Новые методы анализа звездных каталогов и неравномерных временных рядов

Оглавление
Введение............................................................... 5
Постановка задами и содержание диссертации............................. 5
Обшая характеристика работы........................................... 14
1 Систематические разности положений и собственных движений звезд астрометрических каталогов 18
1.1 Основные понятия и определения................................... 18
1.2 Задача о сравнении двух каталогов............................... ‘20
1.3 Классический метод сравнения каталогов.......................... ‘21
1.4 Аналитический метод сравнения каталогов.......................... 22
1.5 Структура систематических разностей положений и собственных
движений звезд двух каталогов.................................... 29
1.6 Модификация метода Броше......................................... 31
1.7 Улучшение прямых восхождений и собственных движений звезд каталогов ОС и N30...................................................... 37
1.7.1 Методика улучшения каталогов GC и N30...................... 37
1.7.2 Поправки прямых восхождений звезд каталога ОС........... 41
1.7.3 Поправки собственных движений по прямому восхождению звезд каталога N30............................................... 41
1.7.4 Результаты аппроксимации систематических разностей СО С - ОС, CN30 - N30 и СN30 - ОС модифицированным методом Броше........................................................... 4‘2
1.7.5 Сравнение улучшенных систем каталогов ОС и N30 с каталогом FK5........................................................ 43
2 ROTOR: новый метод определения углов взаимной ориентации двух систем отсчета 46
2.1 Постановка задачи ............................................... 46
2.2 Уравнения жесткого вращения...................................... 46
2.3 Физическая и формальная модели систематических разностей ... 48
2.4 Углы поворота как функции коэффициентов ортогопальпого разложения систематических разностей ...................................... 49
2.5 Свойства аналитических решений................................... 53
2.6 Определение коэффициентов Cj через углы поворота ............ 55
2.7 Тесты вращения................................................... 57
‘2.8 Недостатки стандартного метода................................... 59
1
‘2.9 ROTOR: новый метод получения параметров вращения................. 60
2.10 Испытания метода ROTOR на примерах сравнения различных астрометрических каталогов................................................ 63
2.11 Численные эксперименты........................................... 66
3 Связь систем каталогов FK5 и HIPPARCOS 72
3.1 Введение.......................................................... 72
3.2 Отбор звезд....................................................... 74
3.3 Критика модели жесткого вращения.................................. 75
3.4 Представление систематических разностей FK5 - HIPPARCOS с помощью функций "Лежандр-Эрмит-Фурье”.................................. 80
3.5 Структура систематических разностей FK5 - HIPPARCOS 81
3.5.1 Система прямых восхождений каталога FK5 ................... 81
3.5.2 Система склонений каталога FK5............................. 90
3.6 Обсуждение результатов............................................ 92
4 Кинематический анализ собственных движений звезд 94
4.1 Введение.......................................................... 94
4.2 Проблемы кинематического анализа собственных движений звезд . 101
4.3 Метод модельного каталога.........................................103
4.4 Раздельное решение оснонных кинематических уравнений..............105
4.5 Индексы собственных движений звезд и их систематических ошибок 108
4.6 Совместное решение условных уравнений для случая модельного каталога ..............................................................112
4.7 Совместное решение условных уравнений для реальных каталогов . 115
4.8 Влияние систематических ошибок собственных движений звезд на результаты с—решения.................................................117
4.9 Правомерность абсолютизации с—решения.............................119
5 Влияние систематических ошибок собственных движений звезд
на определение звездно-астрономических постоянных 122
5.1 Инструментальные погрешности .....................................122
5.2 Уравнение яркости.................................................125
5.2.1 Постановка задачи .........................................125
5.2.2 Неравномерность распределения яркостей звезд FK4 и результаты определения звездно-астрономических постоянных 131
5.3 Дифференциальный метод определения звездно-астрономических постоянных ............................................................133
5.3.1 Постановка задачи .........................................133
5.3.2 Определение поправок звездно-астрономических постоянных
по систематическим разностям FK5 - FK4 ....................137
5.3.3 Определение поправок звездно-астрономических постоянных
по систематическим разностям FK5 - HIPPARCOS...............139
2
6 Влияние локальных характеристик поля скоростей звезд на опре-
деление параметров Оорта и прецессионных поправок 141
6.1 Постановка задачи . 141
6.2 Статистика каталога РРМ . 114
6.3 Кинематика звезд РРМ в рамках модели
Оорта-Линдблада . 148
6.4 Кинематика звезд РРМ в рамках модели Огородникова-Милна . . . 150
6.4.1 Коэффициенты Оорта . 150
6.4.2 Прецессионные поправки . 156
6.5 Выводы . 158
7 MOTOR: новый метод кинематического анализа собственных движений звезд 160
7.1 . . 160
7.2 Выбор системы координат . . 161
7.3 Алгоритм поворотов . . 166
7.4 Выбор ортогонального базиса . . 168
7.5 Алгоритм метода MOTOR . . 169
7.6 Сравнение метода MOTOR с методом наименьших квадратов . . . 173
7.7 Кинематические спектры собственных движений звезд . . 175
8 Кинематический анализ звезд каталога H1PPARCOS 177
8.1 Введение.........................................................177
8.2 Глобальное решение...............................................178
8.3 Селекция звезд.................................................. 180
8 А Кинема гика звезд главной последовательности.....................182
8.5 Кинематика звезд-гигаптов (класс светимости III).................183
8.6 Кинематика звезд на различных гелиоцентрических расстояниях . 184
8.7 Выводы...........................................................191
9 Определение постоянной прецессии но каталогам наземной и космической астрометрии 192
9.1 Постановка задачи , . . . 192
9.2 Статистика каталога Р512 . . . . 193
9.3 Стандартное решение и его критика . . . . 194
9.4 Анализ в рамках модели Огородникова-Милна ... 196
9.5 Учет расстояний до звезд , . . . 198
9.6 Кинематика звезд каталога Р512 в системе КЖР ... 202
9.7 Определение прецессии по данным РК5 и Н1РРА11С08 . . . . . . . 204
9.8 Определение прецессии по данным СОС и IIIР РА НС 08 . . . . . . . . 206
9.9 Обсуждение результатов , . . . 208
10 Спектральные оценки неравномерных временных рядов 209
10.1 Введение.......................................................209
10.2 Некоторые нерешенные проблемы спектрального анализа неравномерных временных рядов............................................. 213
3
10.3 Периодограмма поли гармонической функции, заданной на произвольном множестве точек..............................................214
10.4 Спектральные окна (спектры скважности)..........................217
10.4.1 Полубесконечный интервал.................................218
10.4.2 Интервал конечной длины..................................218
10.4.3 Равномерное распределение точек..........................219
10.4.4 Случайные пропуски ......................................219
10.4.5 Периодические пропуски...................................220
10.4.G Сравнение с наблюдениями.................................225
10.4.7 Длинный пропуск..........................................228
10.5 LS-спектры и периодограмма Шустера..............................231
10.5.1 Виды LS-спектров.........................................231
10.5.2 LS-спектр Бариинга.......................................233
10.5.3 LS-снектр Ломба..........................................234
10.5.4 Модификация Скаргла......................................235
10.5.5 LS-спектры и периодограмма Шустера.......................235
10.5.6 Особые частоты при наблюдениях с пропусками..............242
10.6 Статистические свойства периодограммы белого шума, заданного
fia неравномерной сетке точек...................................243
10.6.1 Периодограмма Ломба .....................................243
10.6.2 Периодограмма Шустера....................................244
10.7 Статистические критерии распознавания сигнала в шумах...........245
10.7.1 Равномерная сетка .......................................245
10.7.2 Неравномерная сетка......................................247
10.8 Резонанс ...................................................... 251
11 Временной интерферометр 262
11.1 Сравнение фундаментальных понятии, задач и методов радиоинтерферометрии и спектрального анализа временных рядов................262
11.1.1 Базовые понятия интерферометрии..........................263
11.1.2 Базовые понятия спектрального анализа временных рядов . 264
11.2 Синтез коррелограммы............................................268
11.3 Метод повторных коррелограмм ...................................272
11.4 Метод повторных корреляционных преобразований при наличии шумов .................................................................278
11.5 Алгоритм метода повторных корреляционных преобразований в дискретном случае.......................................................280
11.6 Модификация метода CLEAN........................................286
12 Заключение 296
Литература 302
4
Введение
Постановка задачи и содержание диссертации
В настоящее время астрометрия представляет собой разветвленную науку, основные направления которой определяются возможностями различных измерительных средств. За последние двадцать лет к существовавшим классическим разделам этой науки - меридианной и фотографической астрометрии - добавились новые разделы: радиоастрометрия, лазерная локация Луны и ИСЗ, космическая астрометрия, которые определили новый стандарт точности измерений.
