Динамическая эволюция двупланетных систем на космогонических интервалах времени

Оглавление
Введение 6
1 Орбитальная эволюция больших планет Солнечной системы 19
1.1 Задача о движении планет: от математики к физике..............19
1.2 Теория Лагранжа-Лапласа.......................................21
1.3 Развитие метода осреднения ...................................23
1.4 Современные численные теории .................................25
1.4.1 Первые численные теории движения больших планет . . 25
1.4.2 Высокоточные численные теории движения больших планет ...........................................................26
1.4.3 Численные теории, описывающие эволюцию больших планет Солнечной системы на длительных интервалах времени ..........................................................28
1.4.3.1 От Юпитера до Плутона: численное интегрирование уравнений движения пяти внешних планет Солнечной системы..................................28
1.4.3.2 От Юпитера до Плутона: проект ЬОКЮЭТОР . 29
1.4.3.3 Все девять планет...............................31
1.4.3.4 Интегрирование на миллиарды лег: хаос в движении планет...........................................32
1.4.3.5 Запас устойчивости Солнечной системы: варьирование масс планет....................................30
1.5 Современные аналитические и численно-аналитические теории . 38
1.5.1 Общие теории движения планет............................40
1.5.2 Аналитические теории движения планет для расчета эфемерид .........................................................40
1.5.2.1 Теории движения внутренних планет: от Меркурия до Марса ........................................40
1.5.2.2 Теории движения внешних планет...............41
1.5.2.3 Теории движения восьми планет: от Меркурия
до Нептуна.....................................44
2
1.5.2.4 Общие теории движения планет, использующие
разложения эллиптических функций................4G
1.5.3 Численно-аналитические теории движения планет для исследования эволюции Солнечной системы на больших интервалах времени.............................................48
1.5.4 Хаос в Солнечной системе: причины и проявление в движении планет...................................................54
1.6 Долгопериодическая эволюция двупланетных систем...............57
1.6.1 Применение KAM-теории для исследования устойчивости дву планетных систем.......................................57
1.6.2 Динамическая эволюция двупланетных систем...............58
1.7 Выводы........................................................59
2 Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона но всем элементам 62
2.1 Координаты Якоби..............................................62
2.2 Функция Гамильтона ЛГ-планеты ой задачи ......................64
2.3 Системы оскулирующих элементов........................'........65
2.4 Разложение функции Гамильтона Аг-планетной задачи.............66
2.5 Функция Гамильтона двупланетной задачи........................69
2.6 Разложение гамильтониана двупланетной задачи Солш;е — Юпитер — Сатурн в ряд Пуассона но всем элементам с помощью пуассоновского процессора PSP......................................71
2.6.1 Оценка границ суммирования..............................72
2.6.2 Оценка числа слагаемых..................................74
2.6.3 Выбор значений постоянных ..............................76
2.6.4 Разложение гамильтониана с помощью пуассоновского процессора PSP.................................................78
2.6.5 Разложение гамильтониана h2 ВО
2.7 Разложение гамильтониана h2 с символьными параметрами . . 82
2.8 Анализ полученных рядов.......................................83
2.9 Об одном свойстве коэффициентов разложения....................85
2.10 Выводы........................................................93
3 Построение осреднеиных уравнений движения слабовозму-щеииой дву планетной задачи 95
3.1 Неканоническая параметризация скобок Пуассона.................95
3.2 Алгоритм процедуры осреднения.................................97
3.3 Выполнение преобразований Ли.................................100
3
3.3.1 Разложения с численными значениями параметров, соответствующими системе Солнце — Юпитер — Сатурн . 100
3.3.2 Разложения с символьными параметрами...................102
3.4 Выводы.......................................................102
Орбитальная эволюция двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн на космогонических интервалах времени 104
4.1 Численное интегрирование уравнений движения в средних элементах ......................................................104
4.2 Эволюция средних элементов орбит Юпитера и Сатурна . . . .105
4.3 Оценки точности численного интегрирования уравнений движения в средних элементах....................................115
4.4 К вопросу о сохранении интегралов площадей при осредняю-щих преобразованиях..........................................121
4.4.1 Первый способ: использование интеграла площадей в
замкнутом виде.........................................122
4.4.2 Второй способ: вычисление скобок Пуассона с помощью эшелонированного пуассоновского процессора ЕР8Р . . .126
4.5 Оценки короткопериодических возмущений........................129
4.6 Сравнение параметров орбитальной эволюции двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн, полученных разными методами ...........................................................132
4.7 Использование разложений с символьными параметрами .... 133
4.8 Выводы........................................................133
Орбитальная эволюция слабовозму щепных дву планетных систем 135
5.1 Исследование устойчивости планетных систем в зависимости от масс планет..................................................135
5.1.1 Запас устойчивости системы Солнце — Юпитер — Сатурн: варьирование масс планет...............................137
5.1.2 Запас устойчивости планетной системы 47 ИМа............143
5.2 Резонансы в дву планетных системах............................147
5.2.1 Внутренний случай......................................149
5.2.2 Внешний случай.........................................159
5.2.3 Внесолнечные двупланетные системы......................160
5.2.3.1 Резонансные свойства дву планетных систем: внутренний случай ....................................... 176
5.2.3.2 Резонансные свойства двупланетных систем: внешний случай .......................................... 194
5.2.3.3 Резонансные свойства двупланетных систем: промежуточный случай.....................................195
•
5.3 Динамическая эволюция внесолнечной двупланстиой системы
47 11Ма.....................................................196
5.3.1 Внесолнечная планетная система 47 1Ша..............196
5.3.2 Орбитальная эволюция двунланетной системы 47 иМа . 198
5.4 Выводы.......................................................205
Заключение 207
Литература 210
5
Введение
Исследование орбитальной эволюции Солнечной и других планетных систем является одной из фундаментальных задач небесной механики.
