Развитие методов исследования качественных свойств траекторий уравнений небесной механики

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.................................................................. 5
Глава 1. Некоторые вопросы об устойчивости движения...................... 38
§1. Устойчивость в смысле Ляпунова инвариантного множества траекторий . 39 §2. Замена переменных и теорема о сохранении устойчивости в смысле Ляпунова .................................................................. 42
§3. Структура устойчивого в смысле Ляпунова минимального аттрактора 43
§4. Достаточный признак неустойчивости многопараметрического семейства
периодических движений................................................... 48
§5. Существование неустойчивого в смысле Ляпунова семейства периодических движений в ньютоновой задаче трех тел............................... 51
§6. Нссохранение асимптотической устойчивости в целом состояния равновесия при малых возмущениях.............................................. 56
§7. Критерий асимптотической устойчивости состояния равновесия механической системы .......................................................... 65
§8. Неустойчивость в смысле Ляпунова состояния равновесия по первому
приближению............................................................ 67
§9.Коэффициентные признаки асимптотической устойчивости
нестационарного линейного уравнения...................................... 68
Глава 2. Некоторые вопросы о прочности траекторий уравнений небесной механики ............................................................ 74
§1. Орбитальная устойчивость полутраектории ............................. 75
§2. Прочность полутраектории в смысле Жуковского......................... 81
§3. Теоремы о существовании ортогональной репарамстризации............... 86
§4. Связь прочности полутраектории в смысле Жуковского с орбитальной устойчивостью ее положительной полуоболочки................................ 92
§5. Обобщение теоремы Луанкаре-Бендиксона................................ 93
§6. Орбитальная устойчивость эллиптической периодической траектории гамильтоновой системы...................................................... 97
§7. Теорема о прочности в смысле Жуковского траекторий уравнений небесной механики............................................................. 98
2
§8. Исследование асимптотической орбитальной устойчивости периодической орбиты с помощью ассоциированных уравнений первого приближения 102 §9. Исследование асимптотической прочности периодической орбиты методом последовательных приближений......................................... 105
§10. Обобщение понят ия орбитальной устойчивости траектории. Прочность в
смысле Пуанкаре полуоболочки движения.................................... 107
§11. О построении зон геометрической прочности и непрочности в задачах
небесной механики ОКФ-методом............................................ 120
§12. О построении зон геометрической прочности и непрочности в задачах
небесной механики ОФС-методом............................................ 125
Глава 3. Алгоритмы упрочнения решений в задачах небесной механики . 130
§ 1. Задача об упрочнении решений........................................ 131
§2. Регуляризация уравнений и упрочнение решений......................... 132
§3. Упрочнение ксплеровых решений с помощью временного элемента 142
§4. Упрочнение решений в возмущенной задаче Кеплера с помощью аномалий ..................................................................... 150
§5. Упрочнение решений в задаче трех и многих тел путем замены лагранжиана ................................................................... 155
§6. Упрочнение решений гамильтоновой системы с помощью перехода к переменным “действие - угол” ............................................. 158
Глава 4. Развитие качественных методов исследования прочности траекторий в смысле Жуковского.............................................. 163
§1. Уравнение возмущенной траектории и уравнение в вариациях Жуковского ...................................................................... 164
§2. Принцип сведения задачи о прочности траектории к задаче об устойчивости движения............................................................. 166
§3. Редукция «-мерного уравнения в вариациях Жуковского к эквивалентному (л-1)-мерному уравнению .............................................. 168
§4. Асимптотическая прочность и непрочность траектории по первому приближению ................................................................ 170
§5. Асимптотическая прочность траекторий на базе показателей прочности . . 175 §6. Коэффициентные признаки асимптотической прочности и непрочности траекторий............................................................... 182
§7. Теоремы о прочности траекторий на базе функций Ляпунова .......... 186
§8. Теоремы об асимптотической прочности траекторий на базе свойств якобиана .................................................................. 193
§9. Локализация прочных траекторий методом сопровождающего координатного полиэдра........................................................ 205
§10. Прочность в смысле Жуковского траекторий голономных консервативных систем с гладкими связями .......................................... 218
§11. Усреднение на бесконечном интервале на базе асимптотической прочности движения в смысле Жуковского........................................ 226
Глава 5. Асимптотические, геометрические и устойчивоподобные свойства решений в задаче многих тел........................................ 228
§1. Ньютонова и обобщенная математическая модели задачи многих тел небесной механики ........................................................ 229
§2. Качественные свойства движений в обобщенной модели задачи многих
тел Ю.Д.Соколова ....................................................... 232
§3. Геометрические свойства интегральных множеств в обобщенной модели
задачи многих тел....................................................... 235
§4. Геометрические свойства интегральных множеств в ньютоновой модели
задачи многих тел....................................................... 241
§5. Асимптотические свойства движений в обобщенной модели задачи многих тел Ю.Д.Соколова ................................................... 243
§6. Исследование качественных свойств решений обобщенным прямым методом Ляпунова.......................................................... 251
§7. Прочность траекторий в смысле Жуковског о в ньютоновой задаче многих
тел..................................................................... 256
§8. Прочность по первому приближению правильной конфигурации относительных состояний равновесия в задаче УУтел равной массы ............... 259
§9. Теоремы об устойчивости в смысле Пуассона в задаче многих тел 265
Заключение.............................................................. 267
Список литературы ...................................................... 270
4
ВВЕДЕНИЕ
Обзор устойчивоподобных понятий, результатов и методов качественной небесной механики, относящихся к теме диссертации
Начиная с Л.Пуанкаре [841, [85], качественным изучением решений векторных уравнений вида
-у-= £(■*). g'D->R", £>cR”, (I)
at
получивших название динамических уравнений, или уравнений иебесно-механического типа [35], занимались многие исследователи [9], [12], [22]—[35],
[37]-[40], [45], [46], [62], [69], [77], [81], [89], [91], [1021- [109], [133], [136], [137], [144], [153], [ 157]—[ 159], [161], [162], [ 178]—[ 180], [190]. Независимую переменную / в (1) можно интерпретировать как время, а переменные Х\рс2>—>*« “ как координаты движущейся точки в ц-мерном пространстве R’. Предположим, что правая часть уравнения (1) непрерывна в рассматриваемой области DcR" и удовлетворяет в ней некоторым условиям, обеспечивающим единственность решения.
Хорошо известно, что уравнения (1) при дополнительных условиях порождают динамические системы в смысле Биркгофа [12]. Динамической системой в смысле Биркгофа называется однопараметрическая группа (р(/,/?), где /eR=(-co,+co), преобразований пространства R” на себя, удовлетворяющая условиям: 1) y(t,p)=p (начальное условие), 2) ф(Лр) непрерывна по совокупности переменных (/,/?),
3) ф(6>ф(*2.я))=ф(6+*2эР) (свойство группы). Если феС^, г>1, то динамическая система называется гладкой. Отображение при фиксированном р называется
движением, а при фиксированном / - переносом вдоль траектории; при фиксированном р множество точек (ф(/^?): /еR} будем называть траекторией этого движения и обозначать через С(р). Аналогично множества (ф(6/э): teK } и
(ф(/,/;): /gR > называются положительной и отрицательной полутраекториями и обозначаются через <?{р) и С (/?). Множества Н(р) = С(р), Н*(р) = С*(р) и
Н~ (р) - С"(р) называются соответственно оболочкой, положительной иолуобо-лочкой, отрицательной полуоболочкой движения динамической системы.
