Методика численного исследования нелинейно-упругого квазистатического деформирования и контакта мягких оболочек в плоской и осесимметричной постановках

Содержание
Стр.
Введение.......................................................... 5
1. Основные инкрементальные соотношения нелинейной теории упругости ............................................................... 17
1.1 Инкрементальные геометрические соотношения................ 18
1.2 Тензоры напряжений, используемые е инкрементальном подходе...................................................... 21
1.3 Работа внешних сил и энергия деформации при пошаговом нагружении ................................................. 23
1.4 Использование упругого закона поведения материала в инкрементальном подходе........................................ 26
1.5 Вариационные уравнения, отнесенные к параметрам актуального, достигнутого и отсчетного равновесных состояний 30
1.6 Использование нелинейно-упругого уравнения состояния для материала с наложенными связями в пошаговом методе решения. 32
1.7 Вариационные постановки задачи на шаге нагружения.......... 36
2. Инкрементальные соотношения для задач нелинейно-упругого квази-статического деформирования тонких безмоментных оболочек в плоской
и осесимметричной постановках...................................... 39
2.1 Инкрементальные геометрические соотношения для тонкой безмоментной оболочки..................................... 39
2.2 Использование упругого закона поведения материала при пошаговом нагружении тонкой безмоментной оболочки........... 42
2.3 Несжимаемый гиперупругий материал. Материал Муни 47
2.4 Вариационные постановки задачи для тонкой безмоментной оболочки.................................................. 50
-3-
Стр.
2.5 Уравнения для нелинейно-упругого квазистатического деформирования тонкой безмоментной цилиндрической оболочки 52
2.6 Уравнения для нелинейно-упругого квазистатического деформирования тонкой безмоментной осесимметричной оболочки 56
3. Использование МКЭ, алгоритмов и программных средств при пошаговом численном исследовании задач нелинейно-упругого квазистатического деформирования и контакта мягких оболочек в плоской и осесимметричной постановках............................................... 61
3.1. Применение МКЭ к задачам нелинейно-упругого
квазистатического деформирования тонких безмоментных
оболочек в плоской и осесимметричной постановках................ 61
3.2 Алгоритм численного решения с использованием метода пошагового нагружения............................................. 65
3.3. Алгоритм вычисления матрицы жесткости и вектора сил на шаге нагружения............................................. 67
3.4. Алгоритм пошагового численного решения нелинейно-упругой квазистатической задачи нагружения мягкой оболочки.......... 70
3.5. Алгоритм пошагового численного решения нелинейно-упругой задачи контакта мягкой оболочки с жесткой плоскостью........ 74
3.6. Структура и состав программных средств..................... 79
4. Результаты численного исследования задач нелинейно-упругого квазистатического нагружения и контакта мягких оболочек в плоской и осесимметричной постановках........................................ 82
4.1 Использование метода пошагового нагружения в задаче накачивания цилиндрической пневмооболочки................... 82
4.2 Решение задачи накачивания цилиндрической пневмооболочки переменной толщины.......................................... 89
4.3 Решение задачи накачивания неоднородной по материалу цилиндрической пневмооболочки................................. 95
-4-
4.4 Решение задачи накачивания конической пневмооболочки 100
4.5. Решение задачи квазистатического деформирования тонкой безмоментной конической оболочки под действием центробежных сил......................................................... 107
4.6 Решение задачи контакта тонкой цилиндрической пневмооболочки с жесткой плоскостью...................................... 112
4.7. Решение задач накачивания и контакта торовой пневмооболочки с жесткой плоскостью...................................... 119
Заключение.......................................................... 129
Список литературы................................................... 131
-5-
Введению.
Современные требования, предъявляемые к конструкциям, заставляют при проектировании их элементов использовать новые виды конструкционных материалов, обладающих дешевизной, простотой изготовления и использования. К таким относятся тканевые, сеточные и пленочные материалы, применение которых обеспечивает эффективную эксплуатацию. Элементы конструкций, изготовленных из этих материалов - это мягкие оболочки (МО).
Благодаря своим отличительным достоинствам: компактности при транспортировке, быстроте развертывания и малому весу, конструкции, изготовленные из мягких оболочек, находят широкое применение в народном хозяйстве. МО используются в качестве пневмоподъемников [9], [17], [33], [70], амортизаторов [15], [58], устройств для крепления грузов при транспортировке [71], [75], контейнеров [76], аварийно-спасательных средств на флоте [1], пневматических плотин [48], [117], защитной надувной подушки водителя и камеры автомобиля [18], [121], перекрытий, тентов, ангаров [34], [48], [81], [84], парашютов, летательных аппаратов, искусственных спутников земли [27], [48], [81], и т. д. Подробно применение мягких оболочек изложено в обзорных работах [27], [29], [48], [71], [76], [81], [84].
