Взаимодействие магистральной трещины с микродефектами и микровключениями

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.......................................................... 5
Глава 1. Обзор исследований, посвященных взаимодействии» трешки н включений в деформируемых твердых телах....................... !0
1.1 .Системы трещин.......................................... 11
1.2.Взаимодействие макротрещины с микродефектами............. 16
1.3. Трещины с областями контакта............................ 29
1.4. Взаимодействие трещин при температурных нагрузках 34
1.5. Системы трещин и включений.............................. 39
Глава 2. Взаимодейст вие магистральной трещины с микротрещинами
............................................................. 46
2.1. Магистральная трещина и микротрещины иод действием растягивающей нагрузки.......................................47
2.1.1. Постановка задачи и основные уравнения........... 47
2.1.2. Микротрещины, расположенные в окрестности вершины макротрещниы............................................. 51
2.1.3. Сравнение с известными аналитическими решениями и с численными результатами, полученными методом конечных элементов................................................ 53
2.1.4. Выводы........................................... 58
2.2. Макротрещина и микротрещины иод действием поперечного
сдвига.................................................. 59
2.2.1.1 Іостановка задачи и решение методом матого параметра
.................................................... 59
2.2.2. Перекрытие краев трещины в случае сдвигового
нагружения.......................................... 67
Глава 3. Взаимодействие магистральной трещины с мнкротрещннамн
с учетом закрытия трещин..................................... 75
3.1. Система трещин с областями налегания и раскрытия........ 75
3
3.2. Постановка задачи с учетом закрытия трещин................ 78
3.3. Решение уравнений методом малого параметра................ 81
3.4. Коэффициенты интенсивности напряжении..................... 87
3.5. Численные результаты...................................... 88
3.5.1. Растягивающая нагрузка............................. 88
3.5.2. Сдвиговая нагрузка................................. 90
Глава 4. Макротрещина н микротрещины в условиях продольного
сдвига......................................................... 98
4.1. Постановка задачи и основные уравнения.................... 98
4.2. Решение методом малого параметра..........................100
4.3. Коэффициенты интенсивности напряжений и численные результаты.....................................................101
Глава 5. Влияние малых жестких включений на напряженно-деформированное состояние в окрестности макротрешины 106
5.1. Макротрещина и жесткие включения под действием растягивающей нагрузки.........................................107
5.1.1. Формулировка задачи и основные уравнения...........107
5.1.2. Решение системы уравнений методом малого параметра 111
5.1.3. Коэффициенты интенсивности напряжений..............113
5.1.4. Численные результаты и обсуждение..................114
5.2. Взаимодействие макротрещины и жестких включений в условиях поперечного сдвига....................................116
5.2.1. Формулировка задачи с учетом возможного закрытия макротрещины...............................................117
5.2.2. Решение задачи методом малого параметра............119
5.2.3. Вычисление коэффициентов интенсивности напряжений
......................................................123
5.2.4. Численные результаты и обсуждение..................124
4
Глава 6. Макротрещина п мнкродефскты под воздействием теплового потока.........................................................130
6.1. Задача теплопроводности для плоскости с магистральной трещиной и микротрещинами.....................................130
6.1.1. Постановка задачи и основные уравнения.............130
6.1.2. Решение интегральных уравнений методом малого параметра.................................................134
6.2. Задача тсрмоупругости....................................137
6.2.1. Основные уравнения.................................137
6.2.2. Решение уравнений и определение коэффициентов интенсивности напряжений..................................139
6.2.3. Определение критического теплового потока..........144
6.2.4. Численные результаты и обсуждение..................146
6.3. Задача о взаимодействии макротрещины и микротрещин под действием теплового потока с учетом закрытия трещин 149
6.3.1. Формулировка задачи................................150
6.3.2. Решение методом малого параметра...................153
6.3.3. Коэффициенты интенсивности напряжений..............157
6.3.4. Численные результаты...............................158
Глава 7. Учет микроструктуры материала волной инженерной модели
механики......................................................173
7.1. Модель ЕТМ...............................................174
7.2. Построение диаграмм ЕТМ с учетом микроструктуры материала
..........................................................176
7.3. Сравнение кривых ЕТМ и выводы............................178
Основные результаты и выводы.......................................185
Литература.........................................................188
5
ВВЕДЕНИЕ Актуальность ге.мы
Создание новых материалов таких, как композиты, и их широкое применение во многих отраслях промышленности привело к необходимости разработки надежных методов расчета прочности, трещиностойкости этих материалов и конструкций из них. В то же время процессы разрушения многих материалов, композитов, керамик, конструкционных сталей, горных пород сопровождаются образованием в окрестности магистральных трещин множества микротрещин f 122, 161, 179, 196, 197, 199, 235 250]. Присутствие микротрещин в концевых областях макротрещин во многом определяет сопротивление материала развитию в нем макротрещин - его трещиностойкость. По этой причине в последние годы уделяется большое внимание исследованию взаимодействия микротрещин и макротрещины.