Основоположникам геометрической (качественной) теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости движения А.Пуанкаре [84], [85], Н.Е.Жуковскому
[38], [39], А.МЛяпунову [59], [60], И.Бендиксону [133], Дж.Биркгофу[12] принадлежат фундаментальные результаты и методы исследования, положившие начало дальнейшим исследованиям как в России, так и за рубежом.
Современные методы качественной небесной механики базируются на достижениях геометрической теории динамических систем, теории устойчивости движения, теории нелинейных колебаний, КАМ-теории. Фундаментальный вклад в развитие названных теорий внесли А.Н.Колмогоров, Н.М.Крылов, H.H.Боголюбов, Н.Г.Четаев, В.В.Румянцев, Н.Н.Красовский, Е.А.Барбашин, В.И.Зубов, Н.П.Еругин, В.В.Степанов, В.В.Немыцкий, И .Г. Петровский, А.Л.Андронов,
Ю.А.Митроиольский, А.М.Самойленко, Е.А.Гребеников, Ю.А.Рябов, В.В.Козлов,
В.М.Матросов, В.И.Арнольд, М.Г.Крейн, И.Ьсндиксон, Дж.Биркгоф, ПЛенлеве, О.Перрои, Т.Леви-Чивита, Ф.Хартман, С.Лефшец, Т.Иосидзава и другие ученые. Существенное развитие качественные методы Ляпунова, Пуанкаре и Жуковского получили в работах названных ученых, а также в работах Г.Н.Дубошина, Н.Д.Моисеева, М.III. Аминова, Ю.Д.Соколова, Г.Ф.Хильми, В.Г.Дсмииа, E.1I.Аксенова, A.C.Галиуллина, Р.Г.Мухарлямова, В.М.Ллексесва, А.П.Маркеева, И.А.Герасимова, Ю.С.Богданова, Б.П.Демидовича, Г.А.Леонова, Ю.В.Малышева, Т.Ура, Н.Бхатиа, К.Зундмана, Ж.Шази, Д.Саари, К.Маршала, Дж.Баумгарте,
В.Себехся и других ученых.
Тридцатые и сороковые годы нашего столетия были ознаменованы плодотворной деятельностью двух крупных научных школ: научной школы ГАИШ (В.В.Степанов, Н.Д.Моисеев, Г.Н.Дубошин, Н.Ф.Рейн и другие) и казанской научной школы (Н.Г.Четаев, К.П.Персидский, И.Г.Малкин, Г.В.Каменков, М.Ш.Аминов и другие). Ученые этих школ внесли существенный вклад в развит ие теории устойчивости Ляпунова и теории прочности траекторий уравнений небесной механики. В частности, М.Ш.Аминов продолжил исследование Н.Е.Жуковского о прочности траекторий движения механических систем с конечным числом степеней свободы, а В.В.Степанов, Н.Д.Моисеев и Г.Н.Дубошин и другие получили важные результаты по теории устойчивости в целом, поперечной и продольной устойчивости, орбитальной устойчивости, но методу контактных характеристик, по ограниченным проблемам двух и трех тел. Возникшие в более поздний период научные школы по качественной теории, теории устойчивости и теории нелинейных колебаний в Москве, Киеве, Свердловске (ныне Екатеринбург), Минске, Ленинграде (ныне Санкт-
6
Петербург), Самарканде, Горьком (ныне Нижний Новгород) внесли дальнейший крупный вклад в развитие названных теорий.
Изучение фазового портрета траекторий в окрестности особой точки на плоскости (случай п~2) впервые проведено Н.Е.Жуковским [39) и А.Пуанкаре[84], а затем их исследования продолжили И.Бендиксон [133] и многие другие ученые. Исследование фазового портрета траекторий в окрестности особой точки при любом п проводилось А.Пуанкаре 184], Э.Пикаром (см.[77]), Л.М.Ляпуновым [59], Ж.Адамаром [126], О.Перроном (см.[77]), И.Г.Петровским [81], В.В.Немыцким [73] и другими учеными.
Изучение окрестности особой точки при любом п с точки зрения устойчивости в смысле Ляпунова существенно продвинуто учеными Казанской научной школы (Н.Г.Четасв [111]—[113], К.П.Персидский [80], И.Г.Малкин [61], Г.В.Каменков [43]), Горьковской научной школы (А.А.Андронов и А.А.Витт [5]), научной школы ГАИШ (В.В.Степанов [77], [101], Н.Д.Моисеев [67]-[69], Г.П.Дубошин [32]-[34], Н.Ф.Рейн [86]), научной школы В.В.Степанова и В.В.Немыцкого (Б.П.Демидович [31], А.Ф.Филиппов (см.[77]), Ю. В. Малышев [62], Р. Э. Виноград (см.[77]), Ю.К.Солнцсв (см.[77]), Д.М.Гробман [17], A.A.Шестаков [114], [115], И.П.Папуш [79],М.Б.Кудаев [51 ]), Ленинградских научных школ (A.A.Марков [159], В.И.Зубов [40], В.А.Плисе [82]).
Приведем некоторые результаты качественных исследований Дж.Биркгофа и его последователей. Дж.Биркгоф [12] положил основание общей теории динамических систем, выделив в них центральные и рекуррентные движения. Он продолжил качественные исследования А.Пуанкаре и наряду с Н.Е.Жуковским,
А.М.Ляпуновым и А.Пуанкаре явился основоположником качественной теории динамических систем.
Приведем определение устойчивости движения в смысле Лагранжа. Движение ф(/,р) называется положительно (отрицательно) устойчивым в смысле Лагранжа, если полуоболочка НУ{р) (полуоболочка /7 (р)) является компактным множеством. Движение, одновременно положительно и отрицательно устойчивое но Лафанжу, называется устойчивым в смысле Лагранжа. 13 работах Дж.Биркгофа и его последователей рассмотрены односторонне и двусторонне устойчивые в смысле Лагранжа движения.
7
Важные результаты в области качественной теории динамических систем получены В.В.Исмыцким [73]—[771- Он ввел понятие седла в бесконечиости[11] уравнения (1) и установил, что для того чтобы динамическая система в смысле Биркгофа могла быть топологически отображена на семейство параллельных прямых, необходимо и достаточно, чтобы она была неустойчивой в том смысле, что ни одна положительная и ни одна отрицательная полуоболочка движения не содержится в некотором компактном множестве, и чтобы динамическая система не имела седла в бесконечности.
Исключительное значение в небесной механике имеют движения, устойчивые в смысле Пуассона. Движение называется устойчивым в смысле Пуассона, если, каковы бы ни были 7>0 и є>(), движение возвратится в е-окрестность своего начального положения как для положительных, гак и для отрицательных значений /', удовлетворяющих неравенству |Ґ\>Т.
