2
Содержание
Введение 5
1. Физические соотношения термовязкоупругости структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров 40
1.1 Обозначения и соотношения термомеханики простых материалов с памятью 40
1.2 Основные гипотезы. Свободные энергии эластичной матрицы и элементов неоднородности 47
1.3 Построение функционала удельной свободной энергии структурно-неоднородных эластомеров 54
1.4 Учет сжимаемости эластомеров 62
1.5 Построение уравнений состояния ' 68
1.6 Частный случай зависимости механических параметров элементов неоднородности от температуры 70
1.7 Однокомпонентная модель структурно-неоднородных эластомеров 73
1.8 Соотношения термовязкоупругости структурно - неоднородных эластомеров при малых деформациях 79
1.9 Определение структурно-механических параметров 82
2. Конечные упругие деформации тел из высокоэластичных слабосжимаемых материалов 97
2.1 Постановка задачи 97
2.2 Определяющие уравнения 101
2.3 Применение метода конечных элементов. Особенности численной реализации 104
2.4 Сжатие резинового куба между двумя абсолютно жесткими плоскими штампами 113
2.5 Конечные упругие деформации резинового цилиндра 127
3
2.6 Кручение куба из гиперупругого слабосжимаемого материала
2.7 Расчет двухслойного резинометаллического параллелепипеда
2.8 Расчет двухслойного резинометаллического цилиндра в режиме заданных перемещений
2.9 Расчет цилиндрического резинометаллического сейсмоизолятора
2.10 Оценка эффективности сейсмоизоляции с использованием слоистых резинометаллических опор
2.11 Расчет напряженно-деформированного состояния резинового уплотнителя в условиях соприкосновения с системой жестких штампов
3. Вынужденные колебания предварительно деформированных тел при гармоническом догружении
3.1 Вариационная постановка задачи
3.2 Построение приближенного решения по методу усреднения в сочетании с МКЭ
3.3 Вынужденные моногармонические колебания предварительно деформированных вязкоупругих тел
3.4 Колебания тонкослойных резинометаллических опор при кинематическом возбуждении
4. Связанные задачи термовязкоупругости структурно-неоднородных слобосжимаемых эластомеров
4.1 Вариационная постановка задачи и метод решения
4.2 Диссипативный разогрев предварительно деформированного резинового куба при кинематическом догружении
4.3 Расчет теплообразования в резиновом цилиндре при гармо-
138
145
150
153
158
168
179
179
183
191
205
218
218
232
4
ническом нагружении 239
4.4 Расчет температурных полей и напряжений в слоистом резинометаллическом виброизоляторс 244
Основные результаты и выводы 253
Список использованной литературы 256
Введение
Промышленные изделия из высокоэластичных полимеров (эластомеров) обладают уникальными механическими и тепловыми характеристиками. Сфера применения и объемы производства резинотехнических изделий в промышленно развитых странах постоянно возрастают, эластомеры прочно удерживают и постоянно расширяют занятую ими нишу в производственной и бытовой деятельности человека.
Использование резины как конструкционного материала основано на следующих ее свойствах:
- высокая эластичность, обусловленная природной предрасположенностью к формоизменению;
- малая объемная сжимаемость и соответственно высокая делатационная жесткость;
- технологичность (возможность отливки деталей практически л »обой пространственной конфигурации с заданными по рецептуре физикомеханическими свойствами материала);
- возможность для большинства изделий реализовать на практике режимы близкие к экстремальным при гарантированном ресурсе работоспособности.
При решении практических задач следует учитывать, что резина подвержена стрению при воздействии повышеншлх температур и радиации, кроме гого, при циклических нагрузках в резиновых изделиях наблюдается явление саморазогрева, что отрицательно сказывается на дол1 овечносги деталей.
При изучении термомехапического поведения резинотехнических изделий приходится решать ряд специфических проблем:
- большинство из выпускаемых промышленностью изделий имеют сложную геометрическую форму и воспринимают пространственно-неоднородные механические воздействия, поэтому формулировать и решать соответствующие краевые задачи необходимо в трехмерной постановке;
6
- как правило, нагружение резиновых деталей сопровождается большими перемещениями и деформациями, т.е. в изучаемых краевых задачах имеет место геометрическая нелинейность;
- резина, работающая в условиях больших деформаций и стесненности геометрического объема, обладает свойствами физически нелинейной среды, следовательно, связь между деформациями и внутренними усилиями является также нелинейной;
- при гармоническом догружении предварительно деформированных резинотехнических изделий в последних формируется поле избыточной температуры: имеет место так называемое термомеханическое сопряжение, когда поле деформаций определяег распределение температуры, и, в свою очередь, температура влияет на характер распределения деформаций (связанные задачи тср-мовязкоупругости);
- в большинстве случаев резиновые элементы машин и приборов эксплуатируются в условиях контакта с металлической арматурой, поэтому изучаемое изделие в целом оказывается сильно механически неоднородным: упругие характеристики высокоэластичной и армирующей составляющих отличаются на 2-5 порядков;
- в ряде случаев зоны кон такта резиновых деталей с элементами арматуры неизвестны и зависят от внешних воздействий, поэтому необходимо формулировать и решать соответствующие контактные задачи, определяющим фактором при изучении которых могут играть силы трения.
