дифрактометрах , показать важное значение результатов зернограничных исследований в текстурованных поликристаллических материалах
В диссертационной работе изложены теоретические основы кристаллогеометрического анализа специальных границ зёрен поликристаллов и нового метода реперной дифракции ансамблей решёток совпадающих узлов (РСУ) на специальных границах зёрен, принадлежащим главным компонентам текстуры поликристалла при "нормальном" и наклонном к плоскости листа положении оси разориенгировок, с использованием всего спектра рентгеновского излучения. Описаны экспериментальные и вычислительные особенности реализации метода реперной дифракции применительно к РСУ тетрагональной, ромбической, гексагональной, ромбоэдрической и моноклинной симметрии, показана возможность определения количественных характеристик и текстуры РСУ, точных ориентаций пар зёрен, образующих спецграницы, приведены примеры практического использования этих методов в исследованиях и разработке технологий стального металлопроката с величиной зерна 125-15 мкм: динамной стали и стали для глубокой вытяжки с высокими комплексами физнко-механических свойств. Также продемонстрированы эвристические возможности определения разориентировок кубических решёток, создающих РСУ разных сингоний , с любыми величинами I на основе Периодической Системы Кристаллографических Индексов[49]
Данная диссертационная работа основана на собственных оригинальных разработках и результатах автора и его коллег, выполненных на металлургическом предприятии ОАО «Северсталь». Обзор литературных источников по проблеме межкристаллитных границ дан в диссертациях Наумовой О М. “Рентгенодифракционное исследование специальных границ листовой низкоуглеродистой стали”, 1999 г. и Яковлевой Т.П. “Развитие рентгеновского дифракционного метода исследования специальных границ в ОЦК-металлах”,
№
©
2000 г..выполненных под научным руководством к.т.н. Славова В.И/Обширный теорети- ,
ческий и экспериментальный материал данной диооортащш не позволяет литературный /
обзор выделить в отдельную главу, его функции Частично воатолняет введение. )
-----------
/
-о
20
ГЛАВА 1
РАСЧЁТ РАЗОРИЕНТИРОВОК КУБИЧЕСКИХ РЕШЁТОК, СОЗДАЮЩИХ РСУ, НА ОСНОВЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ИНДЕКСОВ
Прогресс кристаллогеометрического анализа межзёренных границ в промышленных материалах дифракционными методами сдерживался по двум причинам: недостаточным уровнем развития теории прогнозирования характеристик разориентировок зёрен и ограничениями применимости существующих методов (рентгеновский - по размеру зерна О>0.2 мм [25], электронографический - по сверхлокалъности микроучастков, не дающей полной картины зернограничных ансамблей в массивных образцах [4]), чрезвычайной трудоёмкостью экспериментов и различного рода неопределенностями в интерпретации результатов. Описание разориентаций в границах зёрен реальных поликристалличсских тел имеет принципиально важное значение для понимания тонких механизмов структур-ных, текстурных и фазовых превращений, их диагностики и, в конечном счёте, для ис
пользования скрытого технологического потенциала в производстве материалов с уни кальными свойствами.
Интерпретация разориентировок зёрен с помощью матриц поворотов в кристаллографической системе координат позволила рассчитать углы и оси разориентировок решёток совпадающих узлов (РСУ) для кубических решёток до некоторых значений Е-обратной плотности совпадающих узлов: £ < 19 [52], £ £ 25 [53], £ ^ 49 [54], £ < 149 [3]. Простой физический смысл поворотных матриц (её коэффициенты являются координатами кристаллографического базиса решётки одного зерна в решётке другого зерна) привлекает исследователей, однако они встречаются с неоправданными трудозатратами и в полученных данных не просматривается каких-либо закономерностей в распределении величин Е при различных осях поворота. Более того, некоторые авторы [55] вводят искусственные ограничения физической выделенности границ совпадения по величинам Е, хотя нет никаких доказательств существования пределов областей РСУ. Взаимные разориенти-ровки зёрен можно более экономно представить трёхмерными векторами Гиббса, связанными с векторно-кватернионными описаниями, удобными для поиска специальных разориентаций [4]. Количество операций переборки в векторном описании значительно меньше, чем в матричном, однако при использовании обоих алгоритмов даже при помощи машинного счёта, можно найти лишь часть решений, на основании которых невозможно сделать обобщение кристаллогеометрических характеристик спецграниц в ансамблях поверхностей раздела поликристаллов.