Среди движений, устойчивых в смысле Пуассона, особо важную роль играют рекуррентные двіоісения. Рекуррентное движение есть такое движение, в котором каждая точка возвращается в свою окрестность в течение промежутка времени 7', общего для всех точек траектории.
С рекуррентными движениями тесно связано понятие о минимальных множествах. Множество А называется минимальным, если оно непусто, замкнуто и инвариантно, причем никакое истинное его подмножество не обладает этими свойствами. Всякое движение минимального множества является рекуррентным и всякое рекуррентное движение принадлежит некоторому минимальному множеству. Простейшими случаями минимальных множеств, состоящих из одного движения, являются состояние равновесия и периодическое движение. Если же минимальное множество А содержит более одного движения, то оно содержит континуум рекуррентных движений, каждое из которых всюду плотно в А. Значение минимальных множеств для динамических систем определяется следующими двумя результатами Дж.Биркгофа: всякое инвариантное компактное множество движений М содержит по крайней мере одно минимальное множество; для всякого такого множества М и для любого є>0 можно найти такое число 7’, что дуга любого движения, принадлежащего М, соответствующая интервалу времени от і до /+Г, содержит точки, находящиеся на расстоянии меньше є от некоторого рекуррентного движения. Следовательно, все движения, устойчивые в смысле Лагранжа хотя бы в одну сторону, не
могут в сторону их устойчивости находиться произвольно долго вдали от рекуррентных движений.
Множество центральных движений {центр) определяется как замыкание множества всех устойчивых в смысле Пуассона движений. Среди рекуррентных движений можно выделить класс почти периодических движений. В рекуррентных движениях возвращение каждой точки в окрестность своего начального положения имеет относительно равномерный характер; в почти периодическом движении имеет место относительно равномерное возвращение всего движения в окрестность уже пройденного пути. Движение ф(/„р) называется почти периодическим, если для любого е>0 существует такое />0, что в каждом промежутке (а,а+/) длины I имеется число т, обладающее свойством: р[ф(Н%р)-ф(/,р)]<х \//еК. Всякое почти периодическое движение принадлежит некоторому минимальному множеству, все остальные движения которого имеют тот же почти периодический характер. Для изучения почти периодичности устойчивого в смысле Лагранжа движения ф(Л/?) в [159] предложены 8-свойство: для каждого е>0 можно найти такое 5>0, что из неравенства р[ф(р,б)> ф(р,б)]<5 следует неравенство р[ф(б+/,/?), ф(р,/гИ)]<ъ и
£+ -свойство: последнее неравенство выполняется для всех />0, и движение отрицательно устойчиво в смысле Лагранжа. А.А.Марков [159] доказал, что для почти периодичности необходимо и достаточно выполнения ^-свойства (или аналогичного 5""-свойства) и установил связь между почти периодичностью и 1+я -
устойчивостью относительно множества В: точка р называется положительно -
устойчивой относительно множества В (символ Ь+в), если для всякого числа е>0
можно найти такое число 5>0, что для каждой точки цаВ такой, что р(/л</)<5, выполняется неравенство р[ф(Лр), ф(/,<7)]<8 У/еЯ . Если В инвариантно, то множество точек, устойчивых также инвариантно; в этом случае, если точка р является
7,^-устойчивой, то движение ф(/,/?) называется 1В-устойчивым. А.А.Марковым
доказано, что если в компактном инвариантном множестве В все движения 1+в-устойчивы, то множество В устойчиво в смысле Ляпунова. Б.В.Степанов [77] установил, что если все траектории динамической системы в Я” устойчивы в смысле Ляпунова, то возможно одно из двух: либо система гомеоморфна семейству параллельных прямых, либо все ее движения являются почти периодическими. Кроме
того, он дал топологическую характеристику оболочки почти периодического движения.
Квазипериодические, или условно периодические функции, имеющие конечный частотный базис, являются частным случаем почти периодических функций, которые имеют бесконечный частотный базис. В задачах небесной механики квазипериоди-ческим называется такое решение, в котором позиционные переменные (большая полуось, эксцентриситет, наклонность и др.) выражаются квазипериодическими функциями, а угловые переменные (долгота перицентра, долгота узла, средняя аномалия и др.) выражаются в виде суммы “и/ + квазипериодическая функция”, где п -среднее угловое изменение для данной переменной. В соответствии со свойствами квазипериодических функций движение по орбите, соответствующей кв&зимериоди-ческому движению, происходит в компактном множестве пространства и обладает тем свойством, что через определенные интервалы времени тело возвращается сколь угодно близко к любой внутренней точке этого множества. Вопросы существования и построения квазипериодических решений в небесной механике рассмотрены Е.А.Гребсниковым и Ю.А.Рябовым в [28].
Во многих задачах небесной механики динамические уравнения (1) обладают интегральным инвариантом [85], [45], [77]. Основное свойство уравнений (1), обладающих интегральным инвариантом, сформулировано А.Пуанкаре и носит название “теоремы возвращения”. А именно, если рассмотреть движения, обладающие интегральным инвариантом и заполняющие компактную область М из R", то в случае наличия интегрального инварианта почти все движения будут устойчивыми в смысле Пуассона, а множество Мбудет центром.
Исследования устойчивости в смысле Ляпунова [59] применительно к небесномеханическим уравнениям отражены в [1], а также в работах А.А.Маркова [159], Г.Н.Дубошина [32]—[35], В.В.Румянцева [87], [88], [90], А.П.Маркссва [63], Е.А.Гребеникова [25]—[29], В.Ссбехея [94], Дж.Хагихара [153] и других работах.
В докторской диссертации А.М.Ляпунов [59] поставил и разрешил общую задачу об устойчивости движения. В ней А.М.Ляпунов предложил два метода решения задач об устойчивости. К первому методу относятся вес те способы решения, которые приводят к непосредственному исследованию возмущенного движения и в основании которых лежит разыскание общих или частных решений дифференциально-го уравнения возмущенного движения dx/dt = g{t, х), х eR*. Эти решения при-
ходится, вообще говоря, искать в виде бесконечных рядов по целым положительным степеням произвольных постоянных или же рядов другого типа. Здесь основным методом, восходящим к А.М.Ляпунову и А.Пуанкаре, является следующий метод сравнения. Рост нормы |х(/)| решения *(/) при /—>+оо определяется по шкале ростов, заданной семейством функций е'\ и за индекс принимается число X, называемое характеристическим показателем решения. Вместо исследуемой системы с1хМ^^,х) рассматривается система с1у/с1!=Р'((,у) (называемая системой первого приближения), для которой известно асимптотическое при г->со поведение решения и исследуемая система рассматривается как возмущенная добавлением к И(1,у) вектор-функции Д*,л-)::=£(*,*) - Л^х). При некоторых свойствах системы первого приближения и достаточной малости Д Г,х) часто удается получить информацию о поведении решений возмущенной системы и о соотношениях между показателями решений [17] обеих систем.
