Смешанные вариационно-сеточные методы теории криволинейных стержней

Оглавление
Стр.
Введение 3
Глава 1. Обзор ортогональных финитных функций 13
§ 1. Ортогональные финитные функции первой степени 13
§2. Ортогональные финитные функции второй степени 16
Глава 2. Вариационно-сеточные методы решения линейных задач 26 статики криволинейных стержней §1. Постановка и решение задачи о напряжённо-деформированном 26 состоянии полукольца в проекциях на оси естественного трёхгранника §2. Постановка и решение задачи о напряжённо-деформированном 35 состоянии полукольца в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат
Глава 3. Вариационно-сеточные методы решения нелинейных задач 85 статики криволинейных стержней §1. Постановка нелинейной статической задачи о напряжённо- 85 деформированном состоянии тонкого криволинейного стержня §2. Вариационно-сеточные методы и решения нелинейных 88 статических задач о напряжённо-деформированном состоянии тонкого криволинейного стержня
Глава 4. Вариационно-сеточные методы решения задач динамики 118 криволинейных стержней в проекциях на оси неподвижной декартовой
системы координат
Заключение 162
Список использованных источников и литературы 163
Приложение 179
2
Введение
Одним из основных средств решения краевых и эволюционно-краевых задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ), составляющих математические модели механических систем с распределенными параметрами, являются вариационно-сеточные методы (ВСМ), основанные на вариационных принципах МДТТ.
В методе конечных элементов совершается переход от сплошного тела с бесконечным числом степеней свободы к механической системе с конечным числом степеней свободы. При создании МКЭ существовавшие апробированные алгоритмы расчета статически неопределимых стержневых систем были использованы для решения двумерных и трехмерных задач теории упругости. В начале развития метода тело разбивалось на составные части, заменявшиеся стержнями, которые были связаны между собой в узлах. Неизвестными выступали узловые перемещения. В дальнейшем вместо стержней стали применять двухмерные и трёхмерные элементы заданной формы. Требуемое решение полностью определялось значениями в узловых точках. Первые вычислительные матричные процедуры МКЭ были созданы без применения вариационного исчисления. Основной работой развития метода конечных элементов в этом направлении была статья F. HrennikofF [ 134]. В работах И. Г. Бубнова [7] были предложены проекционные методы решения краевых задач. Он доказал [7], что уравнения метода Ритца могут быть получены без использования вариационной процедуры. Б. Г. Галёркин [16] развил и применил в расчетах конструкций метод И Г. Бубнова вне связи с какой-либо вариационной задачей. Первое математическое обоснование метода Бубнова-Галёркина применительно к интегральным уравнениям дал Ю.В. Репман [881. Г.И. Петров [80] получил аналогичные результаты для дифференциальных уравнений и обобщил данный метод. Методы Бубнова, Галёркина, Петрова служат базой для построения общих алгоритмов решения краевых задач, которые в определенных случаях без
з
использования вариационных принципов дают те же уравнения, к которым приводит метод конечных элементов. R. Courant [126] построил приближенное решение краевой задачи на основе вариационного принципа минимума потенциальной энергии с использованием кусочно-линейных аппроксимаций на треугольных элементах, что привело к стандартной пятиточечной разностной схеме для уравнения Лапласа. В данной работе была установлена связь между вариационными и разностными методами и определена вариационная основа метода конечных элементов. Впервые в методе конечных элементов стали применяться базисные функции с конечными носителями, что стало главным отличием вариационного метода конечных элементов от классических вариационных численных методов. Матрица сеточных уравнений приобрела ленточную структуру, что улучшило её обусловленность и позволило использовать методы решения ленточных систем алгебраических уравнений. J.H. Argyris [113] выявил связь не только метода перемещений, но и метода напряжений, с вариационными принципами механики, показав общность метода конечных элементов и вариационно-сеточных методов.