Развитие наблюдательной и вычислительной техники привело к заметному прогрессу в изучении движения основных тел Солнечной системы (Солнца и больших планет) в двух взаимосвязанных направлениях. Первое — представление движения с наибольшей возможной точностью на коротком интервале времени (порядка 10 - 10* лет). Второе — качественное описание основных свойств движения на космогонических временах (порядка 10і - 1010 лет).
Согласно исследованиям Ласкара (Laskar, 1994, 2008), Ито и Таникавы (Ito, Tanikawa, 2002b), Батыгина и Лафлина (Batygin, Laughlin, 2008) движение планет-гигантов на космогонических временах почти-периодично. Но вопрос об эволюции произвольных планетных систем типа Солнечной остается открытым.
Устойчивость Солнечной системы — ее жизненно важное для нас свойство. Только устойчивые планетные системы могут служить прибежищами жизни и космической цивилизации.
За редчайшими исключениями устойчивость системы N тел на космогонических временах обеспечивается двумя факторами: иерархией масс и иерархией расстояний. Иерархия расстояний типична для систем кратных звезд, но встречается и в Солнечной системе.
Пример 1: кратная система а Близнецов (Кастор). Система состоит из 'грех тесных двойных систем: Кастор А (массы компонент 2.98 и 0.24 М0> расстояние 0.127 а. е.), Кастор В (2.76 и 0.47 М0, 0.059 а. е.) и Кастор С (0.59 и 0.58 М0, 0.018 а. е.) (Tokovinin, 1997). Расстояние между барицентрами пар А и В составляет 104 а. е. Пара С удалена от центра масс А и В на 1145 а. е.
Пример 2: система Солнце — Земля — Луна. Отношение больших полуосей гелиоцентрической орбиты барицентра системы Земля — Луна и геоцентрической орбиты Луны равно примерно 390. Масса системы Земля — Луна составляет 1/328900 массы Солнца, а масса Луны — 1/81.3 массы Земли.
В планетных системах основную роль играет иерархия масс. Так, масса Юпитера на три порядка меньше массы Солнца. Удаленность планетных орбит друг от друга также вносит некоторый вклад в устойчивость, но он не
6
столь существен. Отношение больших полуосей орбит Сатурна и Юпитера равно примерно 2, а для Земли и Венеры (имеющими существенно меньшие массы) оно составляет всего 1.4.
Иерархия масс наблюдается и в известных внесолнсчных планетных системах. В системе звезды 55 Спс обнаружено пять планет (Schneider, 2010). Масса наиболее массивной планеты 55 Спс d составляет 0.0036 массы звезды 55 Спс. Отношения масс планет на соседних орбитах равны 24, 4.9, 1.2, 27, а соответствующие им отношения больших полуосей орбит — 3.0, 2.1, 3.3, 7.4.
В системе V And известно три планеты (Schneider, 2010). Наиболее массивная у And d — 0.003 массы v And. Отношение масс соседних планет — 2.9 и 2.0, а отношения больших полуосей их орбит — 14 и 3 соответственно.
Аналогичные примеры можно привести и для других виесолнечных планетных систем.
Малость масс планет по сравнению с массой центральной звезды играет важную роль в устойчивости планетных систем. Соотношения между большими полуосями планетных орбит могут дополнительно влиять на устойчивость в случае их близости к резонансным.
Актуальность темы определяется тем, насколько хорошо двупланетная модель приближает реальные многопланетные системы. В Солнечной системе масса Юпитера на три порядка меньше солнечной. Масса Сатурна еще в три раза меньше. Масса Урана, который вдвое дальше Сатурна от Солнца, составляв'!' 15% от массы Сатурна, а Нептуна, еще в полтора раза более далекого, — 18%. Массы планет земной группы существенно меньше. Так что двупланетиое приближение Солнце — Юпитер — Сатурн вполне приемлемо для выяснения качественной картины орбитальной эволюции Солнечной системы.