Несмотря на большое количество работ, посвященных этой проблеме (см. обзор [313]), имеется недостаток исследований по вопросам взаимодействия макротрещнны с микродефектами, терморазрушения тел с макро- и микротрещинами, определения коэффициентов интенсивности напряжений с учетом структуры материала (микротрещии, включений частиц второй фазы).
В работе с единых позиций линейной механики разрушения исследуется взаимодействие магистральной трещины с произвольно распределенными микродефектами и с малыми жесткими включениями в плоскости иод действием механической нагрузки и температурных полей. Разрабатываются приближенные численно-аналитические методы решения этих задач.
Ранее в работах М.П.Саврука, В.В.Панасюка, А.П.Дацышин [83, 108, 109] были получены сингулярные интегральные уравнения для систем
6
произвольно расположенных трещин, а в работах Л.Т.Берсжницкого, В.В.Панасюка, Н.Г.Стащука [8, 11] даны сингулярные интегральные уравнения для систем жестких включений и трещин. Предложенные ими асимптотические и численные решения позволили исследовать только частные случаи взаимодействия двух произвольно расположенных дефектов или периодического ряда дефектов, что не всегда бывает достаточно при оценке трещи постой кости реальных материалов.
Предлагаемые в работе методы, основанные на вышеупомянутых сингулярных интегральных уравнениях и асимптотическом методе малою параметра, предложенном Н.Б.Ромалис и В.П.Тамужем [101], позволили исследовать влияние произвольных полей микротрещин и жестких включений на эффективное сопротивление материала распространению макротрещины.
Следует отметить, что большинство работ но взаимодействию .макротрещины с микродефсктами посвящено модели иолубесконечной трещины (218, 247, 280, 318, 320]. В данной работе рассматривается макротрещина конечных размеров.
Цель работы
Целью данной работы является разработка приближенных численноаналитических методов оценки эффективного сопротивления росту макротрещины в материалах с учетом возникновения мпкроповреждення и в материалах, армированных матыми жесткими включениями, под действием механических нагрузок и температурных полей.
Научная новизна
Разработаны приближенные численно-аналитические методы решения задач теории упругости для тел со взаимодействующими макротрещнной и совокупностью микротрещин и малых жестких включений и выполнены
7
исследования влияния геометрии систем микротрещин и включении на аффективное сопротивление материала распространению макротрещины при механическом нагружении и действии температурных полей.
Предложена методика исследования задач о макро- и микродефектах с зонами контакта, а именно, о взаимодействии макротрещины с микротрешинами под действием поперечного сдвига и растяжения, о макро- и микротрещинах под влиянием теплового потока, о макротрещине и малых жестких включениях при поперечном сдвиге.
Сформулированы задачи теплопроводности и термоупругости для упругой плоскости с магистральной трещиной в поле микротрещин под действием теплового потока и получены аналитические решения в виде рядов по малому параметру. Проанализировано влияние микрорастрескивания на критические тепловые потоки в окрестности макродефекга.
Ранее исследовались частные случаи взаимодействия двух произвольно расположенных дефектов, периодического ряда дефектов или полубесконечной трещины с микротрещинами.
Проведено исследование влияния структуры материала на оценку предельной нагрузки в инженерной модели К.-Н.8с)та1Ье [325] разрушения элементов конструкции с макротрещинами с помощью полученных приближенных аналитических решений задач о макротрещине, взаимодействующей с нолями микротрещин и малых жестких включений.
Достоверность
Достоверность полученных результатов основана на использовании классических подходов механики разрушения и теории упругости, строгости математических выкладок и приемов, сопоставлении полученных результатов с известными в литературе точными и
8
приближенными численными решениями. Анализ имеющихся в литературе экспериментальных данных показывает, что полученные в диссертации теоретические результаты согласуются с экспериментальными данными.