Ранее/[48-511/бписаны закономерности в кристаллографических индексах в форме восьми групГОвой периодической системы кристаллографических индексов (ПСКИ), в которой каждой группе соответствуют совокупности троек индексов (Ш), сумма квадратов Б * (Ь2+к2+12) которых определяется формулой Б = Г-1+8п, где Г и п - номера групп и периодов ПСКИ (табл. 1). Значения Б проставлены в верхнем левом углу каждой клетки таблицы ПСКИ и образуют последовательность ряда натуральных чисел. ПСКИ была практически использована для прогнозирования текстур материалов, имеющих разные синго- 7 нии кристаллических решёток [48,51].
Таблица 1. Периодическая система кристаллографических индексов
Группы (П
I ivpnOAU (п) 1 2 3 4 5 6 7 8
S=8n S-8n*l S=8n+2 S=8n+3 S=8n+4 S=8n+5 S=8n+6 S=8rH-7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
ООО 100 110 111 200 120 112 -
1 8 9 10 il 12 13 14 15
220 122,300 130 113 222 230 123 -
16 17 18 19 20 21 22 23
2 400 140,223 114,330 133 240 124 233 -
24 25 26 27 28 29 30 31
3 224 340,500 134,150 115,333 - 234,250 125 -
32 33 34 35 36 37 38 39
4 440 144,225 334,350 135 244,600 160 116,235 -
40 41 42 43 44 45 46 47
5 260 126,344,450 145 335 226 245,360 136 -
48 49 50 51 52 53 54 55
6 444 236,700 170,345,550 117,155 460 146,270 127,255,336 -
56 57 58 59 60 61 62 63
7 246 227,445 370 137.355 - 346,560 156,237 -
Анализ приведённых в мировой литературе данных и расчёты матриц поворотов показали, что углы разориентировок р° пар кристаллитов можно выразить общими простыми формулами: Cos р = (X - F)/X (1) или Cos р = (21 - F)/2X (2), где I - обратная плотность совпадающих узлов на границе, содержащей РСУ, а члены F представляют собой некоторые целые числа. Половинный угол р/2 всегда соответствует общей формуле:
Cos р/2 = аД/ÎŒ . a Coslpl2 = £~^/2 (3),
где К -1, 2 или 4; А - целое число, а величины X - формулам:
I - (2А2 + KF)/2K или I - (4А2 + KF)/4K (4).
В случаях, когда достигается равенство X =F или 2Х = F угол разориентировки р становится прямым: в кубических кристаллах исчерпываются все варианты специальных разориентировок, а величины X, превышающие число F (или 2S > F), не имеют физического смысла. Числовые значения F могут быть либо все чётными, либо все нечётные, в за-
22
виси моста от выбора угла разориентаровки (р или 90°-р) пар кубических кристаллов (см. табл. 12 на с.39).
Определенный порядок наступает, если оси разориснтаровок <UVW> - нормали к плоскостям кубической решётки (не путать с нормалями к плоскости залегания границы), описываемые с помощью индексов Миллера (hid), распределить в соответствии с ПСКИ по группам с некратными индексами (I и V группы содержат чётные индексы, имеющие общий множитель, VIII группа в трёхмерном пространстве пуста). Углы разориентировок р на межзёренных границах с некратными кристаллографическими индексами (группы П, III ,IV ,VI, VII ПСКИ) строго подчиняются формуле косинуса (1). Дополнительная формула косинуса (2) характерна для семейства РСУ на границах, образованных разориентацией зёрен по нормали к плоскостям с индексами (hkl) IV-й группы.
Таблица 2. Формулы величин Р для кристаллитов, разориентированных на углы р в плоскостях (Йк1), соответствующих разным группам периодической системы с некратными кристаллографическими индексами.