Успешным выполнением миссии H1PPARC0S завершился в каком-то смысле “смутный" период в развитии астрометрии, продолжавшийся последние 20-30 лет. Характерной особенностью этого периода было то, что три раздела астрометрии - меридианная астрометрия, радиоастрометрия и космическая астрометрия - спорили о том, кто из них в будущем будет решать основную задачу астрометрии создание пространственно-временной системы отсчета. В этом споре проигравших пе оказалось: измерения в космосе позволили построить систему отсчета с точностью до шести постоянных (определяющих ориентацию и вращение осей координат в инерциалыюм пространстве;), а окончательная привязка результатов измерений, выполненных космическим аппаратом HIPPARCOS, к системе 1CRS была осуществлена с помощью сложной схемы, основанной на. наблюдениях ра-диоисточников средствами наземной и космической астрометрии, использовании -собственных движений звезд, ”абсолютизированных” относительно галактик, и использовании параметров ориентации Земли (ЕОР), полученных методами классической астрометрии в системе каталога HIPPARCOS и методами РСДБ по программе Международной службы вращения Земли (IERS).
Мы видим, что современная система отсчета, задаваемая в оптическом диапазоне каталогом HIPPARCOS, является достижением всех разделов современной астрометрии. Н большой степени это обстоятельство (использование старых и новых наблюдений для решения классических задач астрометрии) определяет и научное содержание данной диссертации - улучшение старых каталогов ОС и N30, связь систем FK5 и HIPPARCOS, кинематический анализ собственных движений звезд и определение поправки постоянной прецессии MAC 1976 года по данным астрометрических измерений, выполненных на Земле и в космосе.
При решении астрометрических задач процесс получения информации можно представить в виде схемы:
Инструмент —> Метод обработки - Результат
На этой схеме термином инструмент мы обозначаем любой измерительный прибор, производящий измерения углов и/или расстояний: пассажный инструмент, вертикальный круг, астрограф, лазерный дальномер, радиоинтерферометр, космический телескоп и т.д. Хорошо известна та тщательность, с которой астро-метристы исследуют свои инструменты. Основная цель этой очень трудоемкой
работы исключение из наблюдательных данных систематических ошибок, возникающих из-за отличий реальных инструментов от их идеальных образов, а также от неизбежных погрешностей ориентации инструментов в пространстве и во времени. Указанная общность источников систематических ошибок измерений объясняет необходимость исследования инструментов во всех разделах астрометрии независимо от метода наблюдений и от достигаемой точности.
С этой точки зрения метод обработки наблюдений можно также считать инструментом, с помощью которого по данным наблюдений получают параметры моделей изучаемых явлений. Приведем примеры некоторых задач, решение которых требует использования астрометрических наблюдений. Прежде всего следует назвать проблему определения взаимной ориентации астрометр и чесих систем отсчета, объединяющую в себе большое разнообразие частных задач: ориентацию инструментов относительно стандартных систем координат, движение полюса в теле Земли и неравномерность вращения Земли, параметры взаимной ориентации оптических (БК5, Н1РРАНС0$) и радиоастрометрических систем отсчета 1СКБ. Ко второй группе задач можно отнести задачи определения значений астроно-м и чески х постоянных: характеристик размера и формы Земли (средний экваториальный радиус, сжатие, коэффициенты разложения геоиотенциала по сферическим функциям), постоянные прецессии и нутации оси вращения Земли, постоянную годичной аберрации и т.д. Для решения этих задач в астрометрии используют различные приемы: оценивание значений искомых параметров методом наименьших квадратов, фильтрация данных, спектральный анализ временных рядов и случайных полей. Известно, что универсальных математических методов обработки наблюдательной информации не существует. По этой причине использование одного и того же метода в различных ситуациях может привести либо к потере эффективности метода, либо к появлению физически нереальных решений. Точно гак же, обработка одного и того же наблюдательного материала различными методами может дать различные результаты. Нее это говорит о том, что инструменты математической обработки информации нуждаются в таком же тщательном исследовании, как и инструменты наблюдательной астрометрии. Именно этой идеей определяется методическая сторона настоящей диссертации.
Первая часть диссертации посвящена методам получения и обработки систематических разностей положений и собственных движений звезд астрометрических каталогов. Н главе 1
• дан обзор различных методов получения систематических разностей положений и собственных движений звезд двух каталогов;
• предложена модификация метода Броше разложения систематических разностей по сферическим функциям;
• изучены структуры систематических разностей в классических и аналитических методах их представления. Эти структуры являются центральными понятиями для последующих глав диссертации.
Модифицированный метод Броше был использован нами для улучшения системы прямых восхождений каталога ОС (Босс, 1937). Этот каталог, содержащий
6
абсолютные положения и собственные движений 33 342 звезд, равномерно распределенных по всему небу, долгое время использовался в звездно-статистических работах. Кроме того, положения звезд каталога GC со средней эпохой наблюдений около 1900 года послужили основой для построения каталога N30 (Морган, 1952) и Каталога служб времени (Павлов и др., 1971а,Ь).
Однако известно, что при составлении каталога G С его авторы допустили методическую ошибку - не исправили положения и собственные движения его звезд поправками вида Ааа и Д/і,>. Это обстоятельство предопределило низкую точность каталога GC в систематическом отношении. Более того, указанные ошибки GC проникли в собственные движения двух преемственных каталогов -N30 и КСВ.
Первая фаза улучшения каталогов GC и N30 была выполнена на материале 20 наблюдательных каталогов с эпохами наблюдений от 1845 до 1925 г., не вошедших в свое время в GC (Витязев, Витязева, 1985). В диссертации
• получены систематические поправки прямых восхождений и собственных движений звезд GC вида Аал и А/і*;
• проанализирована методика построения собственных движений звезд каталога N30 и получены поправки собственных движений звезд этого каталога;
• произведено сравнение улучшенных систем каталогов GC, N30 с системами фундаментальных каталогов FK4 и FK5. Показано, что две новые системы прямых восхождений звезд - CGC и CN30 (С - corrected), более совершенны в систематическом отношении, чем системы GC и N30.