Таким образом, создание физико-математической модели деформирования высокоэластичных материалов в температурных полях и технологии решения прикладных задач в общей трехмерной постановке, в том числе и для конструкционно-неоднородных сред на основе эластомеров, представляет собой сложную и актуальную задачу механики деформируемого твердого тела (МДТТ), имеющую важное научно-техническое приложение.
7
В настоящее время большинство результатов в области расчетов резинотехнических изделий выполнено методами нелинейной теории упругости,.предусматривающими использование определяющих уравнений, построенных на основе известных потенциалов для эластомеров - Трелоара, Муни-Ривлина, Бартенева-Хазановича с привлечением гипотезы о механической несжимаемости материала. Конечной жесткостью арматуры, как правило, пренебрегают и прочностные расчеты для нее не проводят. Однако при реализации в высокоэластичных частях резиноармированных конструкций напряжений в несколько десятков МПа, напряжения в армирующих составляющих могут достигать сотен МПа, и разрушение такого изделия может произойти вследствие разрыва арматуры. Поэтому учет деформативности арматуры и делагационной жесткости эластомера при решении таких задач является принципиально необходимым. Однако главным является то, что в большинстве из предлагаемых вариантов уравнений состояния отсутствуют явные теоретические зависимости механических параметров от температуры, что офаничивает применение соответствующих теорий для описания механического поведения резинотехнических изделий в температурных полях.
Предметом исследования в настоящей работе являются высокоэластичные материалы - эластомеры, изучаемые в аспекте построения для них замкнутых соотношений термовязкоупругости с учетом реальной внутренней структуры материала (неоднородности). Особое внимание уделено решению проблемы параметрической идентификации уравнений состояния, т. е. доведению их до числа с последующей возможностью использования при решении краевых задач. Значительные усилия сконцентрированы на решении краевых задач механики и термомеханики эластомеров: квазистатических задач для гиперупругих тел, динамических задач, связанных с изучением моно1 армонических колебаний в телах из структурно-неоднородных эластомеров, задач, посвященных
8
прогнозированию полей напряжений и избыточной температуры в условиях диссипативного разог рева и др.
Решение поставленной проблемы выполнено на основании современных представлений о внутренней структуре эластомеров с применением классических принципов и положений механики сплошной среды и современных численных методов анализа краевых задач математической физики.
Совокупность результатов, полученных по построению теории определяющих уравнений и разработке технологии решения краевых задач термовязкоупругости эластомеров, отличается следующим:
1. Дано дальнейшее развитие (обобщение) физико-математической модели структу рно-неоднородных эластомеров с учетом объемной сжимаемости материала и зависимостей механических характеристик всех элементов структуры от температуры:
- для общего случая многокомпонентной системы полущены функционалы свободной энергии, энтропии, рассеяния, напряжений и «закон сжимаемости»;
- реализованы частные случаи разрабатываемой модели: построены определяющие выражения для однокомпонентной (усредненной но ансамблю свойств элементов структуры) модели, модели с линейной зависимостью механических параметров элементов неоднородности от температуры, приведены основные соотношения структурно-неоднородных эластомеров при малых деформациях. Путем выделения функции типа гидростатического давления получены определяющие уравнения, используемые при численном решении краевых задач термовязкоупругости эластомеров;
- разработана и практически реализована на ЭВМ методика параметрической идентификации уравнений состояния на базе данных макрофизических опытов и последующего решения задачи нелинейного программирования; .
9
2. На основе полученных соотношений термовязкоупругости структурнонеоднородных слабосжимаемых эластомеров разработана технология конечно-элементной реализации на ЭВМ трехмерных нелинейных (линеаризованных) задач:
- создано аналитическое и программное обеспечение для расчета конечных деформаций в телах из гиперупругих эластомеров в условиях генерирования высокого уровня нормальных напряжений и совместной работы высокоэластичных составляющих и металлической арматуры, в том числе и применительно к контактным задачам;
- в рамках кинематики наложения малых квазигармонических воздействий на состояние с равновесными конечными деформациями разработана и численно реализована на ЭВМ методика решения трехмерных динамических задач вязкоупругости для механически однородных тел и слоистых резинометаллических пакетов;
- в пространственной постановке реализован алгоритм численного решения связанных динамических задач термовязкоупругости с учетом диссипативного саморазогрева;
- в результате проведенных исследований получены решения задач, представляющих определенный теоретический интерес и имеющих непосредственное техническое приложение: кручение гиперупругого куба, расчет слоистого резинометаллического сейсмоизолятора, квазистатический и динамический расчет однородных и слоистых по толщине амортизаторов (виброизоляторов) в форме параллелепипеда и цилиндра при различных направлениях нагружения, анализ температурных напряжений в резинометаллических структурах в условиях диссипативного разогрева.