Вероятно, подобная картина наблюдается в большинстве внесолнсчных планетных систем. Действительно, из 385 открытых к 15 апреля 2010 г. планетных систем лишь у 45 известно более одной планеты, из них у 16 обнаружено более двух планет (Schneider, 2010; Marcy et al., 2010; Mayor et al., 2010). Безусловно, это — эффект селекции. Скорее всего, массы остальных планет малы, так что в большинстве случаев допустимо двупланетное приближение.
Дели работы. Основные цели настоящей работы — разработка новых численно-аналитических методов исследования орбитальной эволюции слабо-возмущенных двупланетных систем на. космогонических интервалах времени, получение качественных свойств и количественных характеристик параметров, описывающих орбитальную эволюцию Солнечной системы и некоторых виесолнечных планетных систем.
7
Научная новизна работы. Настоящая диссертация посвящена разработке новых численно-аналитических методов решения планетной задачи трех тел и получению на этой основе новых результатов о качественных свойствах и количественных характеристиках орбитальной эволюции двупланетных систем.
Новыми являются.
1. Метод представления гамильтониана задачи в виде ряда Пуассона по всем элементам и его реализация с помощью пуассоновского процессора PSP, описанного в работе (Иванова, 1997).
2. Алгоритм вычисления производящей функции осрсдняющего по быстрым переменным преобразования Хори-Депри и гамильтониана в средних элементах: для системы Солнце — Юпитер — Сатурн с точностью до для произвольной системы при сохранении в символьном виде параметров, задающих масштабы и массы — до /л~, и его реализация с помощью эшелонированного пуассоновского процессора EPSP, описанного в работе (Ivanova, 2001).
3. Алгоритм построения функций замены переменных на основе производящей функции осрсдняющего по быстрым переменным преобразования Хори-Депри и его реализация с помощью эшелонированного пуассоновского процессора EPS Р.
4. Вывод о иесохранении х и ?/-компонент интеграла площадей в системе, определяемой конечным отрезком разложения в ряд Пуассона осреднен-ного гамильтониана.
5. Метод исследования устойчивости но Лагранжу дву планетных систем на основе интегрирования осредненных уравнений движения с последующим возвратом к оскулирующим элементам.
6. Алгоритм оценки ширины резонансных зон, основанный на использовании мажоранты функции замены переменных для большой полуоси.
7. Метод описания резонансных свойств двупланетных систем.
Научная и практическая ценность работы. В настоящей работе предложен, разработан и реализован мечюд представления гамильтониана задачи в виде ряда Пуассона по всем кеплеровым элементам. В отличие от обычно применяемых чрезвычайно сложных алгоритмов, виртуозно использующих различные специальные функции, предложенный нами алгоритм предельно прост. Однако этот алгоритм требует больших затрат машинной памяти и, в
меньшей степени, процессорного времени, почему он и не был никем ранее предложен и реализован. Быстрый прогресс вычислительной техники делает эти недостатки терпимыми.
Выполнение осредняющего по быстрым переменным преобразования Хори-Депри для системы Солнце — Юпитер — Сатурн с точностью до /i3 позволило получить разложения, пригодные для описания орбитальной эволюции на космогонических интервалах времени.
Разложения, в которых сохранены в символьном виде параметры, задающие масштабы и массы планетных систем, пригодны для исследования орбитальной эволюции слабовозмущенных систем с малыми эксцентриситетами и наклонами.
Мажоранты функций замены переменных позволяют найти и оценить отклонения оскулирующих элементов от средних (короткопериодические возмущения), уточнить размеры резонансных зон.
При численном интегрировании уравнений движения в средних элементах шаг интегрирования существенно (приблизительно в /л-1 раз, где \х — малый параметр) увеличивается, поскольку независимой переменной вместо времени t фактически становится «медленное время» {it.
Применение метода исследования устойчивости по Лагранжу двупланетных систем на основе интегрирования осрсдненных уравнений движения с последующим возвратом к оскулирующим элементам показало, что сближения обнаруживаются при анализе оскулирующих элементов, в средних элементах сближений нет.
Простой и универсальный метод описания резонансных свойств двупланетных систем, использующий оценки резонансных значений больших полуосей и ширины резонансных зон, выраженные в относительных единицах, позволяет классифицировать и описывать резонансные свойства планетных систем в зависимости от значения малого параметра.
Результаты, выносимые на защиту.
1. Метод представления гамильтониана задачи в виде ряда Пуассона по всем элементам и его реализация с помощью пуассоновского процессора
PSP.
2. Алгоритм вычисления производящей функции осредняющего но быстрым переменным преобразования Хори-Дспри, гамильтониана в средних элементах, правых частей уравнений движения в средних элементах, функций замены переменных. Реализация алгоритма с помощью эшелонированного пуассоновского процессора EPSP.