На основании проделанной работы сделаны следующие выводы:
1. авторы GC и N30 располагали достаточным материалом для того, чтобы получить в свое время первоклассные каталоги, не уступающие но точности в систематическом отношении системе FK5;
2. так называемые старые наблюдения при достаточно критическом к ним отношении могут использоваться при составлении новых фундаментальных каталогов, так как они вполне заслуживают доверия с точки зрения современных требований точности. Это вывод подтверждает правильность идеи создания каталога FK6 (Вилен и др., 1998), в котором собственные движения звезд предполагается получить с использованием старых наблюдений (в частности, каталога G С) в качестве первой эпохи и новых наблюдений (каталог HIPPARCOS) - » качестве второй эпохи.
В настоящее время в астрометрии большое внимание уделяется проблеме связи систем отсчета, созданных на базе меридианных, радиоинтерферометрических и космических средств наблюдений. В главе 2 предложен новый метод определения углов взаимной ориентации двух систем отсчета. Этот метод, названный нами ROTOR, основам на представлении систематических разностей положений звезд двух каталогов с помощью функций, обладающих свойством полноты и ортогональности на сфере. Новый метод, в отличие от традиционного метода наименьших квадратов, обладает следующими важными свойствами:
7
1. он отличает шумовые компоненты от систематических, невращательных компонент и поэтому позволяет получить реалистические оценки среднеквадратичных ошибок искомых углов;
2. новый метод определяет значения углов поворота, используя только ту часть информации в наблюдательных данных, которая физически определяется вращением;
3. в новом методе имеется возможность вычислить каждый из углов с помощью серии коэффициентов разложения и тем самым провести тестирование модеми вращения на ее совместимость с данными наблюдений. Эта проверка является важным свойством предлагаемого метода, поскольку она даст возможность отвергнуть фиктивные решения, что невозможно сделать традиционным методом.
Возможности метода ROTOR иллюстрируются на примерах решения задачи об определении взаимной ориентации оптических и радиоасгрометрических систем отсчета (каталоги звезд FK5, HIPPARCOS, каталоги радиозвезд и радиоисточ-ников JPL и IERS).
Глава 3 посвящена проблеме связи систем каталогов FK5 и HIPPARCOS. Важность решения этой задачи определяется не только практической стороной дела - редуцированием наблюдений из старой системы отсчета в новую, но и возможностью сравнения классических наземных наблюдений с наблюдениями, выполненными в космосе. В предварительном исследовании (Перриман и др., 1997) для описания связи систем каталогов FK5 и HJPPARCOS была предложена модель взаимного твердотельного вращения осей координат систем отсчета и определены ее параметры. Проведенное нами тестирование этой модели методом ROTOR показало несостоятельность такого подхода. По всей видимости, систематические ошибки наземных наблюдений являются следствием совокупного действия столь многих причин, что описать их в рамках простой модели жесткого вращения осей координат просто невозможно. Нами было проведено исследование систематических разностей FK5 - HIPPARCOS практически всеми известными в настоящее время методами, однако в качестве окончательного варианта мы остановились на методе представления систематических разностей по системе функций ”Лежандр-Эрмит-Фурье” (Бин и др., 1977), использовавшегося при построения каталога FK5 и позволяющего дать гибкое описание зависимости систематических разностей как от положения на сфере, так и от блеска звезд.
Исследование поведения систематических разностей FK5 - HIPPARCOS показало, что систематические поправки координат каталога. FK5 могут достигать в отдельных областях неба величины порядка 100 mas, а поправки собственных движений звезд - величины 5 mas/у г.
Такие большие (на уровне 100 mas) систематические различия координат каталогов FK5 и HIPPARCOS являются достаточно неожиданным фактом, если принять во внимание то обстоятельство, что декларированная точность положений каталога FK5 на эпоху J 1991.25 определялась величиной порядка 50 mas. Теперь мы видим, что этот предел существенно не совпадает с тем значением, который задает каталог HIPPARCOS.
8
Вторая часть диссертации посвящена кинематическому анализу собственных движений звезд. Изучение многочисленных звездно-кинематических работ (Куликов, 1956; Клубе 1972; Фрикке, 1977; Астериадис, 1977) показывает, что существующие методы встречаются с трудностями согласования значений одноименных параметров при их получении раздельно из анализа компонент собственных движений // cos 8 и //'. Эти трудности преодолеваются использованием совместного решения, при котором различия исходного материала просто игнорируются. Все это говорит о том, что для кинематического анализа собственных движений звезд необходим более тонкий аппарат, чем тот, который существует. Насколько нам известно, фундаментальных исследований методического характера после работы Марийского, Огородникова и Фесенкова (1935) в этой области не проводилось.
Рассогласование опенок значений одноименных параметров можно объяснить двумя основными причинами:
• существованием в собственных движениях звезд систематических ошибок, по-разному искажающих оценки параметров кинематических моделей при их независимом определении но собственным движениям (л cos $ и //;
• несоответствием использующихся моделей наблюдательным данным.
В главе 4 аналитическим методом исследуется первая причина, то есть, то, как систематические ошибки собственных движения звезд проникают в результаты определения параметров движения Солнца в пространстве, поправок прецессионных величин и параметров Оорта вращения Галактики. Особое внимание уделяется так называемому совместному решению основных кинематических уравнений и показывается, что при наличии систематических ошибок в собственных движениях звезд результаты совместного решения уравнений ПО /2 COS S и //' могут оказаться хуже решения каждого из уравнений, взятого отдельно.
На основе этих теоретических исследований в главе 5 изучаются:
• влияние инструментальных погрешностей на определение звездно-астрономических постоянных;
• влияние уравнения яркости на результаты кинематического анализа собственных движений звезд;
• дифференциальный метод определения звездно-астрономических постоянных.
Изучение систематических разностей собственных движений звезд вида FK5-FK4 и FK5 - HIPPARCOS показало, что систематические ошибки собственных движений звезд каталогов FK4 и FK5 хотя и приводят к искажениям значений искомых параметров, однако эти искажения не столь велики, чтобы ими можно было объяснить существенное различие результатов, получаемых при раздельном решении основных кинематических уравнений. Отсюда следует важный вывод: причину рассогласования модели и данных наблюдений следует искать не в дефектах астрометрических наблюдений, а в эффектах выборки звезд, то есть в отличии реальной кинематики системы, звезд, формирующией конкретный астрометрический каталог, от принятой модели. Изучению этой проблемы посвящена глава 6. Здесь теоретически показано, что
если ь собственных движениях звезд каталога содержатся эффекты пространственной локальной деформации поля скоростей звезд, то результаты определения прецессионных поправок и коэффициентов Оорта раздельно по р cos 6 и // в рамках модели Оорта-Линдблада оказываются отягощенными эффектами расширения и деформации используемой системы звезд.
С помощью этого результата удалось объяснить наблюдающееся рассогласование оценок параметров Оорта при их получении по звездам различных спектральных классов каталога PPM (Бастиан и др., 1993). В этой же главе приводятся результаты определения поправок постоянной прецессии MAC 1976 года, полученные по собственным движениям каталога PPM.
В главе 7 рассматривается вопрос о тестировании моделей кинематического анализа собственных движений звезд. С подобной задачей мы встретились в третьей главе, где для проверки соответствия модели взаимного вращения осей координат наблюдательным данным был нредложени метод ROTOR, основанный на представлении модельных и реальных систематических разностей координат в виде разложений по сферическим функциям. Непосредственное применение этого метода к задачам кинематического анализа собственных движений звезд встречается с двумя трудностями: во-первых, кинематические уравнения содержат больше параметров, чем модели вращения, во-вторых, коэффициенты разложений по сферическим функциям правых частей уравнений, описывающих влияние на собственные движения эффектов расширения и деформации системы звезд, являются линейными комбинациями искомых параметров, что делает невозможным их раздельное определение. Обойти эти трудности удалось с помощью специального приема, основанного на том факте, что в модели трехмерного вращения все три галактические плоскости равноправны и поэтому искомые параметры можно определять сначала в основной плоскости, а потом последовательно в оставшихся двух плоскостях. Для этого нужно повернуть галактическую систему координат на 90° сначала вокруг оси У, а потом вокруг оси X и определить в этих новых системах сферические координаты и собственные движения относительно основных плоскостей, перпендикулярных плоскости Галактики. С учетом всех этих факторов для тестирования кинематических моделей был предложен метод MOTOR, являющийся обобщением метода ROTOR и сохраняющий все его достоинства.