Результаты, касающиеся теории определяющих уравнений и их практического применения в контексте реализации современных численных методов решения краевых задач, опирающихся на вычислительные ресурсы современ-
10
пых ЭВМ, являются основой для изучения широкого спектра практических задач, связанных с прогнозированием работоспособности и долговечности резинотехнических изделий: амортизаторов и уплотнителей различной формы, гибких связей, муфт, тонкостенных конструкций различного назначения, трансплантационных элементов и др., используемых в приборостроении, биоинженерии и других отраслях экономики и жизнедеятельности.
Проведенные в работе исследования базируются на сформулированном
A.A. Ильюшиным принципе макроскопической определимости /1/, согласно которому любая термомеханическая макроскопическая величина в заданной точке тела в любой момент времени однозначно определяется историями деформации и температуры в этой же точке, причем напряжения и тепловой поток являются искомыми функционалами памяти этого процесса. Утверждение о локализации термомеханических процессов в макрочастице позволяет находить искомые функциоишты из экспериментов с однородным напряженным и деформированным состоянием на образцах конечных размеров. Если сформулировать исходную проблему в классе термомеханически простых материалов, для которых функционал свободной энергии не зависит от градиента температуры, то основная задача построения замкнутых систем уравнений для исследуемого материала состоит в конструировании и конкретизации функционала свободной энергии, на основании которого в последующем строятся уравнения состояния, функционалы энтропии, рассеяния и условие механической сжимаемости.
Проблема формулировки уравнений состояния при конечных деформациях, в том числе и дія высокоэластичных материалов, является объектом интенсивных исследований, выполненных в течение последних нескольких десятилетий. Результаты этих исследований приведены в фундаментальных монографиях Ильюшина A.A. /1/, Лурье А.И. /2/, Гольденблатта И И. /3/, Новожилова В.В. /4/, Гузя А.Н. /5/, Работнова Ю.Н. /6/, Грина и Адкинса /7/, Локетта /8/, Дэя /9/, Грусделла /10/, Хаазе /11/, Кристенсена /12/ и др. Построена общая
11
теория определяющих уравнений вязкоупругих материалов с затухающей памятью. При этом для описания термомеханического состояния вязкоупругих материалов используются две гипотезы. Согласно первой из них состояние системы однозначно определяется функциональными зависимостями от истории движения и температуры. С учетом принципов детерминизма, локального действия и материальной независимости от системы отсчета первой гипотезе отвечают определяющие уравнения функционального типа /1,8-10,12/. Вторая гипотеза сформулирована как гипотеза о параметрах состояния /1,13/, согласно которой состояние системы описывается тензором деформации, температурой, градиентом температуры и конечным или бесконечным множеством внутренних переменных, которые удовлетворяют системам дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений эволюции и являются функционалами истории деформации и температуры. Построенные на основе вышеуказанных гипотез уравнения состояния отличаются максимальной общностью и подлежат дальнейшей поэтапной конкретизации /14/. Ог раничения, накладываемые на исходные функционалы и определяющие уравнения, можно условно разделить на две подгруппы. Первую из них будем связывать с ограничениями физического плана, следующими из соответствующих законов термодинамики. Вторая группа содержит ограничения, свойственные каждому типу материалов в отдельности. Установление этой группы ограничений является основным этапом в решении вопроса построения определяющих уравнений для конкретного материала и, как правило, требует проведения большого объема экспериментальнотеоретических исследований.
В процессе «индивидуализации» уравнений состояния для сред функционального или интегро-дифференциального типов возникает необходимость во введении дополнительных предположений относительно вида этих уравнений. Примером теорий, построенных на таких предположениях, являются квазилинейная и главная /15,16/, конечная линейная /10,17/ и ряд других теорий.
12
Для учета зависимости механических свойств материала от температуры используется гипотеза о термореологически простом поведении материала (ТВС) /18/. Вопросам применения вышеуказанной гипотезы в общих теориях построения уравнений состояния и их конкретизации посвящено множество работ, из последних отметим монографию /14/, где с использованием соотношений термодинамики необратимых процессов автором построены различные варианты определяющих уравнений для обобщенных термореологически простых сжимаемых и механически несжимаемых материалов. Однако, использование приведенного времени существенно усложняет вид определяющих уравнений, углубляет степень их нелинейности и ограничивает сферу практического применения температурных теорий /19/. Для эластомеров изменение температуры приводит помимо горизонтального к вертикальному сдвигу экспериментальных кривых ползучести и релаксации, величины этих сдвигов различны в различные моменты времени, следовательно, эластомеры следует относить к материалам с термореологически сложным поведением.