фор- мул F Номер группы (Г) семейства плоскостей (hkl) в периодической системе кристаллографических индексов
2 S=8(1tI 3 S=8n+2 4 S=8n+3 6 S=8n+5 7 S=8n+6
Z-F COS р = I Р А cos- = — 2 .KZ Е = (2Д' +KF)2K Z-F wsp = — P * cos — = —r= 2 ,J/CL Ï.=$A'+ KF)j2K 21-F cos p = 21 P A cos «=-?=• 2 -JkÏ. Z-(4/f + KF)’4K I - F cosp £ p A Z-(2A‘ * KF)/2K
1 F = {2m + iyS,K = 2 L = (A'+F}2 F-2{2m + \ys K= 1 L= A' * F/2 F = (2m + iyS K= 4 ï*(-4‘ + F\!4 F={2m + \ys,K = 2 Z-(A' + F)/2
2 F = 2{2m + \)S K = \ Z=A' +F/2 F~(2m + ïyS/3 K = 2 L-(/4* + F>2 F-2(2m + iyS К =4 l = A’+F/2 Z = {A’ + 2F>'4
3 F = б(2м +1)1 S , Fm9(2m + ifS , К = 2 Z-(A'+F)/2 F = 2(2m + (yS/2 K= 2 L = (y4* + F)/2 F - 6(2m +1)1 S F = 5(2л» + l)*S + 4(2л» + îy , *=2 Z = (^ + F>'2
4 F-i{m + \yS , К = 1 Z = A'+F{ 2 F = S(m + iy S K = l Y. = A,+FI2 F = S(m +1)1 S ,/C = 1 E = >4' + F/2
23
По виду выражения Cos р IV-я группа ПСКИ расщепляется на две подгруппы (табл.2). Номера групп ПСКИ в таблицах и последующих обозначениях величин £, и А, приведены не в римском, а в арабском алфавите.
Из общих формул косинусов целых и половинных углов разориснгировок р следует, что для получения информации о величинах £ PC У, образующихся в результате детерми-нированных разворотов пар кристаллитов вокруг нормалей к плоскостям (hkl), необходимо знать величины F, А и К. В каждой группе плоскостей (hkl) пар кристаллов, разориен-тированных по их нормалям существует по четыре формулы для нахождения величин F, однако в 4-й группе ПСКИ - два варианта: по четыре формулы и по одной формуле. Согласно табл.2 в 1-3 формулах выражение F имеет общий вид:
F = G (2m+l)2S (5),
в 4-й формуле:
F = 8 (m+l)2S (6),
где m - 0,1,2..., G-целые числа: 1,2,6,8, S - суммы квадратов индексов осей поворота. Существуют некоторые исключения из общего правила: для 4-й группы ПСКИ во 2-й и 3-й формулах, соответственно, F = (2m+ 1)2S /3 и F = 2(2т+1 )2S /3, для 7-й группы ПСКИ в 3-й формуле F = 5(2m+l)2S+4(2m-* I)2. Общие формулы для величины обратной плотное™ совпадающих узлов I = A2+F/2, если К*1,и1и (A2+F>2, если К = 2. В 4-й и 7-й группах (hkl) периодической системы кристаллографических индексов, соответственно,
£ - (A2+F)/4 и £ = (A2+2F)/4, при К = 4.
Для нахождения ряда значений величин £ и р при заданных числах F необходимо знать структурную формулу величин А! в выражениях £ или Cos р/2. Величины А» в общем виде для каждой группы (hkl) в ПСКИ:
А* = С+ Dm + (4 или 2)n + 4q (7), в 4-й группе ПСКИ также: Aj = С + Dm ь (4 или 8)n + 8q (8),
где С- некоторое целое число, m -целое число, задающее F, п - номер периода ПСКИ, а целочисленный член q задает рекуррентный ряд при числах пит- const.
Величины свободного члена С и коэффициента D для каждой группы ПСКИ меняются в зависимости от четности n, m, q. В табл.З приведены формулы А, для поиска величин £ учетом их принадлежности к четным группам ПСКИ (в группах 2,4,6 и 8 содержатся тройки индексов с нечетными суммами квадратов) при образовании РСУ (£2, £4,£б £в) разворотом пар кристаллитов вокруг любых осей разориентировок <UVW>. Очевидно, для каждой формулы F возможны по четыре вариации четностей пит (п,т-чбт; п-чёт, ш-нечет; п-нечет, т-чбт; п,т-нечСт.) и от 16 до 24 вариаций с учетом четности фц^вариантов