Практическая значимость
Создана теоретическая основа для расчета разрушения на стадии наличия макротрещин для тел, содержащих произвольные поля детерминированным образом расположенных микротрещин и малых жестких включений при воздействии на тела механических нагрузок и тем [ кратурз с ы х I юл ей.
Разработанные теоретические положения могут служить основой для оптимизации трещиностойкости материалов посредством управления их структурой, определяющей возможные закономерности возникновения и геометрию систем микротрещин.
Теоретические результаты диссертации использовались в учебном процессе Воронежского государственного университета и Латвийского университета (г.Рнга) при чтении спецкурсов, выполнении дипломных и курсовых работ, в учебном процессе университета Падерборна (Германия, 1997) при чтении лекций для аспирантов и сотрудников.
Апробации работы
Результаты работы докладывались и обсуждались: в школе "Современные методы в теории краевых задач" (г.Воронеж, 1992); на 8-й международной конференции по разрушению (Украина, г.Киев, 1993): на 2-й европейской конференции по механике твердого тела (Италия, г.Гснуя,
1994); на 30-й Польской конференции по механике твердого тела (Польша,
г.Закопане, 1994); в школе "Современные проблемы механики и математической физики" (г.Воронеж, 1994); на международном
9
симпозиуме по микроструктурным взаимодействиям в композитных материалах (Дания, г.Ольборг, 1994); на 8-й и 9-й международной конференции по механике композитных материалов (Латвия, г.Рига, 1993,
1995); на международной конференции по асимптотическим методам в механике (Санкт-Петербург, 1996); на 402-м европейском коллоквиуме по микромеханнке процессов разрушения (Германия, Зихайм-Дармштадт, 1999); на 20-м международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (США, г. Чикаго, 2000); на международном симпозиуме по аналитическим и численным методам механики разрушения неоднородных материалов (Великобритания, г.Кардифф, 2001); на 8-м Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г.Пермь, 2001); на семинарах Падсрборнского унивсрсита (Германия, г.Падербори, 1997); на научных сессиях Воронежского госуниверситета 1990-2002.
Работа в целом была доложена на семинарах: в Воронежском государственном университете, в Институте механики полимеров (г.Рига, Латвия), в Институте проблем механики РАН, в Тульском государственном университете, з Московском государственном университете.
Публикации
Содержание диссертации отражено в 26 работах, из них одна монография.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы. Объем работы: 223 страницы, 46 рисунков, 3 таблицы, список литературы из 367 наименований.
10
I.Viaна 1. Обзор исследований, посвященных взаимодействию трещин и включений в деформируемых твердых телах
Как показывают эксперименты [122, 196J, в процессе разрушения структурно- неоднородных материалов распространению макротрещины предшествует накопление микродефсктов впереди ее вершины. В то же время в таких материалах, как керамики, бетон, г орные породы, структура которых изначально трещиноватая, влияние микротрещин на распространение макротрещины является важным механизмом процесса разрушения. Вязкость разрушения в керамиках из-за микрорастрескивания исследовалась в работах [179, 197, 199]. Влияние микротрещин на макротрещину в горных породах и в бетонах изучалось в [161, 235, 250]. Следует отметить, что взаимодействие микротрещин с магистральной трещиной наблюдается также и в пластичных материалах, см. [48, 49, 122, 282,293].
Основы механики разрушения, методы решения, моделирование разрушения материалов отражены в монографиях [51, 64, 79. 80. 84, 96, 99, 105, 115, 116, 129, 135, 136] и недавно опубликованных книгах [130, 141, 142, 178,201, 257, 281, 283,294, 337, 356].
В последнее десятилетие появилось большое количество работ, посвященных проблеме влияния микрорастрескивания на распространение магистральной трещины. Такой интерес можно объяснить все более широким использованием в технике композитных материалов, а также созданием новых материалов. Все исследования можно в основном разделить на две группы: континуальный подход, когда материал с микродефектами заменяется эффективным однородным материалом с усредненными характеристиками, и дискретный. При дискретном подходе учитывается конкретная геометрия присутствующих дефектов и решается
11
соответствующая краевая задача. Данная работа посвящена в основном дискретной модели взаимодействия макротрещины с микродефсктами.