В частном случае термоупругих материалов напряжения в любой точке изучаемого тела считаются зависящими только от текущих значений деформации и температуры. Функция свободной энергии является потенциалом для контравариантного тензора Коши. Частным случаем термоупругих материалов являются гиперупругие материалы. Именно этому случаю посвящены многочисленные исследования ученых. В работе /20/ приведен обзор наиболее популярных потенциалов для гиперупругих механически несжимаемых материалов, насчи тывающий двадцать четыре потенциала, предложенных с 1940 г. Вопрос о степени применимости того или иного потенциала в каждой конкретной задаче механики эластомеров остается открытым, теме не менее описание механического поведения эластомеров с помощью упругого потенциала общепризнанно, хотя единого мнения о форме его записи, пределах применимости и точности описания не выработано /21/. В ряде случаев полученные на основе упругих по-
13
тенциалов определяющие выражения для напряжений обобщаются на случай вязкоупругих материалов путем замены соответствующих упругих постоянных интегральными операторами Вольтерра /22-26/.
При расчете резинотехнических изделий, эксплуатируемых в условиях существования высокого уровня нормальных напряжений в резине (гонкослойных резинометаллических элементов, уплотнительных клапанов и др.), гипотеза о механической несжимаемости резины становится математически некорректной и принципиальным является учет малой объемной сжимаемости резины. В решении этой проблемы отмечено два подхода. Первый из них основан на модификации известного потенциала для несжимаемого материала путем введения дополнительных функций, ответственных за изменение объема /27-30/, второй - подразумевает введение новой системы инвариантов Коши-Грина /31,32/ с последующим переходом к потенциалу, содержащему ряд обобщенных модулей упругости, по величине которых можно судить о степени сжимаемости материала.
Альтернативой феноменологическому подходу при построении уравнений состояния является структурный подход, основанный на изучении реальной структуры макрочастицы, ее физических свойств и построении на этой основе математической модели материала. Значительный успех был достигнут в построении нелинейной статистической теории термоупругости, основы которой были заложены в работах Джемса и Гу га /33-35/, а в последующем в грудах Куна и Трелоара /36/. Дальнейшее развитие и физико-математическое обоснование статистической теории было дано в работах Флори, Морана, Волькенштейна и Нагаи /37/ и в основном сводилось к уточнению функции распределения цепных молекул. Статистическая теория правильно определяет зависимость механических свойст в эластомеров от температуры, однако не в полной мере учитывает особенности внутренней структуры высокоэластичных материалов, ставшими известными лишь благодаря современным достижениям в области химии
14
и технологии эластомеров /38-39/. Эластомеры являются макросетчатыми мик-ронеоднородными полимерами, состоящими из высокомолекулярной структуры (матрицы) и химически связанных с пей областей другой структуры (элементов неоднородности). Элементы неоднородности имеют микрогетерогенную структуру, в них сочетаются прочные химические и слабые межмолекулярные связи. Благодаря наличию гибкоцепной матрицы эластомеры проявляют в широком диапазоне температур (от температуры стеклования до температуры перехода в вязкотекучее состояние) способность к большим, почти обратимым деформациям.
В контексте современных представлений о структуре эластомеров дальнейшее развитие статистической теории структурно-неоднородных эластомеров было дано И М. Дунаевым /40-53/. Макрочастица эластомера была представлена как совокупность двух подсистем: высокоэластичной матрицы и элементов неоднородности различных типов, причем последние были наделены вязкоупругими свойствами. На основе статистической теории Джемса и Гута для высокоэластичной матрицы, а также феноменологических соотношений термовязкоупругости для элементов неоднородности автором получены определяющие выражения термовязкоупругости для механически несжимаемых эластомеров, явно зависящие от температуры и содержащие ряд параметров, имеющих физический смысл.
