ОГЛАВЛЕНИЕ
В в е д е н и е................................................ 3
ГЛАВА I. Некоторые вопросы механики разрушения многослойных
сред и механики усталостного разрушения ............. 5
§1.1. Обзор некоторых основных работ в области механики разрушения многослойных сред с трещинами и
механики усталостного разрушения ................. 5
§ 1.2. Цель исследования и структура диссертационной
работы ...........................................21
ГЛАВА П. Биупругая среда с трещиной под действием температуры ........................................................ 25
§ 2.1. Постановка задачи ............................... 25
§ 2.2. Решение краевой задачи А ........................ 27
§ 2.3. Частные случаи общего решения ................... 38
2.3.1. Температура, синусоидально изменяющаяся по времени, амплитуда которой является непрерывной и абсолютно интегрируемой функцией свободной от внешних нагрузок поверхности ................... 39
2.3.1.1. Постоянная амплитуда ........................ 44
2.3.1.2. Амплитуда, периодически изменяющаяся по координате поверхности................................... 45
2.3.1.3. Анализ полученных результатов ............... 46
2.3.2. Мгновенный нагрев разных участков поверхности
биупругого полупространства ................... 52
ГЛАВА Ш. Биупругая среда с трещиной под действием температуры /продолжение/ .......................56
§ 3.1. Краевая трещина в биупругой среде.................56
З.І.І. Полупространство под действием цикличеекой
температуры.....................................58
3.1.1.1. Постоянная амплитуда .............................. 58
3.1.1.1.2. Амплитуда, периодически изменяющаяся по координате поверхности ..........................................60
3.1.1.1.3. Рост термоусталостной трещины в полупространстве под действием циклической температуры... 62
3.1.2. Полоса под действием циклической температуры и постоянная амплитуда ......................................... 65
3.1.3. Биупругое полупространство под действием циклической нагрузки и температуры ................................67
ГЛАВА 1У. Многослойные среды с трещинами ............................71
§ 4.1. Теоремы о сведении сингулярного интегрального
уравнения 1-го рода определенного класса к уравнению Фредгольма 2-го рода................................ 72
§ 4.2. Постановка задачи .....................................78
§ 4.3. Решение краевой задачи. Анализ полученных результатов 81
3 а к л ю ч е н и е ...............................................99
П р и л о ж е н и я................................................ЮС
§ П.1. Представление Папковича-Нейбера перемещений и нап-
• ряжений через три гармонические функции ..........101
§ П.2. Парные интеграяьнне уравнения.................................................... 102
- 3 -
ВВЕДЕНИЕ
В последний годы достаточно подробно исследована линейная механика разрушения однородных изотропных упругих сред с трещинами. Фундаментальные аспекты в этой области /такие, как модели трещин, критерии разрушения и т.п./ получили к настоящему времени обоснование и логическое завершение.
В связи с широким применением многослойных материалов в авиационной и космической технике, в мощных энергетических установках и судостроении при экстремальных условиях их работы - высоких уровнях нагружения и температуры, поиски путей повышения прочности и эксплуатационной надежности многих современных конструкций придают механике разрушения многослойных сред особую актуальность.
В настоящее время интенсивно развиваются вопросы поведения трещин в многослойных материалах под действием внешней нагрузки.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию некоторых вопросов механики разрушения многослойных сред с трещинами под действием температуры и внешней нагрузки.
На защиту выносятся следующие основные научные положения:
- исследование развития трещин в биупругой среде ^ под действием температуры и внешней нагрузки.
- разработка подхода и его применения для решения определенного класса плоских и антиплоских задач механики разрушения многослойных сред с трещинами.
Диссертационная работа состоит из 4 глав, приложений, списка литературы.
— “
Под биупругой средой понимается жесткое сцепление вдоль прямой линии двух однородных изотропных упругих сред.
- 4 -
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [2-5, 35-37] .
Отдельные результаты диссертационной работы неоднократно были доложены на семинаре кафедры "Прикладной и вычислительной математики" АзПИ имЛ.Ильдрыма /1982-1984/, на семинаре кафедры "Сопротивление материалов" АзПИ имЛ.Ильдрыма /1983,1984/, семинаре лабораторий "Механики усталостного разрушения” и "Механики разрушения конструкций” Института математики и механики АН Азерб.ССР /1982-1984/, а также на У Республиканской конференции молодых ученых по математике и механике /Баку, 1984/.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук Валеху Джафар оглы Кулиеву за постоянное внимание к работе, ценные советы и замечания.
- 5 -
ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕД И МЕХАНИКИ УСТАЛОСТНОГО РАЗРУШЕНИЯ.
§ 1.1. Обзор некоторых основных работ в области механики разрушения многослойных сред с трещинами и механики
усталостного разрушения.
Остановимся вначале кратко на некоторых основных результатах исследований последних лет, посвященных вопросам механики разрушения многослойных сред с трещинами.
Одной из важнейших проблем при исследовании прочности твердых тел в рамках механики разрушения является изучение асимптотического распределения напряжений, деформаций и смещений вблизи свободного от нагрузки берега трещины в упругой среде /или биупрутой среде/ и формулировка критерия локального разрушения.
