Применение симплектических методов в задачах небесной механики

Оглавление.
Введение...........................................................3
Глава 1. Обзор симплектических методов............................14
Глава 2. Неконсервативные эффекты методов численного интегрирования.......................................................'27
2.1. Введение................................................27
2.2. Постановка задачи.......................................28
2.3. Описание примеров.......................................31
Глава 3. Изучение фазового портрета возмущенной гамильтоновой системы, полученной симплектическим методом...................СО
Глава 4. Полиномиальная аппроксимация симплектических отображений..........................................................69
Глава. 5. Применение симплектических методов в ограниченной задаче трех тел и задаче п-тел....................................76
Заключение........................................................90
Литература........................................................91
2
Введение.
Диссертация посвящена методам симплектичес.кого интегрирования уравнений движения гамильтоновых динамических систем и применению этих методов в задачах небесной механики.
Моделирование’ гамильтоновых динамических систем является актуальной задачей как в астрономии так и в других областях науки. Как правило, для моделирования используется тот или иной численный метод, который позволяет интегрировать уравнения движения гамильтоновой системы. Любое моделирование является приближенным решением системы, поэтому выбор метода. играет важную роль при построении модели. Кроме того, при построении моделей гамильтоновых систем необходимо помнить о свойствах этих систем — условии симплектичности и сохранении фазового объема, поскольку сохранение этих свойств существенным образом сказывается на фазовом портрете рассматриваемой системы.
Недостатком традиционных численных методов, таких как методы Рунге-Кутты, Рунге-Кутты-Нестрема, Булирша-Штера и др., с помощью которых обычно решаются задачи построения моделей гамильтоновых систем, является нарушение симплектической структуры и свойства сохранения фазового объема гамильтоновых систем в процессе моделирования. Это может привести к полному искажению качественной картины эволюции построенной модели. Поэтому для задач, связанных с интегрированием на очень большие интервалы времени, используются симплектиче-ские методы. Эти методы сохраняют каноничность преобразования координат и импульсов на каждом шаге интегрирования.
На сегодняшний день симплектические методы получили широкое развитие. Эти методы можно разбить на три основных класса: 1) явные схемы симплектических интеграторов типа Иоши-ды; 2) неявные схемы симплектических интеграторов типа Рунге-Кутты и Рунге-Кутты-Нестрема; 3) симплектические отображения.
В связи с развитием компьютерной техники возрос интерес к моделированию эволюции объектов Солнечной системы на миллиарды лет. В рамках задач небесной механики моделируются картины эволюции орбит малых тел, больших планет, изучаются области регулярного движения и хаоса. Для построения таких моделей наиболее часто используется метод симплектических
отображений, предложенный Висдомом. Однако данный метод и все его модификации являются методами осреднения уравнений движения. В диссертационной работе рассматриваются симплек-тические интеграторы явного вида типа Иошиды и возможность их использования в задачах небесной механики.
Целью работы являются:
— изучение влияния неконсервативных эффектов, вносимых несимплектическими методами интегрирования в модель фазового портрета системы;
— изучение топологии фазового портрета системы, полученной симплектическими методами:
— изучение полиномиальной аппроксимации симплектических отображений;
— применение симплектического метода типа Йошиды для изучения эволюции больших планет и астероидов.
Научная новизна работы состоит в следующем.
1. Получена методика, которая позволяет выявлять неконсервативные эффекты в модели фазового портрета системы, построенного несимплектическими методами моделирования.
2. Предложен метод для анализа топологии фазового портрета системы, полученной симплектическим методом.
3. Найден класс отображений, для которых можно построить полиномиальную симплектическую аппроксимацию.
4. С помощью интегратора Иошиды, реализованного для задачи п-тел и ограниченной задачи трех тел, получена картина, эволюции больших планет и астероида Хирон.
Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные методы могут применяться для контроля за поведением системы в процессе моделирования численными методами для широкого класса гамильтоновых систем.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:
1. Всероссийское совещание (с международным участием) ''Компьютерные методы небесной механики”, С.-Петербург, Ноябрь, 1992;
2. Международная конференция "Современные проблемы теоретической астрономии”, С.-Петербург, Июнь, 1994;
3. Международное рабочее совещание ’’Новые компьютерные
А
технологии в системах управления ", Переславль-Залесский, Июль, 1994;
4. Научная конференция ’Стохастические методы и эксперименты в небесной механике”, Архангельск, Июнь, 1995;
5. Международное рабочее совещание ” Новые компьютерные технологии в системах управления”, Переславль-Залесский, Август, 1995;
0. Всероссийская конференция с международным участием ” Компьютерные методы небесной механики — 95”, С.-Петербург, Октябрь, 1995;
7. Всероссийская конференция с международным участием ” Проблемы небесной механики”, С.-Петербург, Июнь, 1997:
8. Международное рабочее совещание ’’Новые компьютерные технологии в системах управления”, Переславль-Залесский, Июль Август, 199С;
9. Симпозиум по алгебраическим дифференциальным уравнениям ’’Алгебраические и численные аспекты”, Б.А.Е. 97, Г ренобль, Май, 1997.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 12 работах.
Вкладом автора в работы, выполненные в соавторстве, является:
[3, 4, 77, 78, 125] — реализация методики изучения неконсервативных эффектов с помощью средств компьютерной алгебры. Применение полученной методики к гамильтоновым системам маятника и Энона-Хейлеса.
'38. 126-128, 130] — построение аналога интеграла Густавсона для возмущенной системы Энона-Хейлеса, топологическое сравнение фазовых портретов системы Энона-Хейлеса и модели, полученной симплектическим методом.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Она изложена на 101 странице, содержит 1 таблицу и 34 рисунка. Список литературы включает 131 библиографическую ссылку.
Содержание работы
В первой главе представлен обзор работ, посвященных построению симплектических методов численного интегрирования га-
мильтоновых систем, и работ, связанных с использованием этих методов. Рассматриваются методы, связанные с применением сим-плектичсс них ото б р ажений.
Дана характеристика симплектических методов. Показано их отличие от традиционных методов численного интегрирования.
Рассмотрены основные схемы построения явных схем симплек-тических интеграторов для гамильтонианов вида II = /\(р)+ £/(</), где р — импульсы, </ — координаты: техника Рута и техника, основанная на преобразованиях Ли. Также уделено внимание неявным схемам симплектических интеграторов. Рассматривается ряд работ, связанных с моделированием гамильтоновых систем симплектическими и несимплектическими методами.
Особое внимание уделяется методу симплектических отображений Вис дома и его модификациям. Этот метод широко используется для решения задач небесной механики. С помощью этого метода исследовался характер движения Плутона, изучалось движение астероидов и комет.
Во второй главе рассматриваются неконсервативные эффекты, которые появляются в моделируемой системе при интегрировании уравнений движения этой системы традиционными численными методами.
Для любой гамильтоновой системы справедлива теорема Ли-увилля: фазовый поток сохраняет объем в фазовом пространстве.
Обычные методы численного интегрирования аппроксимируют преобразования фазового потока несимплектическим преобразованием, следовательно, фазовый объем может изменяться. Другими словами, обычные методы численного интегрирования вно сят в гамильтонову систему неконсервативные возмущения, тем самым вызывая несогласованность фазового портрета с симплек-тической структурой многообразия А/2'*, на котором задана функция Гамильтона #(р,<7; <).
Для нахождения областей в фазовом пространстве гамильтоновой системы, где* происходит увеличение или уменьшение фазо вого объема вследствие использования того или иного несимплек-тического метода интегрирования, в работе предлагается следующий алгоритм.
1. Пусть дан гамильтониан Я(р,</). Выбирается численный метод для интегрирования уравнений движения данной системы.
2. С помощью этого метода интегрирования строятся в аналитическом виде формулы отображения координат и импульсов на
С
один шаг интегрирования для дашюй системы.
