Либрационные орбиты астероидов вблизи соизмеримостей средних движений в модели обобщенного идеального резонанса

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕН И Б 2
ГЛАВА 1. Построение модели лнбрациинкого движения астероидов вблизи соизмеримостей средних движений астероидов и Юпитера 1Ü
1.1. Общая характеристика орбит астероидов и методов
исследования их движения вблизи соизмеримостей ...................... Ю
1.2. Формулировка задачи 19
1.3. Преобразования гамильтониана задачи 20
1.4. Решение задачи для промежуточного гамильтониана 23
1.5. Вывод формулы для вычисления средней долготы астероида .........28
1.6. Решение задачи для орбит с малыми наклонами 35
1.7. Решение задачи для возмущений порядка 0(т^2) 38
ГЛАВА 2. Характеристики либрацжшных движений астероидов вблизи соизмеримостей средних движений 43
2.1. Периодические орбиты астероидов при т я 0 43
2.2. Характеристики либрационных движений астероидов вблизи соизмеримостей 1/1, 4/3, 3/2, 2/1, 7/3, 5/2 и 3/1 47
2.3. Границы и амплитуды либраций 51
ГЛАВА 3. Классификация либрационных орбит 55
3.1. Вибрационные орбиты астероидов вблизи соизмеримостей 1/1 и 3/2 .55
3.2. Вибрационные орбиты вблизи люков 2/1 и 3/1 58
3.3. Устойчивость положений равновесия 60
3.4. Вибрационные движения астероидов группы Гнльды -66
3.5. Сравнение движений вблизи соизмеримостей 3/2 и 1/1 астероидов группы Гильды и астероидов троянской группы 72
3.6. Применение результатов исследования либрационных движений астероидов к проблеме формирования неравномерностей в распределениях малых
планет по их средним движениям и наклонам орбит 75
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 88
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................92
ПРИЛОЖЕНИЕ I 100
ПРИЛОЖЕНИЕ II 101
2
ВВЕДЕНИЕ
Орбитальное движение большинства известных астероидов, согласно результатам исследований, происходит но слабовозмущенным эллиптическим орбитам с небольшими эксцентриситетами и наклонами. Исключениями из этого правила являются те случаи, когда средние орбитальные движения астероидов и возмущающей планеты соизмеримы, то есть, когда их отношения равны или близки к отношениям двух целых чисел. В этих случаях возмущения в движениях астероидов становятся значительными (эффект соизмеримости).
В движении астероидов эффект соизмеримости был открыт в 1867 году Кирквудом. Рассматривая распределения астероидов по их средним орбитальным движениям, он заметил крайнюю малочисленность астероидов вблизи соизмеримостей 3/1 и 2/1 (люки Кирквуда). Однозначное объяснение причин формирования люков к настоящему времени не найдено. Известны четыре гипотезы о формировании люков [65]: космогоническая, статистическая, гравитационная и гипотеза, согласно которой люки образовались в результате взаимных столкновений астероидов. В статье Швецера [94] и в некоторых других исследованиях [77, 99] показано, что статистическая гипотеза не подтверждается результатами исследований. Гипотеза о столкновениях астероидов проверялась в работах Эппенгеймера [69] и Везсрила [98]. Согласно результатам их исследований вероятность взаимных столкновений астероидов в люках мало отличается от вероятности столкновения астероидов, расположенных вне люков. Космогоническую гипотезу, согласно которой люки существовали при формировании планетной системы, трудно подтвердить также как и опровергнуть, ввиду отсутствия как данных наблюдений, так и достаточно точной модели формирования планет. Ввиду перечисленных причин исходной для исследования проблемы формирования люков считается гравитационная гипотеза. Согласно гравитационной гипотезе, в формировании люков и сгущений проявляются особенности гравитационного поля, образуемого Солнцем и большими планетами и прежде всего с Юпитером.
3
Более поздние открытия астероидов показали, что с соизмеримостью средних движений связано не только появление люков. В соизмеримостях 1/1, 4/3 и 3/2 наблюдается обратное явление - скопление астероидов (сгущения). Формирование скоплений астероидов вблизи соизмеримости 1/1 связано с существованием устойчивых точек равновесия. Эти точки равновесия были найдены в 1772 году Лагранжем как частные решения ограниченной задачи трех тел. Гравитационные и центробежные силы в этих точках уравновешиваются. Вследствие этого тело, бесконечно малой массы, попадая в эти точки с нулевой начальной скоростью (во вращающейся системе координат), длительное время будет оставаться в этих точках неподвижным. Если начальная скорость ненулевая (но достаточно малая), то астероид будет совершать колебания (либрации) во вращающейся системе координат вблизи положения равновесия. Существование таких устойчивых точек равновесия вблизи соизмеримости 1/1 подтвердилось в результате открытия асте]юндов троянской группы. Эти астероиды образуют две подгруппы, в соответствии с двумя устойчивыми положениями равновесия и L$.