Второй (прямой) метод - метод вспомогательных функций - основывается на рассмотрении некоторых непрерывных функций К(/,х) переменных Х=(*Ь—,*л) и времени {, обращающихся в нуль при х=0 и удовлетворяющих определенным условиям. Второй метод оказался эффективным методом исследования не только устойчивости, но и методом исследования геометрической картины и асимптотических свойств траекторий, если использовать так называемые обобщенные функции Ляпунова. Основы второго метода выражены в полученных А.М.Ляпуновым четырех теоремах: теоремы об устойчивости, теоремы об асимптотической устойчивости, первой теоремы о неустойчивости, второй теоремы о неустойчивости [59]. [89], [91].
С помощью второго метода А.М.Ляпунов решил задачу об устойчивости по первому приближению, независимо от членов высшего порядка в функциях gs(t9X\,...9x„); сам А.М.Ляпунов в решении этой задачи видел свое главное достижение. В ряде критических (сомнительных) случаев, когда первое приближение не решает вопроса об устойчивости, А.М.Ляпунов дал решение задачи об устойчивости движения.
А.М.Ляпуновым рассмотрены следующие пять основных понятий устойчивости движения: 1) понятие устойчивости, 2) понятие асимптотической устойчивости, 3) понятие условной устойчивости, 4) понятие неустойчивости, 5) понятие абсолютной неустойчивости.
Приведем определение понятия устойчивости в смысле Ляпунова в формулировке Н.Г.Четаева [112].
0\. Если при всяком заданном числе А, как бы оно мало ни было, может быть выбрано число Х>0 гак, чтобы при всяких возмущениях хю,...,хло» удовлетворяющих неравенству х20 + + х^0 £ X, и при всяком /, превосходящем /0, выполняется
2 2
неравенство х} + ••• + хп < А , то невозмущенное движение устойчиво в смысле Ляпунова, в противном случае - неустойчиво в смысле Ляпунова.
Перейдем теперь к следующим модификациям понятия устойчивости в смысле Ляпунова, используемых в небесной механике [ 155[.
02. Пусть /оеЯ1 - произвольно, но фиксировано. Решение х=х(/), х(0)=х0 уравнения (1) называется двусторонне устойчивым в смысле Ляпунова относительно множества В, если С(х{))аВ и для каждого б>() существует 5=5(е)>0 такое, что |х(/)-у(0|<г, /еЛ, еслиЯОе# У/еЛ и |х(/0)-у(/0)| < б.
Оу Решение х=х(/), х(0)=х0 уравнения (1) называется строго двусторонне устойчивым в смысле Ляпунова относительно множества В, если С(хд)с:В и для каждою е>0 существует 5=5(е)>0 такое, что |х(/)-у(0| < е, /еЛ, еслиу(1)еВ V/ е Л и
неравенство |х(/0) -уЧ0)| < 5 имеет место для некоторого значения /()€Л.
О у Решение х(1,р) называется двусторонне почти устойчивым в смысле Ляпунова, если оно определено при всех /6Я и если для каждого е>0 существуют измеримое положительной меры множество АаВ{р,8) и число Т>0, такое, что для с/еА и для всех /е Л можно найти /1 так, чтобы </(х(л ч), х(г,, /;)) < е, \Ы\\<Т.
В определениях (?2 и 03 число б зависит не только от числа е, но и также от выбора изучаемого решения. Из определений 02 и 03 следует, что строго двусторонне устойчивое решение является двусторонне устойчивым в смысле Ляпунова. Но обратный факт не имеет место. При А=В(р,Ъ) и Т-0 в определении 04 имеет место двусторонняя устойчивость в смысле Ляпунова.
Рассмотрим скалярное уравнение х=соз2х и пусть В= {-п/2<х<п/2}. Уравнение имеет решения х=л/2, х=-п!2, х=агс1§(/- ?), где ( - произвольное число. Множество В компактно и инвариантно. Легко проверить, что любое решение х=х(/)=агс^(7- \) устойчиво в смысле Ляпунова относительно В. По уравнение не имеет строго ус-
12
тойчивых в смысле Ляпунова решений относительно В в силу наличия свойства jc(/)—>7т/2(—7т/2) При /—>+со(-со). Для того чтобы решение х(() было сторого устойчивым относительно В, необходимо, чтобы выполнялось неравенство lim inf|y(/) - л(/>] > 0 при /->+оо для каждого решения в В Д;,я вссх Л
В [155] показано, что 1)если В есть оболочка движения x=x(t) и В компактно, то решение *(/) уравнения (1) строго устойчиво в смысле Ляпунова относительно В тогда и только тогда, когда x(t) почти периодично (в смысле Бора). Обычная устойчивость в смысле Ляпунова не гарантирует свойства почти периодичности. Это следует из рассмотренного выше примера, где каждое решение x(0=arctg(f-1 ) уравнения плотно на множестве В: -п!2<х<,п!2\ 2)плотпос на В решение уравнения (1) строго устойчиво в смысле Ляпунова относительно В тогда и только тогда, когда оно почти периодично (в смысле Нора), причем в этом случае каждое решение в В почти периодично. Из 2) следует, что если плотно лишь одно решение и оно строго устойчиво на В, то то же самое справедливо для всех решений из В.
В [164], [165] доказано, что 1) если устойчивое в смысле Лагранжа решение x(t) уравнения (1) двусторонне устойчиво в смысле Ляпунова и уравнение (1) обладает интегральным инвариантом, то оно почти периодично в смысле Бора. Это утверждение несправедливо, если для уравнения не выполнено условие divg=0. В самом деле, например, все решения вида x=arctg(/+c) уравнения x=cos2x устойчивы в смысле Ляпунова, но не почти периодичны. Утверждение также несправедливо, если опустить требование устойчивости в смысле Лагранжа;
2) если положительно (отрицательно) устойчивое в смысле Лагранжа решение уравнения (1) положительно (отрицательно) устойчиво в смысле Ляпунова и это уравнение обладает интегральным инвариантом, то решение двусторонне устойчиво в смысле Ляпунова и почти периодично;
3) если уравнение (1) обладает интегральным инвариантом и решение x(t) положительно слабо орбитально устойчиво и положительно устойчиво в смысле Ла-гранжа, то решение устойчиво в смысле Лагранжа и положительно устойчиво в смысле Пуассона;
4) если уравнение (1) обладает интегральным инвариантом и решение уравнения (1) положительно устойчиво в смысле Лагранжа и двусторонне почти устойчиво в смысле Ляпунова, то это решение рекуррентно;
13
5) если решение уравнения (1) удовлетворяет условиям утверждения 4) и положительно устойчиво в смысле Ляпунова относительно полутраектории то оно почти периодично.
Большой вклад в теорию устойчивости А.М.Ляпунова был внесен
В.В.Румянцевым и его учениками [92]. В.В.Румянцев является основоположником важного самостоятельного направления в теории устойчивости движения - теории устойчивости движения по отношению к части переменных. Хотя постановка задачи о частичной устойчивости и принадлежит А.М.Ляпунову, но сам он не занимался этой задачей. Пусть задана система дифференциальных уравнений вида
д:=/(/, х, у), у = £(/,*,у), (2)
где/: К+х£)хКт—g: К*хОхКт->Кт и О - область в Я", содержащая начало.