Основное развитие вариационно-сеточных методов механики деформируемого твёрдого тела было связано с применением вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно, отражающих экстремальные свойства одноименных функционалов. Функционал Лагранжа имеет в стационарной точке минимум, а функционал Кастильяно - максимум, что позволяет вводить так называемые энергетические нормы и соответствующие гильбертовы пространства, а также исследовать существование, единственность и сходимость решений. При их совместном использовании можно давать апостериорную оценку точности приближенных решений. У вариационно-сеточных методов “в перемещениях'’, построенных на основе вариационного принципа Лагранжа, есть ряд существенных недостатков, а именно: из-за высокого порядка входящих в функционал производных требуется высокая гладкость базисных функций; кинематические краевые условия необходимо выполнять заранее; низкая гладкость при-
4
ближенных решений для деформаций и напряжений, пол}"чаемых дифференцированием приближенных решений для перемещений; присутствие производных вектора перемещений в силовых краевых условиях. Основные недостатки вариационно-смешанных методов “в напряжениях”, основанных на вариационном принципе Кастильяно, состоят в необходимости использования тензорных полей напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и силовым краевым условиям, а также в сложности определения перемещений по приближенному решению для напряжений.
Е. Не11ш§ег [135] и Е. Яеюзпег [164] сформулировали вариационный принцип теории упругости, в котором независимо варьируются перемещения и напряжения. В отечественной литературе данный принцип называется вариационным принципом Рейсснера, а в зарубежной - Геллингера-Рейсснера В вариационно-сеточных методах, связанных с вариационным принципом Рейсснера, перемещения и напряжения аппроксимируются независимо, что сближает гладкость и точность приближенных решений для кинематических и силовых функций. При помощи вариационного принципа Рейсснера все краевые условия и уравнения удовлетворяются уравновешенно, в отличие от вариационного принципа Лагранжа, в котором из-за низкой гладкости приближенных решений силовых функций уравнения равновесия и силовые краевые условия нарушаются по крайней мере локально, особенно в областях с большими градиентами напряжений. Н.С. Ни [137], К. ’УУавМги [176] предложили вариационный принцип механики сплошных сред, в котором независимо варьируются перемещения, напряжения и деформации. Кроме того, что вариационный принцип Ху-Васидзу избавляет от операции дифференцирования перемещений при получении приближенных решений для деформаций и напряжений, он не требует, чтобы уравнения состояния были разрешены относитатьно деформаций. Развитие и исследование смешанных вариационных принципов является актуальной задачей и продолжается в настоящее время (см. [92, 133, 134]). В
5
смешанных вариационных принципах Рейсснера и Ху-Васидзу все краевые условия являются естественными.
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В настоящее время для решения краевых задач механики деформируемого твёрдого тела вариационно-сеточными методами наиболее часто применяются методы решения в перемещениях, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Функционал Лагранжа, имеющий экстремум, обеспечивает сходимость приближенного решения, получаемого для перемещений, при соответствующем выборе системы базисных функций. Используемые кинематически возможные поля перемещений обладают геометрической наглядностью и с помощью финитных базисных функций легко аппроксимируются в областях сложной формы. Но напряжения находятся дифференцированием приближенного решения для перемещений. Это приводит к значительному' снижению точности и гладкости приближённых решений для напряжений. В вариационно-сеточных методах, следующих из вариационного принципа Кастильяно, приближенные решения для напряжений находятся непосредственно, что повышает их точность. Однако функционал Кастильяно определен на статически возможных полях напряжений, построение которых является трудной задачей. Численные методы решения краевых задач механики деформируемого твёрдого тела, основанные на смешанных вариационных принципах, обладают рациональными алгоритмами и дают приближенные решения для перемещений и напряжений с уравновешенной точностью и гладкостью в широких классах задач теории стержней. Это определяется, в частности, следующими причинами: смешанная форма постановки задачи сводит изменение модели сплошной среды, как правило, к трансформации лишь уравнений состояния, во многих случаях незначительной; геометрические и физические параметры механической системы находятся в уравнениях движения и состояния вне дифференциальных операторов; краевые условия формулируются, как правило, без использования производных и поэтому в контактных задачах они также записываются в наиболее про-
6