В главе 8 возможности метода MOTOR используются для кинематического анализа собственных движений звезд каталога HIPPARCOS. Конечной целью этого исследования является поиск таких выборок звезд, которые с одной стороны были бы объединены общими признаками, а с другой стороны отражали бы только эффекты плоского вращения Галактики. Такая задача интересна с точки зрения общего исследования кинематики звезд в околосолнечном пространстве. С точки же зрения астрометрии решение такой задачи является полезным для применения строгого метода уточнения поправки принятого значения прецессии земной оси. Дело в том, что из собственных движений звезд мы можем получить только три независимых параметра - проекции общего вектора вращения системы звезд на оси галактической или экваториальной системы координат. В свою очередь, эти компоненты вызываются остаточной прецессией оси вращения Земли и эффектами вращения системы звезд вокруг, вообще говоря, произвольно ориентированной оси. Совместное действие этих причин характеризуется пятью
10
параметрами. Во всех работах, посвященных определению прецессии из анализа собственных движений звезд, делалось предположение о том, что взятая в обработку система звезд имеет вращение лишь в плоскости Галактики. Это равносильно тому, что угловые скорости, описывающие вращение системы звезд в двух остальных плоскостях, полагались равными нулю, - и, следовательно, прецессионные поправки определялись лишь с точностью до двух постоянных. Бла-годря тому, что собственные движения звезд каталога HIPPARCOS, привязанные к системе ICRF, свободны от прецессионных эффектов, мы имеем возможность исследовать кинематику этих звезд ”в чистом виде”. Для уверенного получения прецессионных поправок по собственным движениям звезд, содержащихся в каталогах наземной астрометрии, следует использовать только такие выборки звезд, которые не показывают никаких других вращений, кроме оортовского вращения в плоскости Галактики. В этом случае прецессионные величины могут быть найдены "абсолютным" способом, в противном случае - они зависят от компонентов угловой скорости собственного вращения системы звезд в двух плоскостях, перпендикулярных плоскости Галактики. Мы обнаружили, что плоское вращение уверенно проявляется только в собственных движениях звезд-гигантов спектральных классов В — A — F и К — А/, удаленных от Солнца на расстояние более 200-300 пк. Кинематика более близких звезд оказывается совсем иной ~ она определяется, главным образом, тем, что вектор общего вращения системы этих звезд уже не перпендикулярен плоскости Галактики.
Глава 9 посвящена определению постоянной прецессии по каталогам наземной и космической астрометрии. Современное значение постоянной лунно-солнечной прецессии МАО 1976 года было получено на основе анализа собственных движений 512 звезд FK4/FK4 Sup. (Фрикке, 1977). Основной целью этой главы диссертации является исследование того, что могут дать последние достижения астрометрии для определения постоянной прецессии но собственным движениям звезд. Перечислим те приемы, с помощью которых МЫ Провели переопределение поправки постоянной прецессии Пыокома и которыми в свое время не мог воспользоваться Фрикке:
• учет высокоточных параллаксов звезд, полученных в результате космического эксперимента IlIPPARCOS;
• вычитание из собственных движений звезд каталога F512 собственных движений звезд каталога HIPPARCOS, в результате чего из наблюдательных данных были устранены все кинематические эффекты, не поддающиеся моделированию;
• исправление собственных движений звезд каталога FK4 систематическими поправками FK5 - FK4;
• исправление собственных движений звезд каталог а GC систематическими поправками CN30 - GC.
Основной результат, полученный в этой главе, может быть сформулирован следующим образом: постоянная прецессии MAC (1976) требует коррекции на
11
величину порядка —0.3'/су. Заслуживает внимания тот факт, что значение прецессионной поправки, полученное нами по собственным движениям звезд, очень хорошо согласуется с данными РСДБ-наблюдении.
Третья часть диссертации посвящена, методам получения спектральных оценок наблюдений с произвольным распределением отсчетов во времени. Методы спектрального анализа временных рядов стали широко применяться в астрометрии в течение последних двух-трех десятилетий. Особенно интенсивно они используются при получении ПВЗ параметров вращения Земли (до 1988 года в рамках программ МСДП и МБВ по широтным наблюдениям и наблюдениям служб времени, а после 1988 года - в рамках программы IERS, основанной на наблюдениях с помощью РСДБ и лазерной локации ИСЗ и Луны). Теория и практика спектрального анализа временных рядов хорошо разработана для так называемых равномерных рядов, у которых отсчеты следуют друг за другом с постоянным интервалом. Однако специфика астрономических наблюдений такова, что получить непрерывные наблюдения, длящиеся достаточно долго, невозможно. Для того, чтобы применять стандартные .методики спектрального анализа к таким наблюдениям, используются различные процедуры их приведения к равномерной сетке отсчетов. Эти подготовительные операции приводят к уменьшению диапазона частот, в котором можно производить спектральные исследования. 11а тех уровнях точности измерений, которые характерны для инструментов классической службы ПВЗ, с этим обстоятельством можно было мириться, так как из-за низкого значения отношения сигнала к шуму высокочастотный диапазон спектров таких наблюдений был малоинформативным. Новые измерительные средства IERS обеспечивают точность почти на два порядка выше той, которая была свойственна классическим инструментам. 1\ сожалению, и новые средства измерений не могут обеспечить равномерность рядов. Поэтому разработка методов получения спектральных оценок для рядов с произвольным распределением наблюдений во времени является весьма актуальной.
В настоящее время в астрономической литературе используются различные методы получения спектральных оценок неравномерных временных рядов. Наряду с традиционной периодограммой Шустера применяются также и новые оценки спектра мощности, так называемые LS-спектры (Барнинг.1963, Ломб, 1976). Основным достоинством LS-спектров является то, что они в отличие от периодограммы Шустера на неравномерной сетке сохраняют экспоненциальный закон распределения отсчетов периодограммы для тех случаев, когда временной ряд представляет собой гауссовский белый шум во временной области. Имеющаяся практика одновременного использования традиционных и новых периодограмм для обработки одних и тех же рядов наблюдений (Ломб, 197G, Карбонелл и др., 1992) приводит, однако, к странным результатам: несмотря на различные исходные посылки спектрального оценивания, соответствующие им периодограммы имеют удивительно малые различия.
Исследованию этих вопросов посвящена глава 10, где показано, что ключом к пониманию свойств периодограммы Шустера и LS-спектров является изучение спектральных окон (спектров скважности) распределения моментов наблюдений во времени. Здесь изучены три типичные для астрономии модели распределений
12
моментов наблюдений (случайное распределение, периодические пропуски измерений, длинные пропуски наблюдений), и для этих моделей получены аналитические выражения, описывающие их спектры скважности. Характерной особенностью спектров скважности рассмотренных типов распределения временных отсчетов является наличие так называемых пиков скважности, расположенных на особом множестве частот, которое мы в дальнейшем будем называть собственными частотами. Оказалось, что пики скважности, с одной стороны, определяют степень засоренности периодограммы изучаемого процесса, а с другой стороны позволяют предсказать те ситуации, когда отличия периодограммы Шустера от Г^-спектров будут весьма велики.