3. Строится в аналитическом виде матрица Якоби преобразования координат и импульсов рассматриваемой системы.
Из условия симплектичности следует, что определитель матрицы Якоби А = 1. При нарушении симплектичности отображения фазовое пространство разбивается на области сжатия, где Д < 1, и области расширения, где Д > 1.
4. Решается уравнение
Д - 1 = 0.
Решением его являются многообразия коразмерности 1, вдоль которых коэффициент изменения фазового объема преобразования на один шаг в точности равен 1. На плоскости, когда число степеней свободы системы равно 1, это решение представляет собой кривые, совокупность которых дает диаграмму несохранения объема. Таким образом, решение данного уравнения дает возможность получить представление об искажениях фазового портрета системы, построенного численным методом интегрирования уравнений движения системы. Так, например, если какое-нибудь семейство траекторий целиком попадет в область уменьшения фазового объема, то при интегрировании уравнений движения для этих траекторий на большой промежуток времени можно получить аттрактор, которого нет в реально существующей системе. При попадании в область увеличения фазового объема возможен распад траекторий и их уход. Могут появиться также области стохастичности, которые отсутствуют в действительности. Для траекторий, которые проходят и через область увеличения и через область уменьшения фазового объема, эффекты, появившиеся в одной области, могут компенсироваться эффектами в другой, но в любой конкретный момент времени картина эволюции будет с о де ржать ис к ажения.
В главе показывается применение методики изучения неконсервативных эффектов на примерах системы маятника и системы Энона-Хейлеса.
В качестве численного метода был выбран метод Рунге Кутты. Для системы маятника, получена диаграмма несохранения объема, которая отражает влияние метода Рунге- Кутты 4-го порядка на значение определителя Якоби з фазовом пространстве системы. Проведено сравнение влияния симплектического метода и метода Рунге-Кутты на фазовый портрет системы.
Система Энона^Хейлеса не является интегрируемой в квадратурах и решение ее обладает хаотическим поведением. Показано, что при использовании метода Рунге-Кутты 4-го порядка определитель матрицы Якоби преобразования координат и импульсов меньше 1 во всем фазовом пространстве системы. Для метода Рунге-Кутты 2-го порядка. Д > 1 на всей области возможных движений.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что при интегрировании уравнений движения системы Энона-Хейлеса методом Рунге-Кутты как 2-го, так и 4-го порядков на большой промежуток времени расположение всей совокупности фазовых траекторий должно существенно измениться.
Для 4-го порядка интегрирования вея область возможных движений рассматриваемой системы является областью сжатия, и при интегрировании наблюдается уменьшение энергии Н — Е. В работе показаны проекции фазовых траекторий на плоскости (/?,у), (/?,£), (£,у), на которых отражено изменение положения траекторий в фазовом пространстве вследствие уменьшения энергии системы при интегрировании ее уравнений движения методом Рунге-Кутты 4-го порядка.
В третьей главе рассматриваются основные свойства, симплек-тических методов численного интегрирования, а также рассматривается влияние этих методов на моделируемую систему.
Отображение за один шаг интегрирования для гамильтониана Л = К(р) -{- U(<?) является преобразованием сдвига вдоль траекторий некоторой гамильтоновой системы, гамильтониан которой может быть получен из функций К(р) и U(q) с помощью формулы Кэмпбелла-Хаусдорфа-Дынкина. Полученный таким образом гамильтониан представляет собой ряд, содержащий кратные коммутаторы функций К и U. Вообще говоря, этот ряд расходится. Таким образом, при моделировании будет сохраняться не исходный гамильтониан, а некоторое его формально малое возмущение:
И = Н + knHn + o{hn+l).
Если возмущение исходного гамильтониана И действительно мало, то для изучения свойств исходной системы, которые сохраняются з процессе моделирования, можно применять методы теории Колмогорова Арнольда-Мозера (KAM теории). При этом порядок интегратора соответствует и порядку возмущения но малому параметру /і, которым здесь является шаг интегрирования.
8