0$. Предположим, что.Д/,0.0)=£(/А0)=0 для всех и функции/и ^ таковы, что через каждую точку множества Г<.+х^хЦм проходит единственное решение системы. Пусть г=(х,у)еК''где лит- целые положительные числа. Обозначим через у(^,/о»го)) решение системы (2), начинающееся в точке г0 в
начальный момент /0- Решение г=0 системы (2) называется положительно устойчивым относительноХ\,...,х„п или, короче,х-устойчивым, если для любых £>0 и /О^0 существует число 8=8(с,/0)>() такое, что из |г0|<5 следует, что д(/,/0^о)<с
Приведем одну из теорем В.В.Румянцева [92], [98]: если существует функция /7:11+х£)хКЛ->К класса С’1 такая, что для некоторой функции Хана а и любых значений (г,х,у)єЯчх/9хК"’ выполнены условия:* У(!,х.у)>а(\х\), Р(/Д0)=0; У(г,х,у)<0, то решение 2=0 системы (2) положительно устойчиво по отношению к х. Теорема
В.В.Румянцева обобщает теорему Ляпунова об устойчивости, в которую она переходил при т-п.
Проведенные исследования показали большое методологическое сходство в изучении вторым методом полной устойчивости (по всем переменным) и частичной устойчивости (по части переменных). Однако в решении ряда аналогичных вопросов применительно к задачам полной устойчивости и частичной устойчивости имеются определенные различия. Установлен принцип [92], позволяющий сводить исследование задачи частичной устойчивости к задаче исследования полной устойчивости некоторой вспомогательной системы, и наоборот: исследование задачи полной устойчивости сводить к задаче исследования частичной устойчивости для вспомогательной системы. Два типа устойчивости (полная и частичная) тесно свя-
14
заны между собой и взаимно дополняют друг друга при решении прикладных задач.
Рассмотрим теперь понятие устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях. Эго понятие введено Г.Н.Дубошиным [32] и очень важно для задач небесной механики. Устойчивость в смысле Ляпунова означает, что рассматривается устойчивость относительно мгновенно действующих возмущений. Однако реальная физическая система, например, планетная система, находится под постоянным воздействием небольших возмущающих сил, учесть которые при составлении уравнения движений практически невозможно. Поэтому исключительно важное значение имеет изучение устойчивости рассматриваемог о движения относительно постоянно действующих возмущений. Это значит, что надо рассматривать изменения не только начальных условий, но изменение и самих уравнений движения. Сам А.М.Ляпунов не занимался изучением влияния малых возмущающих сил на устойчивость движения. Такая задача рассмотрена в работах Н.Г.Четаева [111], Г.Н.Дубошина [32], Н.Л.Артемьева [8] и других ученых. Наряду с уравнением вида
(1) рассмотрим возмущенное уравнение ^ = £(х) + 7?(/, х), где К(1,х) - некоторая
ш
неизвестная вектор-функция, характеризующая возмущение силы, относительно которой известно лишь то, что она достаточно мала и удовлетворяет условию, обеспечивающему существование движений в окрестности невозмущенного движения.
0(}. 11евозмущеннос движение х=ф(/) уравнения (1) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях или устойчивым при 11ДВ, если для каждого числа е>() существуют два других числа б^б^е^О и б2=б2(т;) таких, что каждое решение х=ф(/) возмущенного уравнения, удовлетворяющее при (=1о неравенству М^оНН'оЖ^ь удовлетворяет при />/0 неравенству |\|/(/)-ф(0|<Е, какова бы ни была вектор-функция /?(/,*), удовлетворяющая на множестве |эс—ф(/)|<5} неравенст-
ву |Я(/,х)|<52.
Важность понятия устойчивости при ПДВ проиллюстрируем на рассмотрении проблемы трех тел. Пусть под действием Солнца т\ и Юпитера т2 движется астероид /из. Предположим, что массы Солнца, Юпитера и астероида соответственно равны 1, т, 0, а движение Юпитера круговое. Тогда уравнения движения астероида во вращающихся осях, отнесенных к центру инерции тх и тъ можно записать в
постоянная
.. . . <)U .... bU ^
виде x - 2ay = —, у + 2ах - —, где а - угловая скорость Юпитера относительно дх ' By
1 ( л Л
17 7 9 71 1 ^ 1
неподвижных осей координат, U - —а (х + у ) + +к — + — > к -
2 ^ r2J
тяготения, /*| и г2 - расстояния астероида от Солнца и Юпитера соответственно. Отбросим в правых частях уравнений члены, происходящие от действия Юпитера, то есть положим т-0. Таким образом придем к задаче двух тел. Если соот-
ветствующая эллиптическая орбита астероида /щ (т.е. траектория изображающей точки (хуу,х,у) в четырехмерном пространстве) оказалась бы устойчивой при ПДВ (здесь устойчивость при ПДВ рассматривается по отношению к специальному типу возмущений, происходящих от Юпитера), то это значит, что при достаточно малой массе т Юпитера возмущенная орбита астероида ш3 при всех />0 будет лежать в любой сколь угодно малой окрестности невозмущенной эллиптической орбиты. Более того, если на астероид пц будут действовать возмущения от каких-либо других планет достаточно малой массы, движение которых при всех значениях />О совершается но орбитам, достаточно удаленным от Солнца, то в случае устойчивости при ПДВ возмущенная орбита астероида также будет находится в сколь угодно малой окрест ности невозмущенной эллиптической орбиты.
Задача теории устойчивости Ляпунова заключается в исследовании заданного невозмущенного движения, которое позволило бы установить, каким из перечисленных свойств устойчивости обладает исследуемое невозмущенное движение. В силу того, что дифференциальные уравнения в общем случае не интегрируются в конечном виде, то А.М.Ляпунов поставил главной задачей нахождение таких способов, которые позволяли бы решать задачу в иеинтегрируемом случае. Совокупность этих способов и составляет общую теорию устойчивости движения, созданную А.М.Ляпуновым [59] и дополненную трудами отечественных и зарубежных ученых [5], [8], [9], [11]—[13], [17], [18]- [20], [22]-[24], [26], [30], [32], [36], [37], [40], 143], [44], [50], [52], [61]-[63], [70], [71], [77], [80], [87]-[93], [109], [112]—[115], [119], [121], [137], [144], [147], [154], [159], [160], [178], [190] и др.
Основы теории прочности траекторий а смысле Жуковского заложены в докторской диссертации Н.Е.Жуковского “О прочности движения” (38). Наряду с А.Пуанкаре и А.М.Ляпуновым Н.Е.Жуковский является основоположником качественных исследований дифференциальных уравнений [38], [39]. Общую задачу о
прочности траекторий уравнений первого приближения поставил и в ряде случаев разрешил Н.Е.Жуковский в работе [38]. Чтобы дать определение прочности движения, Н.Е.Жуковский рассматривает, как и В.Томсон и П.Тет [176], основное движение системы и наряду с ним гак называемое возмущенное движение. Н.Е.Жуковский одну из координат уравнения (1), например лт, принимает в качестве независимой переменной, а время ( рассматривает как функцию этой координаты, причем выбранная координата в качестве независимой переменной является монотонно возрастающей функцией времени. Рассматривая координаты х2,...,хп как функции от х\9 Н.Е.Жуковский предполагает, что в возмущенном движении функции Х2,—Л» получают приращения у2,...,у„. Если во вес время движения приращения у2,...,уп остаются достаточно малыми, то движение называется прочным; если некоторые из этих приращений не являются таковыми, то движение называется непрочным.