Для того, чтобы иметь статистические критерии распознавания сигнала в шумах, необходимио изучить статистические свойства периодограмм белого шума на неравномерных точках. Нами показано, что аналитическое выражение для плотности распределения отсчетов периодограммы Шустера отличается от экспоненциального закона распределения лишь на конечном множестве частот, которые простым образом связаны с собственными частотами соответствующего спектра скважности.
Эти результаты позволили сделать вывод о том, что степень информативности спектральных оценок неравномерных рядов определяется в первую очередь не типом используемой периодограммы, а интерференцией гармонических колебаний, присущих, с одной стороны, изучаемому процессу, а с другой стороны периодичностям самого процесса наблюдений. Для описания этого явления вне дено понятие резонанса указанных частот и показано, что в тех случаях, когда периоды сигнала находятся в определенных соотношениях с периодичностями наблюдений, часть информации о спектре исходного процесса может быть потеряна, безвозвратно. Важным результатом является то, что факт существования резонанса может быть установлен из сравнения периодограммы процесса и соответствующего ему спектра скважности.
В главе 11 найдены важные аналогии между основными понятиями, задачами и методами радиоинтерферометрии и спектрального анализа временных рядов. Например, соответствия между основными понятиями имеют следующий вид:
• диаграмма направленности - спектр скважности,
• пространственная частота - временной сдвиг,
• функция видности - коррелограмма,
• карта - периодограмма.
На этом основании сделан вывод о том, что методы радиоинтерферометрии можно использовать при решении задач спектрального анализа временных рядов, и наоборот. В частности, аналогия между функцией видности и коррелограм-мой позволила применить идею апертурного синтеза в спектральном анализе временных рядов. Развитие этой идеи привело к созданию новог о метода получения чистых спектров - метода повторных коррелограмм. На основе полученных новых свойств спектральных оценок неравномерных рядов произведена модификация известного алгоритма чистки спектров СЬЕАЫ.
13
Теоретические исследования методов спектрального анализа неравномерных рядов проиллюстрированы многочисленными примерами как искусственного, так и астрономического происхождения.
Общая характеристика работы
Актуальность проблемы
За последние 20-30 лет наблюдательная астрометрия совершила качественный скачок в своем развитии, достигнув миллисекундного уровня точности измерений. Разработка и создание новых наблюдательных средств (радиоинтерферометри-ческие комплексы, лазерная локация Луны и ИСЗ, проект HIPAARCOS) потребовали колоссальной концентрации усилии астрометристов многих стран. Вместе с тем, математическим методам обработки новой астрометрической информации еще не уделяется должного внимания. Актуальность исследований, проводящихся в диссертации, определяется этим обстоятельством.
Цель работы
Исследование сильных и слабых сторон традиционных методов, применяющихся при обработке астрометрических наблюдений, и разработка новых методов решения классических и современных задач астрометрии.
Научная новизна
• изучена структура систематических разностей положений и собственных движений звезд, основанная на их представлении в виде рядов по ортогональным системам функций;
• созданы две новые системы прямых восхождений звезд - CGC и CN30 (С -corrected), более совершенные в систематическом отношении, чем системы GC и N30. Показано, что исправление методики составления каталога GC делает этот каталог пригодным для использования в качестве первой эпохи для вывода новых систем собственных движений;
• предложен новый метод определения углов взаимной ориентации двух систем отсчета, основанный на представлении систематических разностей координат с помощью ортогональных функций (метод ROTOR - ROTation by Orthogonal Representation). Новый метод, в отличие от традиционного МНК, использует только ту часть информации в наблюдательных данных, которая соответствует вращению систем отсчета, и поэтому позволяет получать реальные оценки искомых углов ориентации;
• с помощью метода ROTOR показано, что модель твердотельного взаимного вращения осей координат недостаточна для установления связи между системами каталогов FK5 и HIPPARCOS. Изучена структура систематических разностей положений и собственных движений общих звезд этих каталогов.
1-1
Получено представление этих разностей с помощью системы функций, образованных произведениями ортогональных полиномов Лежандра, Эрмита и Фурье;
• аналитическими методами исследован процесс проникновения систематических ошибок собственных движений звезд в результаты определения компонент движения Солнца в пространстве, параметров Оорта вращения Галактики и поправок принятых значений прецессионных величин. Изучено влияние инструментальных погрешностей и уравнения яркости на точность оценивания этих величин. Показано, что перевод каталога FK4 на систему FK5 и перевод FK5 на систему каталога HIPPARCOS не приводит к существенным изменениям численных значений параметров движения Солнца, коэффициентов Оорта и поправки лунно-солнечной прецессии MAC 1976 года;
• получена оценка влияния скорости расширения и деформации системы звезд на определение постоянной прецессии и коэффициентов Оорта. Произведен кинематический анализ собственных движений звезд каталога PPM. Дано объяснение систематическому различию оценок коэффициентов Оорта, определяемых но компонентам собственного движения fi cos S и //' независимо друг от друга;
• предложен новый метод кинематического анализа собственных движений звезд, основанный на их предварительном разложении по системе ортогональных функций. Этот метод, названный нами МОТОК - MOTion by Orthogonal Representaion), позволяет получить не только оценки параметров кинематической модели Огородникова-Милна, но и произвести тестирование модели на ее соответствие наблюдательным данным;
• выполнен кинематический анализ собственных движении звезд каталога HIPPARCOS. Показано, что поле скоростей звезд, расположенных от Солнца на расстояниях ближе, чем ‘200 пк, не может быть использовано для надежного определения прецессионных поправок;
• по собственным движениям звезд каталогов PPM, CGC, FK5 и HIPPARCOS получена поправка постоянной лунно-солнечной прецессии MAC 1976 года.
• произведено теоретическое сравнение различных способов спектрального оценивания спектра мощности рядов наблюдений с произвольным распределением измерений во времени и показано, что степень различия и статистические характеристики этих оценок определяется свойствами соответствующих спектральных окон (спектров скважности). Получены аналитические выражения, задающие спектральные окна для некоторых типов неравномерностей, свойственных астрономических наблюдениям;
• предложен метод синтеза коррелограммы как основы для получения чистых спектров. Впервые показано, что в практическом анализе временных рядов существенную роль играет резонанс периодичностей изучаемого процесса и пропусков наблюдений. Существование резонанса определяет в конечном счете принципиальную возможность восстановления спектра исследуемого
15
явления. Произведена модификация метода CLEAN, позволяющая наряду с чисткой периодограммы вычислять также коррелограмму, свободную от эффектов неравномерного распределения наблюдений во времени, и производить фильтрацию данных в любой полосе частот.
Практическая ценность
Вскрытые в ходе проведенных исследований недостатки существующих методов и предложенные в диссертации новые методы могут быть учтены и применены
• при обработке данных Международной службы вращения Земли (IERS),
• при определении взаимной ориентации систем отсчета различного типа,
• при звездно-астрономических исследованиях с использованием массовых каталогов собственных движений звезд (PPM. HIPPARCOS, TYCHO).
Полученные в диссертации
• поправки постоянной прецессии могут быть использованы при установлении нового стандартного значения постоянной лунно-солнечной прецессии,
• результаты исправления каталога GC могут быть использованы при составлении каталога FKG.