При решении краевых задач механики эластомеров перед исследователем возникает проблема выбора и параметрической идентификации определяющих уравнений. Возможность доведения постановочной группы уравнений задачи до числа во многом определяется степенью общности исходных соотношений, их адекватностью по отношению к термомеханическому поведению исследуемого материала. Немаловажную роль играет необходимый объем экспериментальных исследований и наличие программного обеспечения для корректной обработки эмпирических данных. Так в работе /54/ отмечено, что ис-
15
пользование определяющих уравнений в виде разложения Грина-Ривлина /55/ затруднено вследствие высокой чувствительности ядер соответствующих кратноинтегральных представлений к неточностям экспериментальных данных. В работе /56/ для нахождения модуля упругости и параметров ядра Ржаницына, конкретизирующих уравнения линейной теории вязкоупругости, предложен метод совмещения, основанный на экспериментальных данных по ползучести и релаксации. В работах /57,58/, где для решения этой же задачи использовались методы минимизации, продемонстрирована сильная зависимость полученных решений от начальных приближений, являющаяся следствием экспериментальной неопределенности относительных значений механических потерь. Поэтому в этих работах авторами предложено дополнительно учитывать данные по составляющим комплексного модуля при стационарных гармонических колебаниях. Увеличение объема экспериментальной информации сужает интервалы возможного изменения искомых параметров, однако, не гарантирует единственности решения соответствующей задачи минимизации, поскольку минимизируемые функционалы не являются строго выпуклыми. Сужение области определения варьируемых параметров может быть достигнуто путем постановки ограничений, следующих из физического смысла определяющих уравнений, что, в свою очередь, предъявляег определенные требования физического характера к исходной теории, которую искомые параметры конкретизируют.
Для определения параметров, ответственных за степень сжимаемости эластомера, необходимы дополнительные испытания. Так известны эксперименты при одноосном деформированном состоянии /58,59/, имеются методы определения сжимаемости резин, основанные на измерении длины образцов, подвергающихся воздействию гидростатического давления /60/. В работе /61/ разработан метод, отличающийся более высокой точностью и предусматривающий измерение суммарного объема цилиндрических образцов и инертной жидкости при воздействии гидростатического давления.
16
В настоящее время получают развитие новые технологии параметрической идентификации определяющих уравнений в МДТТ, основанные на решении обратных коэффициентных задач /62-64/, суть которых заключается в определении параметров материала по результатам серии механических испытаний с заданием внешних воздействий и измерением реакций на поверхности тела. Задача о нахождении распределения но объему упругих модулей в неоднородном линейно-упругом теле сформулирована в работе /64/. Задача - нелинейная, поэтому там же для ее решения предложены итерационные алгоритмы, основанные на идее двойственности, суть которых состоит в том, что для определения коррекции упругих модулей строятся функциональные уравнения, в правых частях которых фигурируют невязки между теоретически прогнозируемыми и экспериментально определяемыми на границе усилиями или смещениями. Заметим, что применительно к средам со сложными свойствами алгоритмы томографии потребуют разработки специальных экспериментальных программ, обоснования существования и единственности и разработки методов решения соответствующих коэффициентных задач.
Важным этапом изучения термомеханических процессов в телах из высокоэластичных материалов является разработка (выбор) и реализация эффективного метода решения соответствующей краевой задачи. Ввиду количественного многообразия типов и постановок краевых задач механики деформируемых тел обратимся лишь к некоторым из них.
Технология исследования статических и динамических задач механики деформируемого твердого тела в геометрически линейной постановке, включая стационарные, нестационарные и контактные задачи для тел неканонической геометрии, структуры и сложными свойствами, разработана в трудах Александрова В.М. с соавторами /65,66/, Бабешко В.А. с соавторами /67,68/, Брсховских Л.М. /69/, Ватульяна А.О. /70/, Воровича И.И. с соавторами /71,72/, Гринченко В.Т. и Мелсшко В.В. /73/, Майбороды В.П. /74/, Морозова Н.Ф. с соавторами
17
/75/, Новацкого В. /76, 77/, Партона В.З. и Кудрявцева Б.А. /78/, Пряхиной О.Д. /79/, Слепяна Л.И. /80/. Улитко А.Ф. /81/ и многих других. Из последних результатов в этой области отметим монографию /82/, где систематически изложены последние результаты по изучению динамического взаимодействия массивных тел с полу ограниченными слоистыми средами, обладающими сложными физико-механическими свойствами. В механике высокоэластичных материалов, практическое применение которых зачастую эффективно именно в области конечных деформаций, реализация аналитического аппарата линейной теории затруднительна. Этим обстоятельством объясняется резкое сокращение количества решенных в этой области практических задач по сравнению с линейной теорией. Тем не менее, возможности использования существующих идей и методов исследования линейных задач в механике эластомеров далеко не исчерпаны, соответствующий аппарат находит достойное применение в многочисленных примерах линеаризованных задач, связанных с изучением динамики и устойчивости предварительно нагруженных тел /51.