Расчет МО является существенно нелинейной задачей. При исследовании квазистатического деформирования МО необходимо учитывать следующие особенности [8], [11], [15], [37]: отсутствие формы в недеформированном состоянии, большие перемещения, большие деформации, нелинейно-упругое поведение материала. Решения при больших упругих деформациях чувствительны к незначительным изменениям физических соотношений. Неспособность МО воспринимать сжимающие напряжения приводит к тому, что в процессе квазистатического нагружения она может состоять из двух различных зон [8]. Первая - растянутая зона, где главные натяжения положительны. Вторая - зона одноосного напряженного состояния, где одно главное натяжение
-6-
положительно, другое равно нулю. Последнюю зону можно рассматривать как совокупность несвязанных между собой гибких нитей.
Актуальными задачами, в которых необходим учет всех этих особенностей, являются задачи расчета пневматических амортизаторов и устройств для крепления грузов (Рис. 1). Такие конструкции обычно состоят из наполненных газом МО. Их работа [15], [71], как правило, происходит при больших упругих деформациях и состоит из двух этапов. На первом этапе оболочка нагружается до некоторого рабочего состояния, на втором происходит контакт оболочки с конструкцией существенно большей жесткости. В связи с этим, при решении необходимо рассматривать два типа нелинейных задач -накачивание и контакт. В задаче накачивания, помимо геометрической и физической нелинейностей, возникает необходимость учета возможной конструктивной нелинейности, обусловленной появлением заранее неизвестных складчатых областей. Решение контактной задачи требует использования нелинейного уравнения состояния газа. Здесь так же существует нелинейность, связанная с постановкой граничных условий на заранее неизвестной области контакта [57]. Вследствие малости массы оболочки, скорости накачивания и частоты вибрации грузов, инерционными силами в этих примерах можно пренебречь [15] и рассматривать квазистатическое нагружение.
Рис. 1.
-7-
Объектом научного исследования МО стали в 40-х - 50 -х годах 20 века. Изложение развития теории МО содержится в обзорах [2], [27], [35],. Среди многочисленных публикаций по теории мягких оболочек, выделим работы С. А. Алексеева [2-8], Л. И. Балабуха [11-12], В. Л. Бидермана [13-15], Б. Л. Бухи-на [13 -14], [18], А. С. Вольмира [21], Н. А. Галимова [22-25], Г. А. Гениева [26], А. С. Григорьева [30-32], Б. В. Гулина [35-38], Б. И. Друзя [39-41], [66], В. В. Ермолова [48], В. Д. Кулагина [66], В. Э. Магулы [66-70], А. Д. Москаленко [71], [75], В.В. Риделя [36-38], Н. П. Стрекозова [88-90], В. И. Ускжина [11], [92-100], К. Ф. Черныха [102 -104], H. A. Hart-Smith L. I. [114-116], J. Т. Oden [79], Ф. Отто и Р. Тростеля [81].
Наиболее исследованными являются задачи деформирования некруговых цилиндрических [39 - 41], [67], [81] и осесимметричных МО [3], [7], [17], [18], [21], [30], [32], [78], [79], [81], [88-89], [92-94], [96], [98 - 102], [114], [118]. Задачам теории мягких оболочек произвольной формы посвящено относительно немного работ [37], [55-56], [81], [87]. Контактные задачи рассматривались в работах [18], [57]. Обзоры по исследованиям
деформирования МО содержатся в работах [20], [52].
Способность мягкой оболочки к большим перемещениям уже при малых нагрузках заставляет четко различать раскройную и конечную формы. В соответствие с этим С. А. Алексеев [2] разделил задачи теории мягких оболочек на три типа. К первому типу относятся задачи, где при известной конечной форме, нагрузках и условиях закрепления определяется ее начальная или раскройная форма, ко второму типу применимы задачи, в которых по данной раскройной форме, нагрузках и условиях закрепления требуется найти конечную форму оболочки и ее НДС. В задачах третьего типа для предварительно напряженного состояния, считаемого известным, определяются изменение формы и НДС оболочки при действии дополнительной системы нагрузок.
В теории мягких оболочек задачи первого типа фактически являются обратными. Этим задачам посвящено небольшое количество работ [101].
В подавляющем же числе работ рассматриваются решения задач второго типа. Среди этих публикаций отметим работы содержащие
-8-
результаты конкретных исследований [8], [15], [18], [21], [37], [39-42], [55-57], [67], [77 - 79], [81], [94], [96] [102], [114] и др.
Для третьего типа задач В. И. Ускжиным разработана техническая теория МО [11], [92], согласно которой НДС разделяется на два состояния - основное и дополнительное. Основное напряженное состояние соответствует простому виду нагружения и в дальнейшем корректируется дополнительным состоянием, найденным из решения линеаризованной системы. Решение задач по технической теории позволяет приближенно учесть нелинейный характер деформирования и получить аналитические решения при умеренных деформациях.