На защиту выносятся:
1. анализ систематических разностей положений и собственных движений звезд каталогов FK5 и HIPPARCOS (с применением нового метода определения углов взаимной ориентации двух систем отсчета - метода ROTOR);
2. решение задачи о влиянии скорости расширения и деформации системы звезд на определение коэффициентов Оорта по компонентам cos S и ц! собственных движений звезд;
3. кинематический анализ собственных движений звезд каталога HIPPARCOS, выполненный методом представления собственных движений звезд с помощью ортогональных функций (метод MOTOR);
4. определение поправки постоянной лунно-солнечной прецессии MAC 1976 года по данным каталогов GC, FK5, PPM и HIPPARCOS.
5. теория и новые методы спектрального анализа временных рядов с произвольным распределением отсчетов во времени;
Апробация работы
Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на семинарах кафедр астрономии, астрофизики и небесной механики СПбГУ (ЛГУ), на семинарах Пулковской, Голосеевской обсерваторий и на семинарах ИПА РАН, а также на ряде всесоюзных, всероссийских и международных конференций:
16
• Вторая Орловская конференция - Изучение Земли как планеты методами геофизики, геодезии и астрометрии, Украина, Полтава, октябрь, 1986;
• Коллоквиум MAC N100 - Фундаментальные концепции астрометрии, Белград, Югославия, сентябрь, 1987;
• Всесоюзная астрометрическая конференция по проблемам ФОК АТ, КОН-ФОР, МЕГА, Украина, Киев, октябрь, 1991;
• Российская астрометрическая конференция, Пулково, октябрь 1993;
• Конференция Statistical Challenges in Modern Astronomy II. Penn State University, USA, June, 1996;
• Коллоквиум MAC 165 ”Dynamics and Astrometry of Natural and Artificial Celestial Bodies”. Poznan, Poland, July, 1996;
• Конференция Astronomical Data Analysis Software and Systems (ADASS-6). Charlottesville, Virginia, USA, Sept., 1996;
• Конференция Fourth International Workshop on Positional Astronomy and Celestial Mechanics. Peniscola, Spain, October, 1996.
• Конференция ^Современные проблемы и методы астрометрии и геодинамики”, С-Петербург, сентябрь, 1996 г:
• Конференция’’Journees 1997: Systemes de Reference Spatio-Temporels”, Чехия, Прага, сентябрь 1997 г.
• Конференция ’’Journees 1999 & IX Lohrmann-Kolloquium: Motions of Celestial Bodies, Astrometry and Astronomical Reference Frames”, Германия, Дрезден, сентябрь 1999 г.
Структура и объем диссертации
Работа состоит из введения, 11 глав, заключения и списка цитируемой литературы (232 наименования). Диссертация содержит 316 страниц, 107 рисунков. 61 таблицу. По теме диссертации имеется 35 публикаций.
17
Глава 1
Систематические разности положений и собственных движений звезд астрометрических каталогов
1.1 Основные понятия и определения
В диссертации мы будем исследовать систематические, разности положений и собственных движений звезд двух каталогов. С понятием систематических разностей астрометрия встречается при решении самых разнообразных задач:
• изготовление и модернизация инструментов;
• составление сводных и фундаментальных каталогов звезд и квазаров;
• определение параметров взаимной ориентации систем отсчета, построенных на звездах и квазарах;
• построение сводных рядов параметров вращения Земли;
• вывод и сравнение шкал времени;
• уточнение значений астрономических постоянных.
К этому следует добавить, что систематические разности являю тся тем материалом, с помощью которого производятся открытия новых кинематических явлений (так были открыты явления прецессии и нутации оси вращения Земли, аберрация света и т.д.).
Указанная общность исходных данных для решения перечисленных задач кроется в фундаментальности понятия систематических разностей. Для того, чтобы раскрыть общий смысл этого термина, рассмотрим его в контексте базовых кон-цеп I щ й астрометрии.
Наш подход строится на использовании двух базовых понятий (Ковалевский, 1985,1995; Витязев и Кривов, 1989). Одно из них - это пространственно-временная система координат (IIВС К), второе - пространственно-временная система
18
отсчета (ПВСО). В англоязычной литературе этим двум понятиям соответствуют термины Reference System и Reference Frame. IIBCK создается физиками и представляет собой абстрактную математическую конструкцию, которая в рамках различных физических теорий наделяется различными физическими свойствами. ПВСО создается астр о мет р истам и и является реализацией ПВСЖ, не совпадающей с ней. Заложенные в этих понятиях различия и способы их устранения позволяют выяснить методологию астрометрии и конкретизировать ее задачи.
С точки зрения основных концепций астрометрии каждый астрометрический каталог, полученный на конкретном инструменте, представляет собой локальную ПВСО. С помощью выполнения стандартных редукций начало IIBCO переносится в барицентр Солнечной системы, и локальная ПВСО становится региональной 1JBC0. Такие каталоги, полученные на одном инструменте, называют наблюдательными каталогами, а в соответствии с методом их получения они подразделяются на абсолютные и относительные. В результате уравнивания рядов наблюдательных каталогов получают так называемые фундаментальные каталоги, которые содержат наиболее вероятные значения положений и собственных движений звезд. С самых общих позиций фундаментальный каталог реализует в барицентре солнечной системы пространственно-временную систему отсчета, оси которой ориентированы в пространстве определенным образом (Перриман и др., 1997). Разработанная теория редукций вместе с принятым набором астрономических постоянных (например, системой МАО 1976/80) позволяет воспроизводить IIBCO на любую эпоху для любой точки пространства.
Для любого значения X = {а, <$,/*,/*'} из астрометрического каталога можно написать следующее представление:
X = x + S, (1.1)
где х - точный результат, а £ - его ошибка. В свою очередь ошибка £ расщепляется на две компоненты: случайную (£г) и систематическую (£,).
Случайной ошибкой наблюдения является такая ошибка, которая не коррелирует ни с одним из устойчивых признаков звезд. В астрометрии обычно считают, что случайные ошибки распределены по нормальному закону. Исходя из этой гипотезы, уровень ошибок характеризуют среднеквадратической ошибкой одного измерения (единицы веса). Для современных каталогов, полученных методами меридианной и фотографической астрометрии, характерные точности (<7о) составляют величину порядка 0."15 -5- О/'ЗО, в радиоастромстрии и в космической астрометрии эти точности существенно выше и достигают величин порядка
ОЛИН.
Систематической ошибкой называют такую компоненту обшей ошибки, которая показывает определенную зависимость от устойчивых признаков звезд: положения на сфере, блеска, спектрального класса и т.д. В классической астрометрии принята следующая структура систематических ошибок:
19
Да = Д/4 ■+• Дос$ + Ааа + Дат , А8 = АО + А6& + Д6с + А8т + ... ,
(1.2)
(1.3)
Ац = Д//а + Ац$ 4- Д/хт 4- ... , (1.4)
Дд' = Д/4 + Д/4 + Д/4 + ..- • (1-5)
14 этих формулах
1) ДДД/) ошибки нуль-пунктов прямых восхождений и склонений звезд;
2) Аа$уА6&, Ац&, Д^£ - непериодические компоненты;
3) Даа, Д£<», Дда» Д/4 - периодические компоненты;
4) АатуАцт (реже Д£т,Д/4,) ~ ошибки ''уравнения яркости“.
Указанная классификация систематических ошибок разработана на основе изучения поведения систематических разностей каталогов звезд.
1.2 Задача о сравнении двух каталогов
Представим информацию, содержащуюся в каталоге следующим образом:
А — Ко -Ь £ + г, (1*5)
где Ао истинная информация, з - систематическая ошибка., г - случайная ошибка.