Наибольшее развитие за последнее время получили методы решения краевых задач нелинейной теории упругости и это обстоятельство напрямую связано с появлением и постоянным усовершенствованием парка вычислительных машин. На базе ЭВМ был создан мощный приближенный метод математического анализа - метод конечных элементов, были разработаны и получили многочисленное развитие эффективные методы нелинейного программирования. Методы решения геометрически нелинейных задач разработаны и реализованы в работах Одена /83/, Аргириса с соавторами /84, 85/, Аргириса и Сумео-нидиса/86/ и в других работах. Применительно к механике высокоэластичных материалов соответствующие математические процедуры были развиты в монографиях Одена /83/, Лавендела Э.Э. /87/, в работах Дымникова С.И. с соавторами /19/, Бидсрмана В.Л. и Жислина А.Я. /88/, Мюракава и Атлури /89/, Харху-рима И.Я. /90/, Гозмана Е.А. с соавторами /91/, Ля Толлека /92/, Гловински и Ля
18
Толлека /93/, Тумалы с соавторами /94/, Одена и Кикучи /95/, Зубова Л.М. с соавторами /96,97/, Медри с соавторами /98/, в ряде других работ, полное перечисление которых выходит за рамки настоящего изложения. Применительно к геометрически нелинейным контактным задачам соответствующие методы были развиты и практически использованы в работах Кравчука A.C. с соавторами /99-102/, Одена и Кикучи /103/, Ля Толлека/104/, Сниегса М.И. /105/, Клочкова К).В. и Николаева A ll. /106/, где использовался вариационный подход. Многочисленные аспекты реализации вариационного метода в решении задач механики систем с односторонними связями получили обобщение в моног рафии /107/. Из числа недавно опубликованных отметим работы /108-112/. Общим элементом в предлагаемых исследованиях является переход к конечномерной задаче с последующим решением системы нелинейных уравнений одним из известных методов: последовательных приближений, пошаговой линеаризации, Ньютона-Рафсона или путем их комбинирования /113/. Эффективный метод решения пространственных задач для тел сложной геометрии изложен в работе И.Н. Шардакова с соавторами /114/.
Применительно к геометрически нелинейным статическим и динамическим задачам теории вязкоупругости соответствующие методы были предложе-ны в работах в работах /23-25/, где авторы разыскивали решение в виде линейной комбинации координатных функций с искомыми коэффициентами, зависящими от времени. В работе /115/ для решения геометрически нелинейных задач вязкоупругости использовался метод степенных рядов.
Значительный интерес представляют задачи расчета напряженно-деформированного состояния тонкослойных резиноармированных элементов. Пионерской здесь следует считать работу Бидермана В.Л. /116/, касающуюся построения инженерных формул для расчета жесткости тонкослойных амортизаторов и прокладок. Аналитические и численные решения линейных задач, связанных с определением напряженно-деформированного состояния в тонких
19
слоях резины при сжатии и сдвиге в предположении о недеформируемости металлических слоев, были представлены в работах /117-119/. Обобщением такого подхода является учет физически нелинейного поведения резины при значительных уровнях гидростатического давления /120/. Гипотеза о недеформируемости армирующей фазы не позволяет оценить степень неравномерности распределения нагрузки но слоям деформируемого пакета, поэтому получила развитие теория контактирующих антиоболочек/121/, приводящая к необходимости удовлетворения условиям стыковки на многочисленных контактных поверхностях. Все же в наиболее полной постановке соответствующие исследования были проведены в работах /122,123/, где решение нелинейных пространственных задач было получено полуаналитическим МКЭ для тел канонической конфигурации (в форме тел вращения).
Связанные задачи термовязкоупругости составляют особый, сложный класс задач термомеханики деформируемого твердого тела. При наложении малых вибросоставляющих нагрузки на состояние с предварительными конечными деформациями в эластомерах наблюдается саморазогрев, который в условиях низкой теплопроводности материала и недостаточной теплоотдачи на поверхности может привести к разрушению изделия. Изучению общих проблем термомеханического сопряжения и решению конкретных связанных задач термовязкоупругости с учетом физической нелинейности материала посвящены работы Шепери P.A. /124/, Волосевика P.M. и Грача С. /125/, Хуань И. и Ли Е. /126/, Лавендела и Санкина /127/, Победри Б.Е. с соавторами /128-134/, Горелика Б.М. с соавторами /135/, Коста и Херда /136/, Громова В.Г. и Мирошникова
В.П. /137/, Демченко В.П. /138/, ученых украинской школы /139-146/, где при численной реализации связанных задач применялась формула Вильямса-Ланделла-Ферри. Приведенные результаты получили обобщение в монографиях /14,15,147/. В качестве основных методов решения уравнений движения и энергии использовались шаговый метод, метод квазилинеаризации и ВКБ, метод
20
последовательных приближений и их модификации. В работе /147/ отмечается, что шаговый метод является наиболее эффективным инструментом исследования связанных задач, позволяющим проанализировать как докритическое термомеханическое состояние, когда решение выходит на стационарное значение, так и закритическое, когда решение задачи либо вовсе не существует, либо имеет место бифуркация термомеханического состояния. Отличительной особенностью задачи, изучаемой в работе /138/, является использование уравнений состояния с явной зависимостью механических характеристик от температуры. В книге /19/ представлено полученное методом Бубнова-Галеркина решение плоской несвязанной стационарной задачи термовязкоупругости по расчету температурного поля в предварительно деформированном резинометаллическом амортизаторе.