стой форме; не возникает особенностей при решении задач для механически несжимаемых материалов. В смешанных вариационно-сеточных методах снижаются требования к базисным функциям. Это вызвано отсутствием ошибки аппроксимации производных геометрических и физических параметров, а также производных в краевых условиях. В результате повышается точность и гладкость приближенных решений, особенно в задачах с большими градиентами перемещений и напряжений и с особенностями в решениях. Одним из важных преимуществ является сравнительная простота программной реализации смешанных методов. Развитие численных методов, основанных на смешанных вариационных принципах, направлено на эффективное использование перечисленных возможностей. Оно берёт своё начало в 60-х годах двадцатого столетия и продолжается в настоящее время (см. [139, 147, 150, 157, 160]). Главным недостатком вариационно-сеточных методов является высокая размерность систем алгебраических сеточных систем уравнений для неизвестных узловых величин. Он усиливается в смешанных вариационно-сеточных методах. Вследствие одновременной и независимой аппроксимации перемещений и напряжений увеличивается число сеточных неизвестных. Недостатки смешанных методов устраняются при использовании систем ортогональных финитных функций. Исключение части узловых неизвестных до начала решения задачи на ЭВМ, возможное благодаря применению ортогональных финитных функций, делает смешанные вариационно-сеточные методы сравнимыми по числу арифметических операций, необходимых для получения численного решения, с вариационно-сеточными методами, основанными на вариационном принципе Лагранжа В задачах, где требуется нахождение как кинематических, так и силовых факторов, за счет исключения с части узловых неизвестных число операций существенно меньше аналогичного числа, характеризующего методику, основанную на совместном применении вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно. Смешанные вариационно-сеточные методы, основанные на применении ортогонатьных финитных функций, являются эффекгив-
7
ными при решении динамических задач механики сплошных сред, т.к. матрица Грама базисной системы ортогональных финитных функций становится диагональной, что устраняет необходимость ее обращения после выполненного согласно методу Канторовича перехода от эволюционно-краевой задачи к задаче Коши. Это особенно важно в задачах аэрогидроупругости, где элементы матрицы, умноженной на вектор производных по времени неизвестных функций приближенного решения, зависят от времени и поэтому возникает необходимость обращения матрицы на каждом шаге итерационной процедуры решения.
До работ &Ваи1е [115], ШаиЬесЫеБ [127], У.Меуег [152], 1.0.81гбтЬег§ [172], Рй.ТсЬашисЫап [173], Р.С.Ьетапе’ [141], в которых предложены первые непрерывные вейвлеты, в том числе ортогональные вейвлеты с компактными носителями [127], считалось, что условие ортогональности непрерывных базисных функций несовместимо их финитносгью. В работах [127, 22] построена теория ортогональных вейвлетов с компактными носителями и приведены примеры таких базисов, полученных с помощью кратномасштабного анализа [22]. Но главными недостатками функций [127, 22] являются их несимметричность и сложная структура Полная симметрия непрерывных вещественных ортонормированных базисов вейвлетов с компактными носителями, как показано в [127, 22], недостижима. Регулярность ортогональных вейвлетов с компактными носителями [22] является линейной функцией ширины конечного носителя. Характер функций, которые во многих случаях являются недифференцируемыми, а также их производных, если они существуют, осложняет применение функций в численных методах решения краевых задач. Ортонор-мированные базисы вейвлетов с компактными носителями, как правило, не удается записать в аналитической форме, и хотя их можно построить с произвольной точностью с помощью определенных алгоритмов, это также значительно осложняет использование таких базисных функций в численных методах решения краевых задач. ШаиЬесЫеБ [127] удалось соединить в одном
8
вейвлет-базисе три свойства, привлекательные для численного анализа: взаимную ортогональность базисных функций, все базисные функции получаются посредством сдвигов и растяжений одной порождающей функции, компактность носителей базисных функций. В тех задачах, в которых требуется симметрия и гладкость базисных функций, базисы I.Daubechies проигрывают базисам, построенным при помощи сплайнов. Поэтому разработка симметричных ортогональных финитных функций одной переменной, имеющих простую структуру и высокую гладкость для областей с криволинейными границами является актуальной задачей. Ее решение создает основу для построения смешанных вариационно-сеточных методов, обладающих рациональными алгоритмами и не имеющих недостатков классических смешанных вариационносеточных методов, а также основу для математического моделирования технических устройств, механических и других процессов. Построение таких вариационно-сеточных методов является актуальной задачей.