9
»*>
3. Характеристики орбитальной эволюции двупланетиой системы Солнце — Юпитер — Сатурн на космогоническом интервале времени 10 млрд. лет на основе численного интегрирования уравнений движения в средних элементах. Доказательство несохранения х и ^/-компонент интеграла площадей в системе, определяемой конечным отрезком разложения в ряд Пуассона осредненного гамильтониана.
4. Метод исследования устойчивости по Лагранжу двупланетных систем на основе интегрирования осредненных уравнений движения с последующим возвратом к оскулирующим элементам. Условия распада планетных систем при увеличении масс планет. Оценки сверху масс планет системы 47 иМа.
5. Алгоритм оценки ширины резонансных зон, основанный на использовании мажоранты функции замены переменных для большой полуоси. Метод описания резонансных свойств двупланетных систем.
Структура и объем диссертации. Диссертация объемом 231 с. состоит из пяти глав, введения, заключения и списка литературы, содержащего 268 названий. Число рисунков — 25, таблиц — 61.
Апробация работы. Результаты по теме диссертации докладывались на объединенном семинаре кафедры астрономии и геодезии и Астрономической обсерватории УрГУ, на семинаре обсерватории Туорла Университета Турку, на всероссийских и международных конференциях.
1. 29-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 31 января — 4 февраля
2000 г.
2. Конференция «Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге ХХТ века». Санкт-Петербург, 19-23 июня 2000 г.
3. 30-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 29 января — 2 февраля
2001 г.
4. Всероссийская астрономическая конференция. Санкт-Петербург, 6-12 августа 2001 г.
5. 31-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 28 января — 1 февраля
2002 г.
10
6. Международная конференция «Небесная механика — 2002: результаты и перспективы» («Celestial Mechanics — 2002: Results and Prospects»). Санкт-Петербург, 10-14 сентября 2002 г.
7. 32-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 3-7 февраля 2003 г.
8. Международная конференция «Порядок и хаос в звездных и планетных системах» («Order and chaos in stellar and planetary systems»). Санкт-Петербург, 17-24 августа 2003 г.
0. Международная конференция «Journées - 2003. Астрометрия, геодинамика и динамика Солнечной системы: суг миллисекунд дуги к микросекундам дуги» («Journées - 2003. Astrometry, Geodynamics and Solar System Dynamics: from milliarcseconds to microarcscconds»). Санкт-Петербург, 22-25 сентября 2003 г.
10. 33-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 г.
11. Всероссийская астрономическая конференция ВАК-2004 «Горизонты Вселенной». Москва, 3-10 июня 2004 г.
12. Коллоквиум MAC №197 «Динамика населения планетных систем» («Dynamics of Populations of Planetary Systems»). Белград, Сербия и Черногория, 31 августа — 4 сентября 2004 г.
13. Международный симпозиум «Астрономия — 2005: состояние и перспективы развития». Москва, 30 мая — 6 июня 2005 г.
14. Международный семинар «Задача нескольких тел: теория и компьютерное моделирование» («Few-body problem: theory and computer simulations»). Турку, Финляндия, 4-9 июля 2005 г.
15. Четвертая конференция по небесной механике «CELMEC IV». Сан-Мар-тино-аль-Чимино, Витербо, Италия, 11-16 сентября 2005 г.
16. 36-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 29 января — 2 февраля 2007 г.
17. Международная конференция «Аналитические методы небесной механики» («Analytical methods of celestial mechanics»). Санкт-Петербург, 8-12 июля 2007 г.
11
18. Международная научная конференция «Астрономия и астрофизика начала XXi века». Москва, 1-5 июля 2008 г.
19. Международная конференция «Приложения компьютерной алгебры — 2008» («Applications of Computer Algebra (АСА) 2008». Session «Computer Algebra for Dynamical Systems and Celestial Mechanics»). Хагенберг, Линц, Австрия, 27-30 июля 2008 г.
20. 38-я Всероссийская с международным участием студенческая научная конференция «Физика Космоса». Екатеринбург, 2-6 февраля 2009 г.
21. Всероссийская астрометрическая конференция «Пулково-2000». Санкт-Петербург, 15-19 июня 2009 г.
22. Пятая конференция но небесной механике «CELMEC V». Сан-Мартино-аль-Чимиио, Витербо, Италия, 6-1.2 сентября 2009 г.
Основные идеи и результаты настоящей диссертации опубликованы в работах
1.1. Холшевников К.В., Греб A.B., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана в ряд Пуассона по всем элементам (теория) // Астрои. вестн. 2001. Т. 35, т. С. 267-272.
1.2. Холшевников К.В., Гроб A.B., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам: оценка и прямое вычисление коэффициентов // Астрон. вести. 2002. Т. 36, №1. С. 75 87.