Для реализации любой задачи механики деформируемого твердого тела на ЭВМ необходимо осуществить приведение исходных континуальных соотношений к конечномерной задаче (дискретизацию). Из возможных методов дискретизации приоритет в настоящее время принадлежит методу конечных (MIO) и методу граничных элементов (МГЭ), последовательное изложение которых можно найти в ряде фундаментальных монографий и работ обзорного характера /83, 148-158/ и в многочисленных других работах. Вопросы, исследуемые в различных приложениях и аспектах реализации этих методов, чрезвычайно разнообразны /159-166/. Применение МГЭ позволяет существенно сократить размерность разрешающей системы, метод обладает более высокой точностью в смысле определения полей напряжений /167/, однако в ряде случаев сто реализация затруднительна, как, например, для механически неоднородных тел и физически нелинейных задач. Преимущественными характеристиками МКЭ являются его «нечувствительность» к проблемам механической неоднородности и смешанных граничных условий, наличие исторически накопленных средств программного обеспечения и наработанных процедур дискретизации. Реал и-
21
зующие метод конечных элементов программные комплексы NON SAP, ANSYS, NASTRAN, ASKA, MARS и другие, транслируемые на современных мультипроцессорных системах типа CRAY х, VAX хх/ххх, CYBER ххх и др., ориентированы на решение определенных классов нелинейных задач, однако, вследствие многообразия нелинейного поведения материалов (в том числе и резиноподобных), они не могут быть оценены как универсальные. Громоздкая иерархия программных комплексов зачастую приводит к усложненной процедуре ввода исходных данных и сопряжена с большим объемом подготовительной работы. Кроме того, пользователь не имеет прямого доступа к программным модулям и должен довольствоваться существующими в предлагаемом инструментарии возможностями, что в значительной мере ограничивает творческую инициативу исследователя. Поэтому специализированные коллективы, занимающиеся решением проблемно ориентированных задач, в большинстве случаев склонны к разработке своего программного продукта, в ряде случаев более совершенного и гибкого в эксплуатации. При оценке эксплуатационных характеристик программных систем все большее внимание уделяется сервисному обслуживанию, а именно наличию пред - (описание проблемы, автоматическая генерация модели, ее проверка и корректировка) и мостпроцессорных (представление и визуализация результатов) разработок. Отметим, что сравнительная оценка методов конечных и граничных элементов по критерию минимума затрат машинного времени вряд ли будет целесообразной в условиях существования современного рынка ПЭВМ, оснащенных процессорами Intel Pentium III и ОЗУ объемом от 32 до 1024 Мбайт. Комбинирование МКЭ и МГЭ создает огромные возможности в технологии исследования сложнейших задач математической физики, включая и проблемы механики сплошной среды.
В заключение этого обзора приведем несколько работ, посвященных разработке методов решения контактных задач. Как продемонстрировано в работах /168-170/ для решения контактных задач, в том числе с учетом трения и
22
геометрической нелинейности, наиболее перспективным представляется использование итерационных процедур типа Удзавы-Эрроу-Гурвица, основанных на приведении задачи минимизации к задаче разыскания седловой точки функционала. Не исключено, что в каждом конкретном случае эффективными могут быть и другие методы нелинейного программирования: штрафа, релаксационные, скользящего допуска /171/, которые в сочетании с методами дискретизации составляют совокупность алгоритмических методов. По возможности эффективными оказываются подходы, основанные на совместном применении аналитических и численных методов. В качестве примера можно привести подход, реализованный в работе /172/. Из числа сравнительно недавних публикаций, посвященных численному решению конкретных контактных задач, можно представить работы /173-175/.
В процессе исследования трехмерных квазистатических и динамических задач механики эластомеров в настоящей работе особое внимание уделено отработке таких методов и алгоритмов, численная реализация которых технически возможна на общедоступных ПЭВМ стандартной конфигурации, а время численного решения рассматриваемых задач сопоставимо с отрезком рабочего времени инженера-исследовазеля, владеющего основами численных методов и
мкэ.
В объеме представляемой работы рассмотрены и решены следующие задачи.
Первый раздел посвящен построению и исследованию физических соотношений термовязкоупругости высокоэластичных материалов.