Будем называть системой каталога совокупность истинных данных, отягощенную систематическими ошибками:
5 = Ко + 5. (1.7)
Пусть имеются два каталога, координаты которых приведены на одну эпоху и одно равноденствие:
К у = Ао + *$1 + гь (1*8)
А2 = Ао ■+■ ^2 “Ь го. (1.0)
Образуем индивидуальные разности положений и собственных движений общих
звезд двух каталогов:
20
А А і,2 = А і — А*2 = Дв + Дг-
(ЇЛО)
Задача об определении систематических разностей сводится к низкочастотной фильтрации индивидуальных разностей с целью подавления случайной компоненты
где - оператор низкочастотной фильтрации.
Полученные этим способом систематические разности Д, позволяют провести сравнение каталогов в систематическом отношении. Кроме того, с помощью систематических разностей производится перевод одного каталога на систему Другого. Так, перевод каталога К2 на систему каталога А', выполняется по формуле
Такие редукции постоянно встречаются в астрометрической практике.
1.3 Классический метод сравнения каталогов
Как было сказано выше, систематические разности двух каталогов предназначены для перевода положений или собственных движений звезд одного каталога на систему другого каталога, а также для решения других многочисленных задач астрометрии. Систематические разности строятся на основе индивидуальных разностей координат или собственных движений общих звезд двух каталогов путем применения той или иной процедуры низкочастной фильтрации (сглаживания.), предназначенной для отделения случайной составляющей от основной, систематической. Несмотря на многообразие применяющихся сглаживающих процедур и форм задания систематических разностей, можно выделить два основных способа их представления: классический (табличный) и аналитический. В первом способе систематические разности расщепляются на ряд компонент (например, Аа$, До«, Догт для разностей До), каждая из которых зависит от одного или двух аргументов, и представляются в виде таблиц с одним или двумя входами. Подробное описание техники образования систематических разностей табличными методами можно найти в работах Зверева (1950), Бакулина (1980), Подобеда (1962) и др. Использование ЭВМ привело к разработке алгоритмизированных версий классических методов, которые были применены впервые при вычислении систематических разностей РК4 - ОС и РК4 - N30 (Броше и др., 1964). Суть этих методов заключается в осреднении индивидуальных разностей положений
плі)
К\ — А 2 + Д*.
(1.1*2)
Для обратного перехода соответственно имеем
К2 = К\ - А,-
(1.13)
21
или собственных движений по определенно выбранным площадкам сферы с последующим применением скользящих операторов сглаживания по обеим координатам. Результатом являются таблицы компонент систематических разностей, для применения которых к конкретным звездам требуется интерполяция. Основным недостатком табличных методов получения систематических разностей является субъективность назначения параметров осреднения и сглаживания. Отметим, что табличный метод задания систематических разностей использовался, в основном, представителями немецкой школы составления фундаментальных каталогов.
1.4 Аналитический метод сравнения каталогов
Впервые для представления систематических разностей аналитические методы стали применять американские ученые (Восс, 1937, Морган, 1952). При составлении каталогов ОС и N30 они предпочитали аппроксимировать периодические разности вида Да0, Ада, Д<£а, Др7а отрезками тригонометрических рядов, выражающих зависимости указанных разностей от прямого восхождения. При этом, как правило, игнорировалась зависимость указанных разностей от склонения.
Существенным улучшением аналитического метода Б.Восса и Моргана является предложенный Броше (1966) метод представления систематических разностей с помощью сферических функций. В основе этого метода также лежит использование тригонометрических полиномов по прямому восхождению, НО при этом зависимость от второй координаты сферических гармоник позволяет осуществить гибкое воспроизведение хода систематических разностей по склонению. Важное свойство метода Броше - это сравнительно простая формализация процедуры разделения случайной и систематической составляющих. В результате представления систематических разностей по методу Броше мы получаем набор статистически значимых коэффициентов разложения, с помощью которых можно вычислить значение систематической разности в любой точке сферы. Этот метод получил широкое распространение в астрометрии в последние годы. Ниже в справочных целях мы приводим краткое изложение этого метода с учетом модификаций, выполненных различными авторами.
Исходным материалом, так же как и в классическом методе, являются индивидуальные разности положений N общих звезд двух каталогов:
Основное представление индивидуальных разностей записывается в следующем виде
/(а,6,т) = £ Ь} У,-(а, 6, т) + е,
(1.14)
22
где {У,(ог,<£,т)}, 3 = 0,1,... - система некоторых базисных функций, ортогональных в области
Сутью аналитического метода, является определение коэффициентов разложения систематической части исходных разностей по выбранной системе базисных функций. Очевидно, что в представлении (1.14) номер старшего члена разложения фиксирует границу между систематической и случайной компонентами. Если эта граница известна, то определение искомых коэффициентов может быть выполнено но методу наименьших квадратов. Однако в общем случае определение номера старшего члена разложения представляет собой самостоятельную задачу. Для ее решения крайне желательно, чтобы коэффициенты разложения определялись независимо друг от друга. Этого можно добиться за счет выбора базисных функций. Обычно в качестве базисных функций берут произведения классических ортогональных полиномов, каждый из которых зависит только от одной из переменных а, 6 и т и обладает свойством ортогональности на промежутках 0 < <* £ 2тг, — тг/2 < 6 < л/2, — оо < го < оо. К сожалению, неравномерность распределения координат и блеска звезд внутри каждого из этих промежутков, а также неполнота каталогов по зонам склонения нарушает эту ортогональность. Но этой причине определение коэффициентов разложения производится в искусственном базисе, полученном из исходного с помощью процедуры Грама-Шмидта. При этом установление старшего члена, разложения является центральным моментом рассматриваемого метода. Решение этой задачи производится на. основе статистических критериев. В астрометрической практике обычно используют Р-критерий, основанный на сравнении двух независимых оценок дисперсии (Броше, 1966), н 7-критерий, сутью которого является проверка гипотезы о независимости остатков разложения (Яцкиви др., .1975). Основной алгоритм аналитического представления систематических разностей был предложен еще в пионерской ра/юте Броше (1966) и с тех пор, за исключением введения 7-критерия, не изменялся. Все варианты этого метода, использующиеся в настоящее время в астрометрии, различаются лишь выбором базисных функций. С целью удобства дальнейшего цитирования мы перечислим различные множества базовых функций, называя их просто базисами и обозначая символами Н0, /?, и т.д.
1. Базисы /?0 и Н\. Эти базисы построены на сферических функциях с различными нормировками.
1а. Базис /?(>. Здесь базисные функции имеют вид
0 < о < 24Л; < 6 < 62; т, < т < т2.
(1.15)
где сферические функции задаются выражением
(1.16)
23
а присоединенные функции Лежандра Рпк($) могут быть вычислены по формуле
т (-і)" П {p-v)
P„k(S) = cos* J[sin” S + £ — s'1"”'2" *]• С1-17)
я=і П 2i/(2n — 2і/ + 1)
</=i
В формуле (1.17) р = п-к, [р/2] - целая часть р/2. Индекс п не ограничен, т.е. п = 0,1,..., а второй индекс к принимает значения к = 0,1,2,... ,га, причем п задастся раньше. Кроме того, индекс j связан с индексами ?г. к, / соотношением
j = п2 + 2* + /-1. (1.18)
Сферические функции Kj(a. (5) образуют на сфере полную ортогональную систему функций, при этом ортогональность понимается в смысле скалярного произведения
{Ki,Kj)= Г da Ґ' Ki(a,6) Kj(a,S)cos&dS = Sh\\K,\\\ (1.19)
J О J — їг/2
где % - символ Кронекера. Квадраты норм функции Ку(а,6) вычисляются по формулам
- {“И: мо° ,, 20>
а квадраты норм присоединенных функций Лежандра задаются выражениями
по 112 Г/2п2/£\ fjr 2(n — fc)!(n + k)\
ия-||*=L» p^cosSdS=——
2 яп!