Результаты наблюдений и исследований [25 - 28] показывают, что значительные либрационные движения существуют также и у астероидов, расположенных вблизи соизмеримостей 4/3 и 3/2. Однако такое же простое, как в случае соизмеримости 1/1, объяснение происхождения либраций в общем случае к настоящему времени не найдено. Существование либрационных движений у астероидов, расноложенных вблизи других соизмеримостей, невозможно объяснить существованием точек L\ и L'j, гак как их орбиты расположены далеко от точек Лагранжа L\ и £,5.
Влияние особенностей гравитационной системы Солннс - Юпитер на движение малых планет вблизи соизмеримостей исследуются при помощи методов теории возмущений [12]. В аналитических методах исследования предполагается вывод уравнений либрации. Исходными уравнениями для вывода уравнений либрации являются уравнения ограниченной задачи трех тел. В результате канонических преобразований исходные уравнения приводятся к уравнениям упрощенпого вида. Полученные в результате преобразований уравнения, в отличие от исходных уравне-
4
ннй, интегрируются и представляют собой упрощенную модель исходых уравнений, модель резонансного движения.
Исследованиям резонансных движений астероидов аналитическими методами посвящено мпого работ (9 - 12, 13 - 20, 59 - 63, 65, 66, 69, 70]. Методы преобразования исходных уравнений и полученные в результате преобразований уравнения либраций в этих работах в большинстве случаев существенно различаются и трудно поддаются сравнению. Общий подход к классификации периодических решений ограниченной задачи трех тел основан на принципе Пуанкаре порождающих решений. Наиболее полный обзор результатов, полученных на основ«' этого метода, содержится в монографии Брюно [9]. Результаты общей классификации дают общее представление о периодических решениях ограниченной задачи трех тел. Однако результаты общей классификации не всегда пригодны для решения конкретных задач. Поэтому' разрабатываются также специальные методы исследования резонансных движений. Некоторые из них, наряду с классическими методами теории возмущений, рассматриваются в монографии Лжакальи [12].
Основная идея специальных методов заключается в преобразовании гамильтониана исходной задачи к виду гамильтониана другой задачи с известным решением или же задачи, для которой существует аналитическое решение. На основе этой идеи в статьях Гарфинкеля [60 - 64] исследуются либрационные движения астероидов троянской группы (соизмеримость 1/1). Гамильтониан плоской круговой ограниченной задачи трех тел Гарфинкелем был преобразован к виду гамильтониана обобщенной задачи идеального резонанса. Формулировка и решение обобщенной задачи идеального резонанса также были получены Гарфннкелем в одной из его работ [61]. Применение модели обобщенного идеального резонанса к пространственной ограниченной задаче трех тел расматривается в статьях Загретдинова [18 - 20]. Загретдиновым получены либрационные орбиты астероидов вблизи соизмеримости 1/1 с учетом наклона их орбит. В данной работе рассматривается возможность применения модели обобщенного идеального резонанса к случаю соизмеримостей общего вида.
Решение задачи обобщенного идеального резонанса получено Гарфин-
5
келем [61] при помоши метода Цейпеля. Применение этого метода приводит к определенным трудностям, связанным с необходимостью выражения полученного решения в явном виде. Явное решение можно получить при помощи компьютерных программ аналитических вычислений. Решение задачи можно получить и при помощи других методов. Например, методов теории возмущений, основанных на рядах Ли. В этом случае трудности выражения решения в явном виде не появляются.
Решение обобщенной задачи идеального резонанса дает промежуточное решение исходной задачи с учетом возмущений первого порядка. Для учета возмущений высшего порядка используются формулы метода Хори, основанного на рядах Ли [18]. Выбор этого метода объясняется тем, что алгоритм этого метода приспособлен к применению компьютерных вычислений.
Результаты классификации либраниоиных орбит астероидов вблизи соизмеримости 1/1, полученные Гарфинкелем на основе модели обобщенного идеального резонанса, подтверждаются результатами Рабе [94 - 96] численного интегрирования уравнении движений. Классификацию либра-ционных орбит для других соизмеримостей можно получить при помощи основных характеристик либрационного движения. Эти характеристики получаются в результате усреднения гамильтониана задачи. Выбор схемы усреднения связан с выбором системы координат, в которой рассматриваются либрации. Однако либрационные орбиты в различных системах координат будут отличаться только тем, что одни из них будут образами других при некотором линейном отображении.