1.1.Системы трещин
Данные для анализа закономерностей распространения макротрещины в поврежденных материалах можно получить из многочисленных аналитических решений краевых задач о взаимодействии двух и более трещин при различных геометрических характеристиках и условиях нагружения. Многие решения можно найти, например, в справочниках по коэффициентам интенсивности напряжений [66, 110, 327, 330].
Разработанный Г.В.Колосовым [42, 43] и Н.И.Мусхелишвили [67, 69] метод решения плоских задач теории упругости с применением теории функций комплексной переменной позволил получить решение задач для плоскости с различными вырезами: круговым, эллиптическим, в виде прямолинейной щели, а также ятя колл и неарных трещин. Эти методы и до настоящего времени успешно применяются при решении плоских задач теории разрушения.
Точное решение ятя двух равных коллинсарных трещин впервые было получено T.J.Willmore [357]. В работе [82] получено точное решение в терминах эллиптических интегралов для коэффициентов интенсивности напряжений (KITH) в окрестности вершин двух коллинеарных трещин разной длины, находящихся под действием растягивающей нагрузки Т нормальной к трещинам. Если трещины имеют размер 2ао и 2а, а расстояние между внутренними вершинами трещим d (рис. 1.1, а), то КИН во внутренней вершине трещины длиной 2д0 определяется формулой
(1.1)
12
где К(цг) и £(</) обозначают полные эллиптические интефалы первого и второго рода, соответственно, с модулем определяемым как
'У
Ааа
а~ я---------^---------------------------------------------- (12)
(2а + с/)(2а0 +^) * ' '
Аг/о = - КИМ единичной трещины длины 2а0.
Точное решение для двух термоизолированных трещин под действием однородного теплового потока получено в работе [112]. Решение для трех коллинсарных трещин, двух равных трещнн,раеположснных симметрично относительно третьей (рис. 1.1, б), приведено в монофафни |8] и имеет вид
... (с2 - а1 Е(д) , с--Ь2
к//кю = 11Т2—гТт\' где чш~г------Г <1-3>
\Ь*-а2К(д) с“ -а~
Существует также точное решение в эллиптических интегралах для задачи о полубесконечной трещине, взаимодействующей с трещиной конечного размера на продолжении ее линии (рис.1.2) [318, 320]:
М*/оа Еу,7Ч г^' где «2“Т- (1>4)
(}К{ \-ч~) Ь
Точность приближенных решений задач взаимодействия макротрещины с микротрещиной часто проверяется путем сравнения с этими точными формулами.
Наряду с методами комплексной переменной для решения задач о взаимодействии трещин широко применяются методы сингулярных интегральных уравнений [18, 19, 62, 68]. Система сингулярных интегральных уравнений для плоскости с системой произвольно расположенных псперссскающихся трещин получена в [111] и приведена также в монографии [83]. В монографиях [83, 109] решение интегральных уравнений для задачи о двух произвольно расположенных трещинах в бесконечной плоскости получены методом малого параметра. Малый параметр принимался равным отношению характерной длины трещины к расстоянию между ними. Также применялся численный метод
13
механических квадратур (см. [45, 47, 31, I95J). В монографиях (83, 109] получены также интегральные уравнения и приведены их решения для произвольно расположенных трещин в полуплоскости, полосе и круговом диске, рассмотрены и периодически расположенные трещины в бесконечной плоскости.
В монографии [109] приведены комплексные потенциалы для задачи о криволинейных трещинах и даны их решения. В работе [107] рассмотрена система произвольно ориентированных трещин в упругом теле под действием продольного сдвига. Теоретическое исследование влияния двухосности нагрузки на характеристики разрушения тела с двумя коллинеарнымн трещинами проведено в [193].
Интегральные уравнения Фредгольма для системы трещин получены в работе [172]. Подробный обзор по вопросам построения интегральных уравнений для упругой плоскости с трещинами приведен в другой работе этого ж ора [174]. В работе [177] получены интегральные уравнения Фредгс ма для э?пачи о множественных дугообразных трещинах. Предложенный метод решения проиллюстрирован рядом примеров. Было получено, что, сслн маленькая трещина окружена большой, КИН в вершинах маленькой трещины снижается.
Построению интегральных уравнений для системы трещин посвяшсна работа [223]. Получены приближенные аналитические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений. Исследованию разрушения тел с периодическими системами трещин в упруго-пластическом материале посвящена статья [249] и приведен обзор работ по проблеме.