1.3. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Эффект селекции в больших полуосях орбит внссолнечных планет // Астрои. вести. 2002. Т. 36, N9 6. С. 504- 515.
1.4. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам: применение пуассо-иовского процессора // Астрон. вестн. 2004. Т. 38, №2. С. 171-179.
1.5. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Динамическая эволюция слабовозму-щенпой двупланетной системы на космогоническом интервале времени: система Солнце — Юпитер — Сатурн // Астрон. вестн. 2006. Т. 40, №3. С. 263-275.
1.6. Холшевников К.В., Кузнецов Э.Д. Обзор работ по орбитальной эволюции больших планет Солнечной системы // Астрон. вести. 2007. Т. 41, т. С. 291-329.
12
1.7. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Орбитальная эволюция двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн // Вести. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 1. С. 139-149.
1.8. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Запас устойчивости двупланетных систем по массам планет // Астрой, вестн. 2009. Т. 43, №3. С. 230*239.
1.9. Кузнецов Э.Д. Резонансные свойства виесолнечных двупланетных систем // Астрой, журн. 2010. Т. 87, X* 6. С. 605-616.
1.10. Кузнецов Э.Д. К вопросу о сохранении интегралов площадей при осред-няющих преобразованиях // Астрой, журн. 2010. Т. 87, № 6. С. 617-624.
Кроме того, результаты изложены в
2.1. Греб А.В., Кузнецов Э.Д. Новый метод разложения возмущающей функции в планетной задаче // Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века. СПб.: ИПА РАН, 2000. С. 268-269.
2.2. Холшевников К.В., Кузнецов Э.Д. О распределении больших полуосей орбит виесолнечных планет // Физика Космоса: Тр. 31-й Междунар. студ. науч. конф., Екатеринбург, 28 янв. - 1 февр. 2002 г. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2002. С. 112-127.
2.3. Kuznetsov E.D., Kholshevnikov K.V., Greb A.V. Expansion of the Hamiltonian of the planetary three-body problem into Poisson series in all elements using Poisson scries processor PSP // Труды ИПА РАН. Вып. 8. Небесная механика. СПб.: ИПА РАН, 2002. С. 117-118.
2.4. Холшевников К.В., Кузнецов Э.Д. Распределение расстояний в системах виесолнечных планет // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Доклады конференции. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. С. 265-266.
2.5. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Evolution of a two-planetary regular system on a cosmogonic time scale // .Journees-2003. Astrometry, Geodyna-mics and Solar System Dynamics: from milliarcsecoiids to microarcseconds / Eds. Finkelstein A., Capitaine N. SPb.: 1AA RAS, 2004, P. 286-287.
2.6. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Behaviour of a weakly perturbed two-planetary system on a cosmogonic time-scale // Order and chaos in stellar and planetary systems. ASP Conference Series. V. 316 / Eds. Byrd G.G., Kholshevnikov K.V., Myllari A.A., Nikiforov 1.1., Orlov V.V. San Francisco: ASP, 2004. P. 99-105.
13
2.7. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Behaviuor of a two-planetary system on a cosmogonic time-scale // Proceedings of the IAU Coll. №197. Dynamics of Populations of Planetary Systems / Eds. Kne2evi<5 Z., Milani A. Cambridge: Cambridge University Press, 2005. P. 107-112.
2.8. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Behaviuor of a weakly perturbed Two-Planetary System on very long time-scales // Few-body problem: theory and computer simulations. A workshop held in Turku, 4-9 July 2005 / Ed. C.Flynn. Annalcs Univcrsitatis Turkuensis. Ser. A. V. 358. Turku. 2006. P. 60-63.
2.9. Кузнецов Э.Д., Холщевников К.В. Орбитальная эволюция Солнечной системы // Физика Космоса: Тр. 36-й Международ. студ. науч. конф., Екатеринбург, 29 янв. — 2 февр. 2007 г. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2007. С. 142-179.
2.10. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Orbital evolution of the Solar System // Analytical methods of celestial mechanics. Short abstracts of the international meeting held on July 8-12, 2007. St. Petersburg, 2007. P. 42-45.
2.11. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Запас устойчивости Солнечной системы по массам планет // Физика Космоса: Тр. 38-й Международ. студ. науч. конф., Екатеринбург, 2-6 февр. 2009 г. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2009. С.78-88.
2.12. Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Evolution of planetary orbits in the Solar System (Review) // Resonances, stabilization, and stable chaos in hierarchical triple systems. Proceedings of the Second International Workshop held in Chiba, Japan, 8-13 September, 2008. Ed. М. M. Saito, M. Shibayama, and M. Sekiguchi. Chiba, 2009. P. 1-7.
2.13. Кузнецов Э.Д. Влияние планетарных масс на устойчивость Солнечной системы // Известия ГАО РАН. 2009. №219. Вып. 4. «Труды Всероссийской астрометрической конференции «Пулково-2009»». С.167-172.