Значительный вклад в создание и развитие вариационных принципов МДТТ, численных методов МДТТ внесли: Н.П. Абовский, В.И. Агошков, КС. Бахвалов, И И. Ворович, В.П. Кандидов, А.И. Лурье, Г.И. Марчук, С.Г. Мих-лин, Б.Е. Победря, В.А. Постнов, Л.А. Розин, A.A. Самарский, В.И. Сливкер,
С. С. Чесноков, В. М. Фридман, J.H. Argiris, I. Babuska, J.H. Bramble, F. Brezzi, P.G. Ciarlet, R. Courant, G. Fix, E. Hellinger, H.C. Hu, J.T. Oden, T.H.H. Pian, W. Prager, C.A. Prato, P.A. Raviart, J.N. Reddy, E. Reissner, G. Strang, K. Washizu, O.C. Zienkiewicz. Большой вклад в создание и развитие теории вейвлетов внесли: G. Battle, С.К. Chui, A. Cohen, I. Daubechies, S. Mallat, Y. Meyer, J.O. Stromberg. Значительный вклад в развитие теории вейвлетов внесли Н.М. Астафьева, М.З. Берколайко, В.А. Жедудев, В.Ф. Кравченко, P.A. Лоренц, Т.П. Лукашенко, С.М. Машарский, В.Н. Малоземов, И.Я. Новиков, В.И. Пустовойт, В.А. Рвачев, A.A. Саакян, М.А. Скопина, С Б. Стечкин, H.A. Стрелков, Ю Н. Субботин, Н.И. Черных.
ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является:
9
- построение ортогональных финитных функций второй степени, обладающих аппроксимирующими свойствами;
- построение эффективных смешанных вариационно-сеточных методов решения линейных и нелинейных статических задач и линейных динамических задач теории криволинейных стержней, в которых в качестве базисных берутся ортогональные финитные функции, построенные В.Л. Леонтьевым, а также ортогональные финитные функции, предложенные в данной работе;
- сравнение приближённых решений, полученных предложенными методами, с приближёнными решениями, полу ченными при помощи классических методов и с точными решениями;
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе вводятся новые непрерывные финитные функции второй степени, обладающие свойством ортогональности. На основе этих функций, а также других ортогональных финитных функций, предложенных и исследованных В.Л.Леонтьевым и его учениками, строится несколько смешанных вариационно-сеточных методов решения краевых и эволюционно-краевых задач теории криволинейных стержней. Построены алгоритмы методов в линейных и геометрически нелинейных задачах статики криволинейных стержней, в задачах динамики криволинейных стержней. Созданы компьютерные программы, реализующие эти алгоритмы, выполнены расчеты на компьютере, на основе результатов которых проводится сравнение методов и исследование их сходимости.
Предложенные в работе и другие используемые для построения вариационно-сеточных методов ортогональные финитные функции обладают превосходством перед известными ортогональными финитными функциями [ПаиЬесЫеэ, , ...]. Они имеют более простую структуру, являются финитными и непрерывными суммами четных и нечетных функций, образуют системы ортогональных функций. Такие свойства делают эти функции предпочтительными для применения в алгоритмах численных методов. Сравнение с известными результатами показало высокую практическую точность методов, которая со-
ю
четается с алгоритмическими достоинствами, порожденными ортогональностью и другими свойствами применяемых функций.