В объеме подраздела 1.1 в репере декартовой ортогональной системы координат приведены основные обозначения и определения, сформулированы основные соотношения механики и термодинамики для термомеханически простых материалов с памятью;
23
В подразделе 1.2 представлены основные гипотезы и допущения, положенные в основу построения определяющих уравнений структурнонеоднородных слабосжимаемых эластомеров. В отличие от соотношений, предложенных в работах /41-53/, предлагаемый вариант теории разрабатывается с учетом зависимости механических характеристик элементов неоднородности от температуры и реальной слабой сжимаемости материала. Дана конкретизация термомеханического поведения составляющих фаз макрочастицы: постулировано выражение свободной энергии для высокоэластичной части (матрицы), вычисленной в работе /52/ с учетом эффекта исключенного объема, приходящеюся на элементы неоднородности, функционал свободной энергии каждого из типов которых принят в виде квадратичного разложения по линейным функционалам истории деформаций с учетом зависимости механических характеристик элементов структуры от текущего значения абсолютной температуры.
Подраздел 1.3 содержит вывод функционала свободной энергии структурно-неоднородных эластомеров без уточнения механизма объемной сжимаемости. По известному функционалу свободной энергии элементов неоднородности на основании основного термодинамического равенства, являющегося следствием из закона сохранения энергии и уравнения баланса энтропии, получены соотношения для напряжений, энтропии и рассеяния, выраженные через главные кратности деформации макрочастицы и элементов структуры. С учетом непрерывности векторов перемещений и напряжений на поверхностях контакта высокоэластичной матрицы и элементов неоднородности решением системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода установлена функциональная связь между мерами деформации элементов неоднородности различного типа, а также их зависимость от мер макроскопической деформации и абсолютной температуры. Последняя связь позволяет построить выражение для функционала свободной энергии, представленное через значения структурномеханических параметров элементов структуры, макроскопические меры де-
24
формации и температуру. При этом макроскопическое ядро релаксации сложным образом зависит от функций влияния всех микроструктурыых подсис тем, а также предшествующих и текущего значений абсолютной температуры.
Подраздел 1.4 посвящен учету механической сжимаемости эластомеров. На основании разработанной физико-математической модели макрочастицы и феноменологического закона Мурнагана /28/, записанного с учетом температурных деформаций, конкретизирован механизм объемной сжимаемости эластомеров. Подчеркивается, что в дальнейшем представление функционала свободной энергии через главные кратности деформации проблематично с точки зрения построения определяющих уравнений, используемых при решении краевых задач, поскольку приводит к необходимости рассмотрения сложных зависимостей в последних от инвариантов мер деформации Коши-Г'рина /5/. Поэтому построение определяющих соотношений для общего случая неоднородного напряженно-деформированного осуществляется на основании приближенного выражения для функционала свободной энергии, полученного путем разложения главных кратностей деформации и слагаемых, зависящих от относительного изменения объема, в ряды с последующим редуцированием части слагаемых третьего и четвертого порядков малости. Коэффиценты разложения являются функциями структурно-механических параметров материала и температуры. Сформулирован закон механической сжимаемости материала, при этом функция типа гидростатического давления аппроксимируется полиномом восьмой степени относительно градиентов перемещений. В окончательном варианте функционал представлен через меры деформации Коши-Грина и функцию типа гидростатического давления.
В подразделе 1.5 на основании построенного в классе термомеханически простых материалов функционала свободной энергии структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров термодинамическим методом получены выражения для напряжений, энтропии и рассеяния. Большинство из
25
конкретизирующих эти соотношения параметров имеют физический смысл. Наличие теоретически найденных зависимостей механических характеристик от температуры упрощает технологию параметрической идентификации теории, стимулирует ее практическую применимость, особенно при решении задач с неоднородным и нестационарным модем температуры.
Подраздел 1.6 ориентирован на изучение предлагаемой модели макрочастицы в предположении линейной зависимости механических характеристик элементов неоднородности от температуры. Показано, что в этом случае макроскопические функции влияния не зависят от абсолютной температуры, определяющие функционалы для напряжений, энтропии и рассеяния не зависят от истории температуры, плотность рассеяния механической энергии прямо пропорциональна абсолютной температуре.
Частному случаю однокомпонентной системы посвящены материалы подраздела 1.7. Модель такого типа можно рассматривать как первое приближение в процессе изучения более сложных многокомпонентных систем, когда все присутствующие в реалии типы элементов структуры наделяются усредненными по ансамблю физико-механическими свойствами. В процессе решения основного интегрального уравнения, определяющего зависимость между макроскопическими деформациями и деформациями элементов структуры, установлено, что в случае нестационарной температуры построение решения представляет собой достаточно сложную задачу, поскольку макроскопическое ядро представляет бесконечную сумму интегралов возрастающей кратности и может быть вычислено лишь при известной аналитической зависимости температуры от времени. При стационарной температуре порождающему слабосингулярному ядру Ржаницына-Колтунова отвечает макроскопическое ядро в виде обобщенной дробно-экспоненциальной функции, наделенной явной зависимостью реологических свойств от температуры. Отмечается, что полученные для простейших видов напряженно-деформированного состояния релаксационные уравне-
- Київ+380960830922