Опубликованы резюме 17 докладов.
В совместных статьях вклад соавторов равнозначен. Во всех указанных работах автор участвовал в постановке задачи. Автору принадлежит разработка вычислительного алгоритма для построения разложения гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам с помощью метода вычисления коэффициентов по интегральным формулам (работы 1.1, 1.2). Автором разработан и реализован с помощью пуассомовского процессора
14
PSP алгоритм разложения возмущенного гамильтониана (работа 1.4). Автором разработан и реализован с помощью эшелонированного пуаесоновского процессора EPSP метод построения осредненных уравнений движения с помощью преобразований Ли. Автором выполнено численное интегрирование осредненных уравнений движения и исследована орбитальная эволюция двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн (работы 1.5, 1.7). Автором проведено исследование эффекта селекции в больших полуосях внесолнечных планетных систем на основе элементов орбит, получаемых из наблюдений (работа 1.3). Автором выполнен обзор современных численных, аналитических, численно-аналитических теорий движения больших планет Солнечной системы, а также работ, в которых исследуются проявления хаоса в эволюции Солнечной системы (работа 1.6). Автором разработан и реализован численноаналитический метод исследования устойчивости двупланетных систем в зависимости от масс планет, основанный на интегрировании осредненных уравнений движения и использовании функции замены переменных для перехода к оскулирующим элементам орбиты (работа 1.8). Обсуждение результатов проводилось совместно всеми авторами.
Общая структура диссертации
Введение содержит постановку задачи и ее обоснование (актуальность, новизна, научное и практическое значение), краткое изложение содержания, выносимые на защиту результаты, а также перечень основных публикаций и конференций, симпозиумов, семинаров, где докладывались результаты диссертации.
Первая глава «Орбитальная эволюция больших планет Солнечной системы» содержит исторический обзор и обзор литературы по теме диссертации.
Вторая глава «Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам» посвящена обоснованию, разработке и реализации метода разложения гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем кеплеровым элементам с использованием пуаесоновского процессора PSP. Для построения решения двуиланетной задачи выбрана система координат Якоби. Предложены две системы оскулирующих элементов, близких к кеплеровым. Дано явное выражение гамильтониана JV-планетной задачи в виде ряда Пуассона. Описаны свойства коэффициентов разложения гамильтониана в ряд Пуассона по всем элементам. Указаны упрощения в важном частном случае двупланетной задачи при N = 2. С помощью пуассоновско-го процессора PSP получено два разложения гамильтониана двуиланетной задачи до второй степени относительного малого параметра: с числовыми параметрами, соответствующими системе Солнце — Юпитер — Сатурн, и с символьными параметрами для двупланетной системы с малыми эксцентри-
15
ситетами и наклонами орбит. Подтверждена состоятельность оценок пределов суммирования и числа слагаемых ряда Пуассона при заданной точности разл ожен и я гам ил ьто ниан а.
Третья глава «Построение осредненных уравнений движения слабовозмущенной двупланетной задачи» содержит описание алгоритма осредняющего по быстрым переменным преобразования Хори-Депри. Рассмотрены особенности реализации преобразований с использованием эшелонированного иуас-соновского процессора ЕР8Р. Получены разложения гамильтониана двупланетной задачи в средних элементах, производящей функции осредняющего преобразования Хори-Депри, функций замены переменных, описывающих связь между оскулнрующими и средними элементами, правых частей уравнений движения в средних элементах как с численными, так и с символьными параметрами.
Четвертая глава «Орбитальная эволюция двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн на космогонических интервалах времени» посвящена описанию метода исследования орбитальной эволюции двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн па космогоническом интервале времени 10 млрд. лет на основе численного интегрирования уравнений движения в средних элементах. Показано, что движение планет имеет почти-псриодический характер. Эксцентриситеты и наклоны орбит Юпитера и Сатурна остаются малыми, а их значения отделены от нуля. Плоскости орбит и сами орбиты обладают вековым движением. Коротко! юр иод и чес кис возмущения сохраняются малыми на всем рассмотренном интервале времени. Получено, что при численном интегрировании осредненных уравнений движения интеграл энергии сохраняется с существенно более высокой точностью, чем интеграл площадей. В свою очередь, компоненты интеграла площадей ах и (гу сохраняются с гораздо меньшей точностью, чем ^-компонента. Это — следствие представления осрсдненного гамильтониана в виде конечного отрезка разложения в ряд Пуассона по всем элементам. По этой причине описание эволюции угловых элементов орбит на длительных интервалах времени оказывается менее точным, чем для позиционных элементов. Сравнение результатов численного интегрирования осредненных уравнений движения первого (с точностью до первой степени малого параметра ц), второго (с точностью до р2) и второго улучшенного (осрсдненные уравнения движения получены с точностью до ц3, уравнения замены переменных — до р2) приближений выявило отличия в эволюции эксцентриситетов орбит и изменение характера эволюции долгот восходящих узлов орбит Юпитера и Сатурна. Разность между вторым и первым приближением имеет порядок корня из малого параметра, что свидетельствует о наличии слабого резонанса. Показано, что учет
16
членов третьего порядка слабо влияет на качественную картину движения, но необходим для правильного определения основных периодов.