Результаты классификации либрационных орбит астероидов вблизи соизмеримости 3/2 частично можно проверить при помощи данных об элементах орбит астероидов группы Гильды. Число устойчивых точек равповесия и их расположения на полярной плоскости можно определить по распределениям их полярных координат. Характеристики либраций пригодны для сравнения соизмеримостей между собой как в качественном, так и в количественном отношении. Поэтому результаты классификации можно использовать для анализа проблемы формирования неравномерностей в распределении астероидов по их средним движениям.
6
Формирование как люков, так п сгущений, согласно гравитационной гипотезе [65], является результатом влияния особенностей гравитационного поля, образуемого системой Солнце - Юпитер. Основная проблема заключается в выяснении механизма формирования особенностей в распределении. в выяснении причин, по которым в одних случаях формируются люки, а в других - сгущения. Большинство наиболее значительных результатов о параметрах люков получено численным интегрированием уравнений движения [30, 8G, 87]. Однако по результатам численного интегрирования трудно получить обшис отличительные характеристики либраций в люках и сгущениях. В этих случаях используются аналитические методы.
Наиболее сложной проблемой эволюции орбит малых планет является проблема эволюции наклона орбит. Более половины из общего числа астеродов имеют наклоны превышающие 8°. Сферическую подсистему пояса астероидов образуют астероиды, имеющие наклоны орбит более 8°, остальные - принадлежат к плоской подсистеме [22]). Большие планеты расположены (за исключением Плутона) в плоской подсистеме. Существовала ли сферическая подсистема изначально или же сформировалась в результате эволюции наклонов орбит малых планет к настоящему времени неизвестно. Результаты численного интегрирования показывают, что вариации с современыми начальными значениями элементов орбит не могут быть большими. Возможно, что что определенное влияние на эволюцию наклонов орбит астероидов оказали резонансные механизмы (орбитальные и вековые резонансы) при критических амплитудах либраций и хаотизацпи движения астероидов.
Основной задачей исследования резонансного движения астероидов является выяснение наиболее значимых механизмов, влияющих на эволюцию орбит астероидов. Исследование движения астероидов в этом аспекте составляет содержание данной работы. Содержание работы тематически делится на три части: построение модели либрационного движения астероидов, классификация лпбрационных орбит и применение результатов исследования лпбрационных движений астероидов при анализе проблем формирования неравномерностей в распределении астероидов но их сред-
7
ним движениям и наклонам орбит.
Вывод новых уравнений либрационного движения связан с применением нового метода исследования, а именно, с использованием модели обобщенного идеального резонанса. Полученные в данной работе уравнения либраций представляют собой обобщение уравнений Гарфинкеля для соизмеримостей общего вида [р + <?)/р, где р, ц- целые числа. 1} качестве приложения результатов исследования либрационного движения астероидов анализируется проблема формирования неравномерностей.
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Библиографический список содержит 107 наименований. Общий объем работы 106 страниц машинописною текста, 7 таблиц, 9 рисунков и 2 приложения.
Целью работы является: вывод уравнений либраций для соизмеримостей общего вида (р + 17)/р, аналитическое решение уравнений либрации для промежуточного гамильтониана и с учетом составляющих гамильтониана. имеющих величиу не меньше степени 3/2 малого параметра, то есть, величину 0(т3/2), классификация либрационных орбит и анализ проблемы формирования неравномерностей в распределениях астероидов по их средним движениям и наклону орбит.
Лклпуалъность работы связана с необходимостью изучения основных механизмов эволюции орбит резонансных астероидов.
Содержание. В первой главе даны общая характеристика орбит астероидов и обзор результатов исследования резонансного движения астероидов численными и аналитическими методами. Сформулирована задача о построении модели либрационного движения. Гамильтониан плоской круговой ограниченной задачи трех тел преобразован к виду гамильтониана обобщенной задачи идеального резонанса. Получены уравнения либраций для усредненной возмущающей функции. Выбран гамильтониан промежуточной орбиты астероида, в который включены величины порядка 0[т). Получено решение уравнений для промежуточного гамильтониана и решение задачи с учетом возмущений порядка 0{тУ~).
Во второй главе дана общая характеристика возмущений первого порядка. Рассматриваются характеристики либрационных движений вбли-
8