(2гг)!_
(1.21)
п/2
1Ь. Базис /?і. Здесь базисные функции имеют вид
Ъ = Ъ К;(а,6). (1.22)
Сферические функции определяются как и в базисе Во с помощью (1.16), а функции Лежандра имеют другую нормировку:
[(п-АО/2]
Р^(і) = 0„аи*і[8Іп“-*#+ £ Д.8т“-*-2',й], (1.23)
(1-1
24
где
(-1)1* п (п-к-и)
п - <2”>! ■ А - !=°
Ч» ~~ 2"п!(п-А)1» 'V — «V V ,
[ [ 21/(2п— 21/+1)
1/-1
(1.24)
/г = 0; п = 0Л?2,...,
А* = 1; п = 1,2,...,
А = 2; « = 2,3,...
Для сферических функций с такой нормировкой условие ортогонально-
сти имеет вид:
I Г2т Г+*/2 ] ( А»+*)1 Я и > 0
— ,1с, К,Кясо*Ыа,1Ь=-—\ 7'- 1.25
4тг 7-я/2 2« +1 I 1 дрц, к = 0.
Поэтому для нормирующего множителя в (1.22) имеем
, ( Ып-ку , п
Я,-* Я** = ^5п+Т< (1.26)
( 1, А = 0.
Зависимость между порядковым номером сферической функции j и индексами и, А, / удобно представлять в виде диаграммы, индексов (см. рис 1.1).
Базис #2* Н этом случае основное уравнение удобно записать в виде
/(а,$,т) = У; Ь, К,(а,8)1Цт) 11,11». (1.27)
рпк1
Здесь сферические функции имеют нормировку, заимствованную из базиса В\, а полиномы Эрмита Нр(т) задаются с помощью рекуррентного соотношения
Нр+\(т) = г??Яв(ш) - р//р_1 (ш), р = 1,2--------
(1.28)
Но = 1, Н\ = т, //г = «I2 -
где ?« - безразмерная звездная величина
111 ~ Ш° (л
т =----------, (1.29)
О'-,,.
25
к-з 15 22 31 42 • •
14 21 30 41 ...
8 13 20 29 40 ...
к. ■ 2 7 12 19 28 39 • •
к-1 3 6 11 18 27 38 • •
2 5 10 17 26 37 ••
0 1 4 9 16 25 36 • •
" 0 1 2 3 4 5 6
Рис. 1.1: Диаграмма индексов сферических функций.
т0 - средняя звездная величина звезд сравнения, <7т - среднеквадратичное уклонение звездных величин от средней. В формуле (1.27) нормировочный
множитель /?_, определяется выражением (1/26), а множитель Кр задается
формулой
я, = (1.30)
Базис В у был введен II Іваном (1977) для описания зависимости систематических разностей от блеска звезд.
3. Базис В3. В работе Вина и др. (1978) было показано, что использование сферических функций встречается с некоторыми неудобствами при аппроксимации систематических разностей в полярных зонах склонения. Для исправления этого недостатка указанные авторы отказались от присоединенных функций Лежандра и составили новые базисные функции но схеме ’’Лежандр-Фурье-Эрмит“. В этом случае основное уравнение имеет вид
/(а, $,т) = £ Врпы грпкі(ос,6ут) + г, (1.31)
ртхкі
где базисные функции задаются выражением
Ярпкі = ІірпкіНр(т)іп(6)Ркі{а). 26
(1.32)
Н этой формуле полиномы Эрмита Ир определяются с помощью (1.28), а для вычисления полиномов Лежандра служит рекуррентное соотношение
Ьп+1(5) = *£8Ьп(6) - ^Ь^Сб)
(1.33)
п- 0,1,2,..., £о=1,
где
ап 8, |<£| < |
<* =
(1.34)
.8’! = 8П1 ;
$2 = 81П 6-2.
(1.35)
Для описания зависимости систематических разностей от прямого восхождения используются тригонометрические функции (функции Фурье):
Отметим, что впервые для аппроксимации систематических разностей на комбинацию функций типа “.Лежандр-Фурье указал Вальбуске (1975). Метод представления систематических разностей, основанный на функциях типа "Лсжандр-Фурье-Эрмит“ (базис /?з) и на Г-критерии для разделения систематических и случайных компонент, использовался при составлении фундаментального каталога 1?К5.
4. Базис В.I. (Ортогональные алг ебраические полиномы). В тех случаях, когда систематические разности определяются в узких ограниченных участках небесной сферы, либо имеют локальные неоднородности, использование сферических функций становится неудобным с практической точки зрения, так как для адекватного представления систематических компонент требуется очень большое число членов разложения. В таких случаях по предложению Я.С.Яцкива (1975) целесообразно использовать в качестве базовых функций алгебраические полиномы:
|, к = 0, / = -1
со$ Ыа, / = +1, к = 1,2,...
8т(—/&а), / = —1, к =1,2.
(1.36)
Базисные функции нормируются с помощью множителя
(1.37)
27
(1.38)
Такой набор функций использовался при составлении каталога ИФКСЗ 2 (Зверев и др., 1080).
История аналитического метода представления систематических разностей по ортогональным системам функций показывает, что использование различных базисов всегда диктуется конкретной задачей. Гак, при отсутствии уравнения яркости достаточно использовать только сферические функции или функции типа ”Лежандр-Фурье“. Наоборот, попытка включения в анализ систематических разностей, например, спектральных характеристик звезд, приводит к появлению новых видов базисных функций (Броше и др., 1987). В настоящее время статус стандарта получил базис "Лежандр-Фурье-Эрмити. Тем не менее, новый подход к получению систематических разностей, основанный па идее среднеквадратичной коллокации, показал что оптимальная фильтрация может быть осуществлена только с помощью сферических функций (Губанов и Титов 1993а, 1993Ь; Титов и Волков 1995). Вывод о предпочтительности использования сферических функций в задачах об определении параметров взаимной ориентации двух систем отсчета сделан также в работе автора (Витязев, 1994а).
Выше мы говорили о том, что классические методы получения систематических разностей использовались в астрометрии вплоть до создания фундаментального каталога ГК4. Новый, аналитический метод, вошел в употребление, начиная с каталога ГКо. Сравнительный анализ обоих методов можно найти в работах гейдельбергских и киевских астрономов (Бил и др., 1978; Зверев и др., 1980). Здесь показано, что с точки зрения постановки задачи между двумя методами принципиальных различий нет: в обоих случаях речь идет о низкочастотной фильтрации наблюдательных данных. Более того, сравнение двух методов при получении систематических разностей \Vash 2/5 - БК4 (Шван, 1977) показало, что в пределах среднеквадратичных ошибок исходного материала оба метода дают одинаковый результат. Другое дело, как эго осуществляется в каждом из методов. В классическом методе разделение случайной и систематической компонент - это многопараметрическая задача, поскольку решение зависит во многом от выбора площадок осреднения, от выбора оператора сглаживания и его весов. В противоположность этому, метод ортогональных разложений свободен от подобных недостатков, а управление фильтрацией осуществляется в нем с помощью только одного параметра - принятого уровня значимости разделения систематической и шумовой компонент. С этой точки зрения аналитический метод является более строгим.
Аналитический метод получения систематических разностей положений и собственных движений звезд двух каталогов является основой для решения многих задач в настоящей диссертации.
*28