Важно отметить, что время / рассматривается Н.Е.Жуковским как функция от х, а приращение Ы определяется при переходе от данного движения к возмущенному. Н.Е.Жуковский пишет: “Движение, будучи прочным, может давать для Ь( при одних возмущениях бесконечно малую величину, а при других - беспредельно возрастающую величину. Консервативное возмущение, не изменяющее полной энергии, вызывает в прочном движении бесконечно малое изменение времени, в то время как неконсервативное возмущение вызывает бесконечно возрастающее изменение времени”. Из определения Н.Е.Жуковского следует, что речь действительно идет об устойчивости траекторий точек материальной системы, а не об устойчивости состояния движения.
Э.Раус [167], как и Н.Е.Жуковский [38], использовал понятия об основном движении и возмущенном движении. Согласно этому Э.Раус вводит координаты ср в основном движении и координаты (?у+£,у в возмущенном движении. Независимой переменной является время Далее Раус определяет понятие малости возмущений Возмущения рассматриваются как малые, если имеется положительное число, превосходящее абсолютные значения всех и такое, что его квадратом можно пренебречь. Движение называется устойчивым, если возмущения будучи малыми в начальный момент времени, остаются малыми и при дальнейшем движении. Если хотя бы одна из величин ^ становится не малой, движение называется неустойчивым. Э.Раус рассматривает возмущения общего вида. Очевидно, что понятие
устойчивости в смысле Э.Рауса и понятие прочности движения в смысле Н.Е.Жуковского - различные понятия. Прежде всего, в определении Э.Рауса речь идет об устойчивости состояния движения, I? то время как в определении Н.Е.Жуковского - о прочности траекторий движения, описываемых точками материальной системы. Далее, движение динамической системы может быть неустойчивым в смысле Э.Рауса, но прочным в смысле Н.Е.Жуковского.
А.М.Ляпунов [59] ввел общее определение понятия устойчивости движения, охватывающее как определение Э.Рауса, так и определение Н.Е.Жуковского. Общее определение устойчивости формулируется так.
От. Пусть 1) задана система к дифференциальных уравнений второго порядка движения механической системы, 2) выбрано некоторое частное решение этих уравнений, определяющее движение системы, которое назовем невозмущенным, и 3) даны функции Фь Ф2, Фп от времени /, обобщенных координат ци ..., дк и обобщенных скоростей <7(, Невозмущенное движение называется устойчи-
вым по отношению к величинам Ф2, ФЛУ если, задавая произвольно положительные числа Ь2, Ьт мы можем определить при всяких Д,, как бы малы они ни были, такие положительные числа £(, £2> ...» Ек, £[, Е'2>..., Е'к, что при всяких
начальных возмущениях г1У...9гк> е]е*, удовлетворяющих условиям |е5| £ Е5, |е^| < 0=1,2,...,к)у и при всяком /, превосходящем 10, выполнены неравенства
ф, - ф<°>| < л,. \ф2 - ф<°>| < ^|фя - ф<0)| < К.
Если, в частности, положить п=2к и взять ь Ф-гщг, •••, Фк~Чь Ф*нв?ь
Фк+2=Яъ ФцгЯь то получим определение устойчивости невозмущенного движения относительно обобщенных координат и скоростей. Ранее приведенное определение 0\ является частным случаем общего определения 07.
А.М.Ляпунов отметил, что в уравнениях возмущенного движения можно заменить время ( другой переменной, являющейся монотонно возрастающей функцией времени. Выбирая за независимую переменную одну из координат точек системы, монотонно возрастающую вместе с возрастанием времени /, и приравнивая остальные координаты к функциям Фк Ляпунова, убеждаемся в том, что определение прочности в смысле Н.Е.Жуковского следует из общего определения А.М.Ляпунова как частный случай.
18
Н.Е.Жуковский в работе 138] писал: “Мы думаем, что наша точка зрения представляет некоторые преимущества перед точкой зрения Рауса. С одной стороны, рассматривая одну из координат как независимое переменное, мы выражаем возмущенное движение числом уравнений на единицу меньшим против того числа, которым должен пользоваться Раус. С другой стороны, так как неконсервативное возмущение дает для 5/ обыкновенно беспредельно возрастающую величину, то устойчивых движений сточки зрения Рауса почти не существует”. Эго утверждение Н.Е.Жуковского следует понимать, что класс прочных движений шире класса устойчивых движений в смысле Рауса.
Теория прочности траекторий в смысле Жуковского получила развитие в труде Дж.Синджа [96] и груде казанского механика М.Ш.Аминова [4], который ввел понятие “устойчивости в смысле Жуковского” и исследовал методами А.МЛяпунова, Дж.Синджа [96] и Н.П.Еругина [36] прочность в смысле Жуковского траекторий некоторых классов механических систем при консервативных и неконсервативных возмущениях.
В работе [4] М.Ш.Аминов рассматривает пространство конфигураций 0? и изучает поведение возмущенной траектории относительно невозмущенной траектории. Для этого ставятся в соответствие точки этих кривых. Метрика действия пространства определяется равенством: с&2=4(С/+/*)7<//2, где I) - силовая функция, И - постоянная энергии, Т - кинетическая энергия, I - время, ^-элемент действия. Если рассматривать консервативные возмущения, т.с. возмущения, для которых не изменяется полная энергия системы, то в пространстве конфигураций невозмущенной и возмущенной траекториям будут соответствовать две соседние геодезические линии (геодетики) это пространства. Пусть О и 0\ - произвольно выбранные начальные точки на невозмущенной и возмущенной геодетиках. Тогда точки Р и Р\ на этих геодетиках считаются соответственными, если 0Р-0\Р\. Так как выбрано соответствие точек не по времени, а но действию, то соответственными точками этих геодетик будут точки, равноудаленные от некоторых выбранных начальных точек. Точки О и 0\ выбираются гак, чтобы отрезок 00\ был ортогонален к невозмугцен-ной геодетикс. Тогда при достаточно малых начальных возмущениях при ОР=0\Р\ с точностью до второго порядка малости отрезок РР\ будет также ортогонален к певозмущеипой траектории. Поэтому в основу определения соответствия точек принимается также ортогональное соответствие.
Определение устойчивости, данное М.Ш.Лминовым, формулируется так.
Ов- Пусть в точках О и Р имеем: ; <7°, , в точках 0\ и Рх:
и г/5
'О
а (1да фи ~ Л
, —Если для каждого числа е>0 можно
ск Ж
найти другое положительное число 6<е так, чтобы при выполнении неравенств
а=1,2то невозмущенное движение М.III.Аминов называет устойчивым в смысле Жуковского. В противном случае невозмущенное движение называется неустойчивым в смысле Жуковского.