Пятая глава «Орбитальная эволюция слабовозмущенных двупланетных систем» содержит описание метода исследования устойчивости по Лагранжу двупланетных систем на основе интегрирования осредненных уравнений движения с последующим возвратом к оскулирующим элементам. При исследовании устойчивости по Лагранжу двупланетной системы Солнце - Юпитер -Сатурн методом осреднения показано, что при увеличении масс Юпитера и Сатурна в 19 раз возможны тесные сближения этих планет до расстояния, меньшего сферы действия Юпитера относительно Солнца. Такие сближения должны приводить к существенным изменениям элементов орбит Юпитера и Сатурна, а возможно, и к распаду системы. При исследовании орбитальной эволюции внссолнечной планетной системы 47 IIМа показано, что система сохраняет устойчивость при увеличении масс планет в 38 раз. Полученные в ходе исследования оценки масс планет и угла наклона плоскости орбиты к картинной плоскости согласуются с результатами других авторов. На основе предложенного в работах (Соколов, 1980; Соколов, Холшевников, 1981) метода разработан алгоритм оценки ширины резонансных зон. Новизна алгоритма состоит в использовании функции замены переменных, полученной в ходе выполнения преобразований метода Хори-Депри. Предложен простотой и универсальный метод описания резонансных свойств и классификации двупланетных систем. Выполнено исследование резонансных свойств внссолнеч-ных двупланетных систем. Подробно рассмотрены особенности орби тальной эволюции двупланетной системы 47 ИМа в окрестности узких резонансных зон. Показано, что попадание системы в область перекрытия широких резонансных зон может приводить к медленной хаотизации движения. Сделан вывод, что предложенный в настоящей работе метод исследования орбитальной эволюции слабовозмущенных двупланетных систем может использоваться для изучения особенностей динамической эволюции этих систем на космогонических интервалах времени.
Заключение содержит обсуждение результатов, выносимых на защиту. Сформулированы нерешенные задачи и направления исследований, интересные по мнению автора.
Работа но теме диссертации проходила при финансовой поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований, Программы поддержки ведущих научных школ, Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Федерального агентства по образованию Министерства образования и науки Российской Федерации.
17
Автор благодарен профессору К.В.Холшевникову, под руководством которого работал со студенческих лет. Автор выражает благодарность Т.В.Ивановой, разработчику систем компьютерной алгебры PSP и EPSP. за предоставленную возможность использовать эти системы при выполнении работы, а также за консультации но эффективному применению указанных систем. Автор благодарен коллегам по кафедре астрономии и геодезии и Астрономической обсерватории Уральского государственного университета, а также коллегам по кафедре небесной механики и Hay * i но- исс л сдовател ьс кому астрономическому институту Санкт-Петербургского государственного университета, с которыми ему посчастливилось сотрудничать.
18
Глава 1
Орбитальная эволюция больших планет Солнечной системы
1.1 Задача о движении планет: от математики к физике
і
От халдеев и греков до Кеплера включительно теоретическая астрономия не имела возможности опираться на физику (ввиду неразвитости последней) и базировалась исключительно на математике. С точки зрения современного математика — специалиста по теории аппроксимации — астрономы тогда строили математические модели, в каком-либо смысле наилучшим образом представляющие наблюдения. Самое интересное, что модели эти очень похожи (с точки зрения упомянутого математика), хотя почти вся литература по истории астрономии говорит об обратном. Во-первых, каждая модель представляла движение планет на бесконечном в обе стороны интервале времени. Во-вторых, движение описывалось квазииериодической по П.Г.Болю (Левитан, 1953) функцией времени, т.е. почти-периодической по Г.Бору функцией с конечным набором базовых частот. У Птолемея, Коперника и Тихо Браге это были частоты обращения по деферентам и эпициклам. С наращиванием их числа увеличивался и частотный базис. У Кеплера он уменьшился до числа планет /V, каждая из которых обращалась вокруг Солнца со своей собственной частотой. Вопрос об устойчивости планетных орбит не стоял: в ночти-периодическом движении всё возвращается на круги своя.