По величине деформации схемы расчета МО делятся на нерастяжимые МО, МО с малыми деформациями, МО с большими деформациями. Каждая схема, в зависимости от поставленных целей исследования задач, вносит в решение определенные упрощения.
Нерастяжимым МО посвящены работы С. А. Алексеева [8], В. Э. Магулы [67], Ф. Отто и Р. Тростеля [81]. Изменение их формы происходит только за счет перемещений, при отсутствии деформации. К тому же, вследствие малости толщины, изгибные напряжения играют ничтожно малую роль и нерастяжимая оболочка рассматривается безмоментной. Таким образом, такая схема расчета является простейшей. В ней невозможно учесть свойства материала и внимание, в основном, уделяется формам раскройного и конечного состояний, а так же появлению зон складок.
Исследованию НДС МО в области малых деформаций посвящено наибольшее количество работ. Их можно найти в обзорных статьях [2], [27], [35]. [52].
Расчет МО при больших деформациях требует максимально точного учета геометрической, физической и конструктивной нелинейностей. Для этой области деформаций строгая модель МО получена В. И. Усюкиным в работе [95]. Характерной особенностью данной расчетной схемы является то, что в большинстве случаев нелинейные физические соотношения основаны на уравнениях состояний высокоэластичных сжимаемых и несжимаемых гиперупругих материалов. Закон их поведения описывается функцией
-9-
упругого потенциала (потенциальной энергией деформации). Различные виды упругих потенциалов рассматривались в многочисленных публикациях, среди которых выделим основополагающие работы А. И. Лурье [64], Р. С. Ривлина
[85], К. Ф. Черныха [106], Л. Т.Обеп [79] и др. Обзор таких работ содержится в
[86]. К высокоэластичным материалам относятся натуральные и синтетические каучуки, резины, некоторые виды полимеров, различные материалы биологического происхождения [105]. Их упругие деформации могут достигать 800 % - 900 %.
Для дискретизации нелинейной модели МО широко используются МКР и МКЭ. Применение МКР рассматривалось в работах Б. В. Гулина [37], В. В. Ри-деля [37], В. И. Усюкина [99], а так же в статьях [16], [111], [118]. Наиболее распространеным численным методом исследования МО является МКЭ. Он использовался в многочисленных публикациях [28], [79], [87], среди которых выделим работы В. Н. Кислоокого и В. К. Цыхановского [55-57]. Авторы использовали МКЭ для исследования задач деформирования и контакта МО различных форм при больших упругих деформациях.
Расчет современных оболочечных элементов конструкций, работающих при больших упругих деформациях, требует максимально точного учета нелинейных геометрических и физических соотношений. Решение таких задач может сопровождаться появлением многозначности решения, изменением определяющих соотношений при нагружении, диссипацией энергии и т. д. Все это приводит к трудностям при аналитическом решении, вследствие чего появляется необходимость использования численных методов.
Сложность метематической модели заставляет использовать при численном расчете итерационные методы, такие как метод сжимающих отображений, метод Ньютона - Рафсона, методы спуска и градиентной минимизации, методы поиска и т. д. Их обзор содержится в работах [79], [80]. Однако, они не всегда позволяют получить желаемый результат. Во - первых, могут существовать решения, при которых итерационный процесс расходится. Во -вторых, методы неприемлимы при многозначных решениях. В - третьих, они не учитывают "историю” нагружения.
-10-
Для учета этих особенностей, были разработаны схемы решения, при которых для некоторого известного НДС ищется решение при действии дополнительной нагрузки. Если дополнительная нагрузка мала, то математическую модель можно упростить. Значительное упрощение достигается за счет линеаризации основных соотношений. На основе этой идеи разработана теория наложения малой деформации на конечную. Изложение теории содержится в многочисленных публикациях, среди которых выделим работы С. И. Дымникова [44], Л. М. Зубова [53], Э. Э. Лавенделла [47], А. И. Лурье [64-65], А. Е. Green [113], R. S. Riviin [85], [113]. С использованием теории удается получить хорошие результаты для некоторых нелинейных задач при средних и больших деформациях.
С позиций теории наложения малой деформации на конечную [44], [47], создан метод пошагового нагружения. Он является одним из самых эффективных методов решения нелинейных краевых задач и с его помощью возможно проводить исследования промежуточных состояний, учитывать историю нагружения, определять решения в случае их многозначности и т. д. Последовательное приложение к телу приращений по нагрузке позволяет естественным образом, после решения задачи нагружения, продолжить решение контактной задачи и, таким образом, получить полную картину нелинейного деформирования.