Дальнейшее развитие теория прочности траекторий получила в работах А.З.Брюма и Л.Я.Савченко [16], использовавших термин “устойчивая параметризация”, А. 10.Кравчука, Г.А.Леонова и Д.В.Пономаренко [49], [55], использовавших термины “устойчивость по Жуковскому”, “сильная орбитальная устойчивость”,
А.А.Шестакова [120], А.С.Галиуллина и А.А.Шестакова [19], [20]. Ряд результатов и методов, находящих применение в теории прочности траекторий в смысле Жуковского, принадлежит Н.Д.Моисееву [67], В.И.Зубову [41], Г.А.Лсоиову [53], [54].. Многие результаты В.И.Зубова об орбитальной устойчивости, полученные методом ортогональных сечений траекторий, являются фактически результатами о прочности в смысле Жуковского.
В связи с изучением движений, отличных от состояния равновесия и периодических движений, роль понятий прочности и непрочности траектории в смысле Жуковского в настоящее время усилилась.
Важно отметить то обстоятельство, что понятие орбитальной устойчивости и неустойчивости теряет смысл применительно к некоторым сложным движениям динамической системы, в то же время как более строгое понятие прочности в смысле Жуковского имеет смысл для любых се движений. В последние годы усилился интерес к проблемам неустойчивости движения. Прежде всего эго связано с наличием хаотических колебаний в детерминированных системах. Для возникно-
ствия в начальной точке) выполняются неравенства ра < е, <е, где
си
вения хаотических колебаний, характеризующихся перемешиванием траекторий в фазовом пространстве, недостаточно неустойчивости в смысле Ляпунова. Оказалось, что с помощью понятия непрочности траектории в смысле Жуковского можно объяснить ряд явлений, связанных с наличием хаоса.
В настоящее время теория прочности траекторий в смысле Жуковского является перспективным направлением в теории устойчивости небесно-механических систем, имеющим свои специфические особенности по сравнению с теорией устойчивости Ляпунова.
Вопрос о возможности наделения свойствами устойчивости и прочности действительных движений, выделенных тем или иным вариационным принципом аналитической динамики, рассматривался Д.С.Галиуллиным и А.А.Шестаковым в работе |20|. В работе, в частности, показано, что способ варьирования при выделении действительных движений с помощью принципа Лагранжа не совместим с условием изохронности определения устойчивости в смысле Ляпунова, поэтому действительные движения, выделенные этим принципом, нс могут быть устойчивыми в смысле Ляпунова. Что касается прочности в смысле Жуковского и орбитальной устойчивости, то движения, выделенные принципом Лагранжа, могут обладать указанными свойст вами. Поэтому этот вариационный принцип оказался исходным для последующих исследований, посвященных прочности и орбитальной устойчивости траекторий. В частности, представление этого принципа в форме Якоби [124] позволило применять при решении соответствующих задач дифференциально-геометрические методы [4], [12], [20], [58], [96]. В трудах В.Томсона и П.Тета [176], iI.E.Жуковского [38], М.Ш.Аминова [4] на базе вариационного принципа Лагранжа получены дифференциальные уравнения в вариациях возмущенных траекторий и изучены соответствующие задачи об устойчивоподобных свойствах.
В работах В.В.Степанова [101] и Н.Д.Моисеева [67], [68] была введена и изучена геометрическая прочность нолутраекторий динамической системы (1) (под названием “устойчивость в смысле Якоби”). Этот тип прочности был предметом изучения Н.Д.Моисеевым и его учениками в ряде задач небесной механики.
В.В.Степанов и Н.Д.Моисеев предложили методы изучения геометрической прочности нолутраекторий небесно-механических систем, которые в последующем называются методом определяющих функций В.В.Степанова (сокращенно методом
21
ОФС) и методом определяющих контактных функций Н.Д.Моисеева (сокращенно методом ОКФ).
Перейдем к обзору некоторых понятий и результатов теории орбитальной устойчивости траекторий и инвариантных множеств. Понятие орбитальной устойчивости для периодической траектории встречается у IIЛапласа [ 156| и А.Пуанкаре [84], [85] без названия этого понятия. Термин “орбитальная устойчивость” и определение понятия впервые находим у Н.Д.Моисеева [67].
Различные версии определения орбитальной устойчивости индивидуальной полутраектории содержатся в работах Н.Д.Моисеева [67], С.Лефшеца [56], Б.И.Демидовича [30], причем Н.Д.Моисесв предложил топологический вариант понятия, а Б.П.Демидович - метрический вариант понятия.
Различные подходы к определению понятия орбитальной устойчивости полуин-вариантного и инвариантного (как компактного, так и некомпактного) множества содержатся в работах В.И.Зубова [41], Н.П.Бхатиа и Г.Сеге [137], А.Л.Шестакова [116], [117], Ю.В.Малышсва [62], Т.Ура [180], Дж.Ауслендера [128], [129], О.Хаека [ 136] и других ученых.
Основными типами орбитальной устойчивости замкнутого множества ЛсгК” динамической системы ф: К.” —> К" является орбитальная устойчивость множества относительно его метрических окрестностей, относительно его топологических окрестностей и относительно совокупности двух окрестиостных фильтров множества А.
Первый тип орбитальной устойчивости введен и изучен В.И.Зубовым |41|, второй тип орбитальной устойчивости изучен Н.П.Бхатиа и Г.Сеге (137], третий тип орбитальной устойчивости введен и изучен Дж.Ауслендером [128].
Рассмотрим непрерывную динамическую систему ф: Я*хЯ” -» Я”, порожденную уравнением (1), и замкнутое инвариантное множество ХсЯ”, т.е. С(х)о4, где хеЛ, а С(х) - траектория точки х уравнения (1).
Понятия положительной пролонгации, или положительного продолжения, Р* (х) точки хеЯ" и положительной пролонгации Р^{х) точки хеЯ" относительно
множества £сЯ” введены Т.Ура [180] и определяются соответственно с помощью формул
РхЧх) = П //+(£/), />+(*) = П Я+(/)п60,
UzN(x) О еЛЦх)
22
где И+(х) - положительная оболочка множества и и И(х) - фильтр окрестностей точки хе Я”.
Для двумерного случая понятие пролонгации введено А.Пуанкаре 1841 и использовано И.Бендиксоном [133] для качественного изучения уравнения (1) на плоскости И2. Из определений вытекает, что 1) С * (х) и со(х) с (х), 2) /^(х) = Р*„ (х),
3) Рр(х) = 0, х «? 0, 4) у € Р+(х) тогда и только тогда, когда существуют последовательности {х„}сД {/я}сЯ такие, что х„->х, /„>0, ф(1„,х„)-*у.
В [128] доказано следующее предложение: множество А орбитально устойчиво тогда и только тогда, когда положительная пролонгация Р*„и(х) точки х относительно множества К”М является компактным подмножеством множества А. Если множество А компактно, то условие предложения приводится к совпадению множества с его положительным продолжением, т.е. к равенству {А) = А , которое является необходимым и достаточным условием Т.Ура [180] положительной орбитальной устойчивости компактного множества А. Для некомпактного орбитально устойчивого множества условие Т.Ура не выполняется.
В настоящей работе будут введены и изучены понятия метрической и топологической орбитальной устойчивости полутраектории, которые являются существенно различными понятиями, а также понятие прочности полутраектории в смысле Пуанкаре.