ДОСТОВЕРНОСТЬ результатов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью постановки задач, сравнением предложенных методов их решения с классическими, сравнением приближённых решений одной из линейных статических задач с точными, сравнением приближённых решений на разных сетках, сравнением приближённых решений нелинейных статических задач с приближёнными решениями линейных статических задач.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Созданные системы ортогональных финитных функций и вариационные принципы являются средством математического моделирования физико-механических, технических устройств и процессов, а также построенные вариационно-сеточные методы являются инструментом исследования механизмов и конструкций, при котором проводится анализ перемещений и напряжений (функций и их производных). Полученные в диссертации результаты, отражённые в предложенных математических моделях и программах, могут быть использованы в практике научно-исследовательских и проектно-конструкторских организаций, связанных с решением прикладных задач, элементами которых являются криволинейные стержни.
НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ эффективные смешанные вариационносеточные методы приближённого решения задач теории криволинейных стержней, а именно:
- четыре метода решения линейных статических задач в проекциях на оси естественного трёхгранника (системы с постоянными параметрами), в которых в качестве базисных функций используются ортогональные финитные функции, построенные В. Л. Леонтьевым (два вида функций первой степени и один вид функции второй степени), а также предложенные в диссертации ортогональные финитные функции второй степени;
- два метода решения линейных статических задач в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат (системы с переменными парамет-
и
рами), в которых в качестве базисных функций используются ортогональные финитные функции, построенные В.Л. Леонтьевым (два вида функций первой степени);
метод построения системы дифференциальных уравнений, отвечающей геометрически нелинейной статической задаче теории криволинейных стержней;
два метода решения нелинейных статических задач в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат (системы с переменными параметрами), в которых в качестве базисных функций используются ортогональные финитные функции, построенные В.Л. Леонтьевым (два вида функций первой степени);
два метода решения линейных динамических задач в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат (системы с переменными параметрами), в которых в качестве базисных функций используются ортогональные финитные функции, построенные В.Л. Леонтьевым (два вида функций первой степени).
12
Глава 1. Обзор ортогональных финитных функции
В главе 1 дается обзор ортогональных финитных функций, которые используются в вариационно-сеточных методах. Функции трех видов введены и исследованы в работах [51, 145], ортогональные финитные функции четвертого вида вводятся и исследуются здесь.
В области ^2=[а,Ь]аЯ используется равномерная сетка XJ—jhy у е 2, х{ = а 9 хы = хх + (А/ — 1)/? = Ь, й = ф - а)/(/У - 1) - шаг сетки. Здесь Я - множество действительных чисел, 2 - множество целых чисел.
§1. Ортогональные финитные функции первой степени
1.1. Ортогональная финитная функция (а, 6», х) строится с помощью
свёртки [51]
х+1/2
Ч'х (а, &, х) = ^ (а, 0, х) * іу0 (о) = ]У0 (а, <9, *)&.
х-]/2
При этом используются:
1, хе(-1/2, 1/2)
О, х«(-1/2, 1/2)
- В-сплайн нулевой степени, и вспомогательная функция
-а/0, хє(-1 /2, -1/2 + 6»),
(2а + і)/(і-26»), хє(-1/2 + 6>, 1/2-6»), -а/0, х є (1/2+6», 1/2), О, хг(-1/2, 1/2)1
где от > 0, 0<<9<1/2.
Таким образом
¥/0(сг,6»,х) =
13
о, х >1, £(*-1)1 *е[1-<9, 4 &
Ч'1{а,0,х)^\-^^(х-\12)+112, хе[&, \-0\
1 — 20
—х + 1, хе[0, &1 &
д: < 0.