Рассмотрим эти вопросы более родробно. В [38] рассмотрена задача, когда два однородные изотропные упругие тела жестко сцеплены вдоль плоскости 0 ^ ±Я*/2 , 0 < & < оо , где е ,9 -
полярная система координат, а само тело как единое занимает область -ы<в<сА.>0<2<оо (ал > . границы тела
свободны от внешних нагрузок. Задача считается симметричной относительно биссекторной ПЛОСКОСТИ В * О (о <2 < ОО) # Граничные условия этой задачи имеют вид
е~±*/Ь
(1.1.2)
_ 6 -
0*о г^ш°,и8ш0 (1л.з)
Здесь 6 , ^ , *ге - компоненты тензора напряжений";
иг - компоненты вектора смещений; ГА/] - скачок некоторой величины N
Выразив напряжения и смещения через комплексные потенциалы Колосова-Мусхелишвили [ 65] и отыскав потенциалы в виде /первая среда, тт/г < 9 ^ ос /
0,00 « I, . 00) = 2 А
/вторая среда, 0 <■ в < У/г /
0/4) - /)г2л , <00) = бан* и удовлетворив (1.1.1) - (1.1.3) получена система однородных алгебраических уравнений относительно /1 у и 5; Су’-/.2)
Здесь А - действительная величина.
Приведем окончательные результаты при 161 < %/г /см.[36] /
*
6 = - осо?(Л+2)в]
о I *
а- Сх /б О’А) СЯу)# 4 ОС0У О +2)0]
£
- 0&Ю()1+2)8 ]
I с*
ив =г ()ь+2)6]
2^2 (\*1)
*
иг = г ^ [(2?г~/\~1)£со})9 +а£о:()и2)0]
Здесь
О = 2К/ ()Ч-0231'й(Ш-‘И)С0$оС-О*1)[^Ш}(^-2о£) -
(1.1.4)
- 7 _
_ (к2 -г^-Оып г*] -(кл-х1')ы'п2Ы-- (к? - к, -1) $шСМг-2(Х)
О = - о. {Ь + 0 ** £1П(МГ-0С)С0?<х -* /г^1'йй (7/-2<Х) + (иК',)ип2о(
к = Л/л > */ = <к-О/4«-»,) » V * (Н)/ОУ,)
С = сх г*/{)/&?[6(Л+2) -а.]]
V9’4* /
Показатель степени ^ О ^ (-1,0)) для фиксированного значения <* , К2 и К, является единственным действительным
корнем следующего характеристического уравнения
К^КиО ^1П2Ы + 5^20 *М>* 4 ш Лтг] -
- [4*с1(к2-к1юц)*со,гос ~4к<(к2- к,~1)-
(1.1.5)
• вг'/7гСл +0(>/г -*) н] = 0
В этой! работе [38] коэффициент назван коэффициен-
том интенсивности напряжений для клина с углом раствора больше , находящегося в биупругой среде, он имеет размерность силы, деленной на длину в степени (2 + А) . Решение вышеприведенной задачи является в свою очередь упругой асимптотикой при решении различных задач теории упругости для клиновидной области с углом раствора больше Я* с трещиной [№2] /или с полосами скольжения [50] /ив некоторых других слечаях. Решения последних задач, очень важны при оценки на ударную вязкость или
/ угу - модуль сдвига, ^ - коэффициент Пуассона,
- 8 -
трещиностойкость биметаллов [82] .
Рассмотрим частные случаи общего решения.
Трещина, перпендикулярная к границе раздела различных упругих сред. Этот случай впервые был рассмотрен Заком-Вильямсом [14] и получается из вышеприведенной задачи, когда оС = *г При этом характеристическое уравнение (Г; 1.5) принимает вид
- к* - К1 /<2)] = о 4
что совпадает с уравнением Зака-Вильямса [ц] • Уравнение
(1.1.6) имеет единственный действительный корень в интервале . Анализ приведенный в Г14] показывает, что если трещина переходит из более твердойсреды в более мягкую / т.е.
К е /и2 >1 и V, = \)2 « 0.3 /, то порядок особенности
больше, чем в однородном теле /т.е. )[< -1/2 /, и наоборот.
При больших значениях К можно найти следующее асимптотическое выражение для искомого корня уравнения (1.1.6) Г101]
Приведем окончательные результаты для напряжений в окрестности вершины трещины, перпендикулярной к границе раздела различных упругих сред, получаемые из вышеприведенной задачи при сс = 1Г /см., также [5*2] /
[4 (/\ и)*(ь К2 - К?) + 2/г,2 + 2*1 +1 -
А/
где
0-4)(з-И)
6в ~ К°[(г^)со$1\в +всо*Сь+г)01
- 9 -
бг = К° [(2-))CO?)i9 -В СО? (Л+2) в] Т = К°[ h sin 19 + В sin Q +2; д 1
В = —— [(з> +2)К, ~(И2))Кг + 1 + Л ]
14
К" = Cj (и (191 < г/2)
Эти результаты особенно важны при исследовании поведения трещины на границе раздела - торможении, ветвлении, преломлении
[46,51-54].
В работе [52] , показано, что основной причиной торможе-
ния поперечных трещин в композиционных материалах является образование трещин скольжения, возникающих на границе раздела различных упругих сред при пересечении ее магистральной трещиной нормального разрыва. В этой работе проанализирован этот механизм на основе точного решения обобщенной задачи Зака-Вильямса, найденного при помощи модифицированного метода решения уравнения Винера-Хопфа. Предполагалось, что длина трещины скольжения мала по сравнению с длиной магистральной трещины отрыва и характерным размером тела. В этом случае решение Зака-Вильямса (I.I.7) представляет собой точную асимптотику полученного решения на расстояниях, больших по сравнению с длиной трещины скольжения, но малых по сравнению с длиной магистральной трещины отрыва.
Как известно /см., напр., Г52] /, начало развития магист-
ральной трещины определяется некоторым критическим значением коэффициента интенсивности напряжений Kj . Полученные формулы в [52] дают точную зависимость этого критического значения от длины поперечной трещины скольжения. Из этой зависимости
- Київ+380960830922