В основу понятия прочности в смысле Пуанкаре полутраектории С (х) и полу-оболочки Н*(х) движения фх:Я+->К динамической системы (1) положено указанное выше условие Т.Ура. Ввиду того, что имеющее важное значение в качественной теории динамических систем понятие пролонгации впервые было введено и рассмотрено А.Пуанкаре, представляется целесообразным назвать прочностью в смысле Пуанкаре полутраектории свойство совпадения полуоболочки движения по этой полутраектории с положительной пролонгацией полуоболочки. Приведем определение прочности в смысле Пуанкаре замкнутого инвариантного множества.
09. Замкнутое инвариантное множество ЛсЯ” называется прочным в смысле Пуанкаре, если оно совпадае т со своей положительной пролонгацией, т.е. А = Р*(А).
23
Понятия устойчивости в смысле Ляпунова, прочности в смысле Жуковского, орбитальной устойчивости, прочности в смысле Пуанкаре, геометрической прочности, устойчивости в смысле Лагранжа, устойчивости в смысле Пуассона полутрасктории будем называть устойчивоподобными понятиями. Эти устойчивоподобные понятия играют важную роль в задачах небесной механики. Если при изучении качественного свойства траектории уравнений небесной механики одно устойчивоподобное понятие окажется слишком жестким и ограничительным, то другие устойчивоподобные понятия дают возможность изучить это качественное свойство более адекватно.
Пусть £2/, - множество всех устойчивых в смысле Ляпунова полутраекторий, Ц/ - множество всех прочных в смысле Жуковского полутраекторий, - множество всех орбигально.1 устойчивых полутраекторий и £2/> - множество всех прочных в смысле Пуанкаре полутраекторий. Тогда
QL cQ^c il0 с С1Р,
причем каждое предыдущее множество является истинным подмножеством последующего множества.
Метод интегральных многообразий нелинейных динамических систем рассматривается в [14], [15], [28], 129], [66]. Задаются два дифференциальных уравнения -точное и приближенное - разность между правыми частями которых есть асимптотически малая величина и устанавливается соответствие между интегральными многообразиями этих уравнений. В [149] теория периодических интегральных поверхностей применена к изучению эволюции свободных орбит спут ников при движении вокруг сплюснутой Земли. При условии существования некоторою семейства периодических поверхностей исследована орбитальная устойчивость орбит. В [28] рассмотрен вопрос об устойчивости в задаче о движении вблизи треугольной точки либрации в пространственной ограниченной круговой задаче грех тел, уравнения движения в которой имеют вид
х-2y = Us, y+2'x = U,9 z = U.,
где U = U(x, у, z) - силовая функция.
Метод усреднения в небесной механике, восходящий к П Лапласу [156], получившему с помощью усреднения теорему об отсутствии вековых возмущений первого порядка у больших полуосей, использовался затем в задачах небесной механики в работах К.Гаусса, Ш.Делоне, Г.Хилла, Д.Пуанкаре, II.Д.Моисеева и других
24
ученых. Затем методы усреднения получили большое распространение в нелинейной механике (точнее, в теории колебаний)..Однако методы усреднения применялись без математического обоснования. Лишь Н.М.Боголюбов [14] получил основополагающие результаты по обоснованию метода усреднения и установил связь между точными и усредненными уравнениями, состоящую в существовании замены искомых функций новыми функциями, определяемыми усредненными уравнениями различных порядков. Обоснование метода усреднения в многочастотных системах принадлежит Е.А.Гребеникову [26], В.И.Арнольду [7] и другим ученым.
Постановка задач аналитического построения систем программного движения, их решения, а также многие вопросы, относящиеся к программному движению механических систем, в частности, вопрос оЪ устойчивости программного движения, довольно широко освещены в литературе (см. [18], [70], [71]). Исследования в области устойчивости программного движения проводились Н.Г.Четаевым, который изучал с помощью второго метода Ляпунова движение снаряда с постоянной массой. А.С.Галиуллин впервые рассмотрел вопрос об устойчивости программного движения тела переменной массы, применив первый и второй методы Ляпунова. Эти исследования были продолжены Р.Г.Мухарлямовым, И.А.Мухаметзяновым и другими представителями основанной А.С.Галиуллиным научной школы по обратным задачам динамики.
Установление устойчивости или неустойчивости заданного программного движения различных механических систем (анализ), а также построение устойчивых программ (синтез), составляет содержание задачи об устойчивости программного движения. Основные положения теории устойчивости применительно к поставленной задаче устойчивости программного движения содержатся в [18].
Вопросы линеаризации и регуляризации уравнений небесной механики обсуждаются в [94]. Относительно недавно возникшее направление в небесной механике, называемое линейной и регулярной небесной механикой [123], имеет целью решение задач небесной механики в аналитической или численной форме на базе регу-ляризируюшего преобразования Кустаанхеймо-Штифсля [123]. Регуляризация, состоящая в устранении в дифференциальных уравнениях особых точек, возникающих при соударениях тел, была предметом исследований многих ученых. Регуляризация Кустаанхеймо-Штифеля (А'б'-регуляризация), помимо своего основного назначения, позволяет установить эквивалентность между кеплеровым движением
25
и г армоническим осциллятором; такой подход к небесной механике принято называть линейным. Он требует перехода к избыточным переменным. Пусть задана система дифференциальных уравнений второго порядка х.= к,{1, хр х^)ч / = 1, ..., п.
Произведем замены независимой и зависимых переменных ^=Дуу), где
л - новая независимая переменная (фиктивное время) и у) - новые координаты. Задача линеаризации заданной системы состоит в нахождении функций я н/ таких, чтобы в новых переменных (л\у,) зга система была линейной с постоянными коэффициентами у" +о/уУу + + с ■ = 0, где штрих означает дифференцирование по
суммирование производится по повторящимся индексам, коэффициенты а,р Ь,р ср не зависят от у, и их производных, но зависят от Можно обобщить постановку задачи о линеаризации, чребуя, чтобы коэффициенты преобразованных уравнений были бы функциями только ог 5. С помощью АЗ-преобразовання единообразно рассмотрены три типа кеплерова движения вне зависимости от величины эксцентриситета орбиты [123]. Невозмущенная задача двух тел описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, являющимися всюду регулярными уравнениями.
В линейной и регулярной небесной механике употребляется не только преобразование пространственных координат, но и преобразование физического времени -введение вместо времени других независимых переменных, причем время I фигурирует как координата, рассматриваемая в точности так же, как и геометрические координаты.
Применение эксцентрической аномалии в качестве независимой переменной имеет большое преимущество, состоящее в том, что координатг,I движущегося тела представляются замкнутыми выражениями от эксцентрической аномалии, а ряд Фурье возмущающей функции сходится по эксцентрической аномалии быстрее, чем по средней аномалии.
Регуляризация уравнений небесной механики часто приводит к упрочнению решений этих уравнений. Этот вопрос будет рассмотрен в главе 3 настоящей работы.
В настоящее время в небесной механике исключительно важную роль ичрает новое направление, получившее название КАМ-теорип (теории Колмогорова-Арнольда-Мозера). Теорема Д.Н.Колмогорова [47] этой теории произвела переворот в представлении о динамике гамильтоновых систем, близких к интегрируе-
26