Общее изложение метода дано в работах В. Г. Баженова [10], С. И. Дымникова [43-47], С. А. Капустина [54], Э. 3. Лавенделла [45 - 47], [60], В. В. Петрова [82], С. В. Шешенина [107], К. J. Bathe [108-109], Р. G. Bergan [110], М. A. Crisfield [112], J. Т. Oden [79], E. Riks [119-120], K. Washidzu [19]. Применение к задачам деформирования и устойчивости оболочечных конструкций содержится у С. И. Дымникова [44], Э. Э. Лавенделла [47], В. В. Петрова [82], Р. G. Bergan [110], М. A. Crisfield [112], E. Riks [119-120]. Использование метода в контактных задачах изложено А. С. Кравчуком [59], К. J. Bathe [108-109].
В развитие идей В. 3. Власова В. В. Петров [82] использовал пошаговый метод для решения нелинейно-упругих задач изгиба и устойчивости пластинок и оболочек. Деформирование конструкции описывалось системой нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях. На шаге
-11 -
нагрузки производилась линеаризация системы. Для численного решения использовался метод Бубнова - Галеркина. Однако, несмотря на полученные хорошие результаты, предложеный подход обладает рядом недостатков. Так, в случае, когда конструкции свойственно изменение вида напряженного состояния при нагружении, приходится менять всю систему нелинейных дифференциальных уравнений и строить заново схему численного решения.
В монографии К. УУааЫсЬм [19] приведена инкрементальная вариационная постановка задачи с использованием принципа минимума потенциальной энергии и дано ее применение к МКЭ. При этом рассматриваются два подхода: в первом актуальные параметры выражаются через параметры отсчетного состояния (подход Лагранжа), во втором - через параметры достигнутого состояния (модифицированный подход Лагранжа). Рассматриваемые в работе "мертвые" силы на шаге по нагрузке не всегда позволяют эффективно проводить численное решение нелинейной задачи.
В работах Э. Э. Лавенделла, С. И. Дымникова [43-47], [60] метод пошагового нагружения имеет название дельта-метода. Здесь содержатся инкрементальные постановки нелинейных и линеаризованных задач для несжимаемых и слабосжимаемых материалов, алгоритмы их численного решения, показаны примеры и приведены экспериментальные данные. Однако, используемый в работах дельта-метод имеет ряд недостатков [44]: он оказывается "нечувствительным" к большим поворотам материальных волокон, неприем-лим для некоторых диаграмм нагружения, а область деформаций, где метод дает хорошие результаты, составляет не более 40 - 50%.
Из проведенного анализа литературы следует, что существующие методики инкрементального численного исследования нелинейно-упругих задач не позволяют при больших деформациях эффективно осуществлять решения, определять энергию деформации и работу внешних сил, контролировать выполнение закона сохранения энергии. Как следствие, вопрос построения эффективной методики инкрементального исследования при больших нелинейно-упругих деформациях остается актуальным.
В диссертационной работе представлена методика численного исследования нелинейных задач теории МО для больших упругих
-12-
деформаций. Она основана на использовании инкрементальных соотношений нелинейной пространственной теории упругости, содержащейся в работах [64], [91], [105]. Это позволяет помимо решения задач теории МО использовать методику для численного исследования других задач. С помощью методики возможно определять энергию деформации и работу внешних сил при больших упругих деформациях.
Целью диссертационной работы является разработка вариационной постановки нелинейно-упругой квазистатической задачи на шаге нагружения при модифицированном подходе Лагранжа, использующей тензор истинных напряжений и учитывающей действие "следящей" поверхностной нагрузки. Создание на ее основе эффективной численной методики, алгоритмов и программных средств для исследования в геометрически и физически нелинейно-упругой плоской и осесимметричной постановках квазистатических задач деформирования и контакта МО для больших деформаций.
Защищаемые положения диссертационной работы.
1. Вывод инкрементальных соотношений и варианта вариационной постановки нелинейно-упругой квазистатической задачи на шаге нагружения при модифицированном подходе Лагранжа, использующей тензор истинных напряжений и учитывающей действие “следящей" поверхностной нагрузки.
2. Разработка методики пошагового численного исследования нелинейно-упругих квазистатических задач деформирования и контакта МО в плоской и осесимметричной постановках для больших деформаций.
3. Разработка с использованием МКЭ алгоритмов и программных средств решения нелинейно-упругих плоских и осесимметричных квазистатм-ческих задач деформирования и контакта мягких оболочек.
4. Решение новых задач нелинейно-упругого квазистатического деформирования и контакта МО при больших деформациях.
Научная новизна
Разработка инкрементальных соотношений и создание на их основе с применением модифицированного подхода Лагранжа, варианта вариационной постановки задачи на шаге, использующей тензор истинных напряжений и учитывающей действие "следящей" поверхностной нагрузки. Создание эф-