Преобразование Фурье функции !Р,(ог,0,х) обладает свойствами:
^(о)=1*0, ^{2ф0,
с14
^=2я7
поэтому, согласно теореме Стренга - Фикса [68, с. 148], справедлива оценка [51) аппроксимации произвольной функции и 6 Ж2* (<?,/>)
“-!>>*/(*)|
< сЛ||м|
И
линейными комбинациями базисных функций
^/(*) = Л‘1/2?Р;(а, &,(х -а)/И- у), (1.1.2)
где И'; - постоянные коэффициенты. Постоянная с не зависит от и(х) и от А.
Ортогональность (^(х),^(дс))=0 (/' Ф у ) функций (1.1.2) достигается при [51]
О<0 = <9[ <1/2, а = а, = -(0, +1)/ 2 + -20, + з)/4.
1.2. Каждому узлу сетки ставится в соответствие функция <Р,(Х) вида 1145]
<Р<(Х)= { * , ^е^,, х,.1+/г1]^[хм+А2, ж,];
-а +
А
2{ак+к1)
а(л2-л,)
(*«+**-4 ^екч+Л1, *«+*#];
14
а+1^С-Ь) (~Х^~к«+Х^ ХЛсєІхн+Ам» Х'-х+кгЪ
Хм^’ ^хє[*„ лс, + ^]и[х(+Аг, хм];
Р + {-*і~кі/+х\ Ухє[х(+А„ х, + *„];
Р + + к»~ х)’ \/х є [х( + ^, х.+А*];
О, Ухг[хн1, х(+1]}, (М 3)
где Ау = (/?! +А2)/2. Функции (р, (х) представляют собой В-сплайны первой степени (функции Куранта), несущие на себе пару "всплесков", за счёт которых (с помощью выбора параметров а, /?,/?,, Л2 ’ сс > 0, /? > 0, 0 < Л, < Уц < И) и
достигается ортогональность (?>/(*)> Р/(*))= 0 О * і) функций (1.1.3).
Преобразование Фурье Ф\{£) функции Ф\{х\ порождающей функции (1.1.3) по формуле <Pj(*) = Фі(х/И — у)9 при А, + И2 = 1, а = >8 — 1, обладает следующими свойствами [145):
<іФк)
Фх{0)*0, Ф,(2*) = 0,
</£
о^/ег.
(1.1.4)
<=2д?
поэтому, согласно теореме Стренга - Фикса [68, с. 148], справедлива оценка [145] аппроксимации произвольной функции г/ € УУ\ (я, А)
* ^іми
линейными комбинациями базисных функций (1.1.3),
где ^ ■ - постоянные коэффициенты. Постоянная с не зависит от и(х) и от И.
15
Пусть \ — О, И2 — И, то есть всплеск распространяется на половину конечного носителя классического В-сплайна первой степени. Чтобы выполнялось условие ортогональности, и функции обладали аппроксимирующими
свойствами (1.1.4), необходимо и достаточно, чтобы сс —
уЗ = (/2 -м)/ 2 . Таким образом функции (1.1.3) принимают вид [145]
<Р>(Х)=
л/2+1
А
л/2-1
А
л/2+1
А
(х —х^)+1, Ухе (х-х,)+1, Ухе
А
*ы + 2
А
лм + 2’
А" *' + 2.
А
*/ + 2»
О, Ух ё [хм, ■*,+)]}.
(1.1.5)
§2. Ортогональные финитные функции второй степени
2.1. Ортогональная финитная функция второй степени іР2{(Х^&^х) определяется [51] как свёртка функций ¥^(а,<9,х) и ^©(к):
^2(а,6>,х) = ^(а,6>,х)*^0(0)
Таким образом
4/2{а,0,х)={0, Ух >3/2;
-~(х-3/2)2, Ухе [3/2-0, 3/2];
_^.+1. (д; _ і)2 _1(у. ])_ 2ст + 2<9-1 Ух є [і /2 + 0, 3/2-0]; 2(і-20) ' 2К , 8 1 1
16