Небезынтересно отметить такой парадокс. Математическая теория Кеплера, послужившая фундаментом физики Ньютона, описывает движение планет с ограниченной точностью, причем с течением времени расхождения теории и наблюдений растут до неприемлемых значений (скажем, до 180° для разности долгот). Главная причина — недостаточность базиса из N частот. Между тем совершенно нефизическая теория Птолемея - Коперника па сколь угодно большом промежутке времени отклоняется от наблюдений на сколь
19
угодно малую величину при достаточном числе эпициклов и оптимальном определении параметров. Отмеченная в эпоху Возрождения громоздкость эпициклической системы вызвана отсутствием тогда теории обработки измерений: при правильном подборе параметров и сохранении достигнутой тогда точности в одну угловую минуту число эпициклов можно сократить в несколько раз (Холшсвников, 1994). Но стал бы тогда Кеплер искать свой (кеплеровский!) эллипс?
Начиная с Ньютона задача о движении планет приобрела твердую физическую основу: теорию гравитации. Математической моделью стала система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) порядка 61У, где N — число планет. Последующие три столетия не изменили основного характера модели. Полный учет приливных взаимодействий п эффектов ОТО осуществляется с помощью уравнений более сложных, чем обыкновенные дифференциальные. Но в силу малости этих эффектов описания в терминах ОДУ достаточно. Например, в ОТО с точностью до (у/с)л « 10“15 включительно движение может быть описано гамильтоновой системой ОДУ. Здесь у — скорость Меркурия, с — скорость света.
С XVIII и до середины XX века вес нужные для практики теории движения планет строились методом малого параметра с несущественными вариациями. Эйлер, Лагранж, Пуассон, Леверрье, Делоне предпочитали брать за фазовые переменные оскулирующие элементы, тогда как Клеро, Андуайе, Энке, Ганзен, Хилл, Ньюком — координаты и скорости (последние, впрочем, не входят в правые части уравнений при учете лишь ньютоновского притяжения). Лаплас внес значительный вклад в оба равноправных подхода к описанию фазового пространства (Субботин, 1908). Мы остановимся лишь на первом. Оскулирующие элементы орбит планет делятся на две группы: вектор медленных X = (й’1,Х2, • . . ,^лг1) и быстрых у = (т/1, 7/2» • • • , уN2) переменных, удовлетворяющих уравнениям движения
х = 11/{х,у,ц), у = ы(х)+цд{х,у,ц). (1.1)
Здесь /г —малый параметр, отношение массы Юпитера к массе Солнца; /, д — гладкие функции. Переменные х называются медленными, поскольку в невозмущенном движении (при р = 0) скорость их изменения тождественно равна нулю. Таковы а, е, г, П, 7Г — большая полуось, эксцентриситет, наклон, долгота узла и долгота перицентра, а также любые функции от этих величин. За быстрые переменные у обычно берут равномерно (при д = 0) растущие углы типа средней аномалии или сродней долготы, и тогда средние движения ш, в механике называемыми частотами, зависят только от больших полуосей.
20
13 методе малого параметра решение (1.1) представляется рядами
оо
оо
х = х0 + ^2цпхп(і), У = Уа{і) + '52і*пУп{і)- (1.2)
Здесь то постоянна, а уо — линейная функция времени (решение (1.1) при у, = 0). Алгоритм нахождения первого приближения (ть у\) построен еще Ньютоном. В деталях алгоритмы определения произвольного приближения (хп. уп) разработаны А.МЛяпуновым и А.Пуанкаре (Малкин, 1966). Ими также описаны важнейшие свойства решения (1.2). В частности, доказана равномерная сходимость рядов (1.2) при —Т ^ Ь < Т, |ц| < /Д) для произвольного Т и достаточно малого до- Поэтому метод малого параметра часто именуют методом Ляпунова- Пуанкаре. Конструктивная оценкаТ как функции от до получена в (Холшевников, 1985). Для систем общего вида можно положить
где через С с различными индексами мы будем обозначать постоянные величины. Для решений, удовлетворяющих условиям теоремы Лагранжа-Лапласа о неизменности больших полуосей (см. следующий раздел) оценка улучшается
Лучшая по сравнению с (1.4) оценка может существовать лишь в исключительных случаях.
Таким образом, методом Ляпунова - Пуанкаре можно сколь угодно точно (точность ограничивают лишь погрешности измерений) представить движение планет на временах в десятки тысяч лет, но времена в миллионы лет принципиально недоступны этому методу.
В XIX веке появляются работы, аналитически описывающие в первом и втором приближении эволюцию на космогонических временах. Крупнейший вклад внесли Лагранж, Лаплас, Гаусс, Пуассон, затем Линдстедт и Пуанкаре (Субботин, 1968). В XX веке на этой основе развивается метод осреднения. В последней трети века появляются мощные аналитические и численные методы, позволившие существенно продвинуться в описываемой области небесной механики. Подробнее об этом — в следующих разделах.
1.2 Теория Лагранжа—Лапласа
Для качественного описания орбитальной эволюции на космогонических
временах Лагранж, Лаплас и позднее Гаусс предложили метод исключения
21
(1.4)