В работах [156, 157, 158] был предложен метод весовых функции для вычисления КИН нормального разрыва и продольного сдвига в вершинах коллинеарных трещин. Было показано, что коэффициенты интенсивности напряжений к{, к,, можно представить в виде интегралов по линии трешины L
14
к, = — fp(x)m(x)«k; *п = —
/Г L 7Г
где m(x) весозая функция, т(х)= aim Ф(х, с), а - константа, Ф -комплексный потенциал соответствующей граничной задачи. Для коллинеарных трещин комплексный потенциал был представлен в виде следующего ряда;
Ф(г)= £«*(г-с)А/2.
*—I
Проводя асимптотический анализ комплексных потенциалов и удовлетворяя граничным условиям на линиях трещин, задача сводится к системе алгебраических уравнений имеющих однозначное решение. Был предложен алгоритм для определения весовых функций системы коллинеарных трещин удобный для численной реализации задачи.
В работе [238] предложен метод неевдонапряжений для решения задач о системе трещин. Решение представлено в виде суммы нескольких вспомогательных проблем, каждая из которых содержит одну трещину, нагруженную неизвестными усилиями. Система сингулярных интегральных уравнений для определения неизвестных усилий на линиях трещин получена путем суперпозиции полученных индивидуальных полей напряжений и удовлетворения граничным условиям на каждой трещине.
Взаимодействие трещин в хрупких анизотропных материалах исследовалось в [149]. В работе [292] были получены сингулярные интегральные уравнения и предложен численный метод их решения для задачи о пересекающихся трещинах и трещинах, выходящих на границу раздела двух материалов или на границу круговою включения. Подобная сложная конфигурация трещин, но для неперссекающихся дефектов^ рассмотрена в статье [6]. Исследованию взаимодействия трещин в кусочно-однородном теле посвящена работа [132].
Jq{x)m(x)dx> L
15
В последние годы интенсивно развиваются методы комплексных гиперсингулярных интегральных уравнений (см. [54-56]), которые успешно применяются для решения задач о системах трещин, особенно в случае смешанных граничных условий. Применение метода объемных сил для численного решения гиперсингулярных интегральных уравнений задачи о трещинах обсуждается в работе [301]. В качестве примеров посчитаны коэффициенты интенсивности напряжений для краевых трещин, трещин с изломом, ветвящихся трещин и зигзагообразных трещин.
Взаимодействие произвольно расположенных дискообразных трещин исследовано в работе [248] и получены решения для коэффициентов интенсивности напряжении для ряда геометрий трещин. Работа [220] также посвящена исследованию взаимодействия произвольно ориентированных дискообразных трещин. С помощью решения для одиночной трещины и принципа суперпозиции задача сведена к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Получены асимптотические решения для КИН на контурах далеко расположенных дискообразных трещин. Задачи о дискообразных трещинах в полубескомечном теле и в упругой полосе рассмотрены в работах [221, 222].
Асимптотическое аналитическое решение для коэффициентов интенсивности напряжений на контурах двух компланарных дискообразных трещин дано в работе [361]. Взаимодействие двух параллельных дискообразных трещин исследовано в работе [363], а в работе [362] получены коэффициенты интенсивности напряжений для двух внутренних эллиптических трещин.
Проблеме трещин в пьезоэлектрических материалах посвящен!,! работы [206, 207]. В [206] исследовались пьезоэлектрические материалы с
16
одной трещиной, а в работе [207] с периодической системой трещин. В этих работах также дан небольшой обзор по проблеме.
1.2.Взаимодействис макротрещины с микродефектами
Макротреншна конечной длины и мнкродефекты
Система сингулярных интегральных уравнений, полученная в статье [111], была применена для решения задачи о взаимодействии магистральной трещины с системой произвольно расположенных микротрещин [101]. Для решения интс1ральных уравнении был предложен метод малого параметра, за малый параметр брали отношение длины микротрещины к длине макротрещины, то есть Х~а/а0. Получены аналитические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) для макротрещпны с точностью до второго приближения которое учитывает взаимодействие макротрещины t каждой из микротрещин. Эта аналитическая формула для КИП макротрещпны позволила проанализировать распространение макротрещины в произвольных полях микродефектов. Классифицированы зоны расположения микроповрежденин, приводящие к инициированию макротрещииы, а также к ее экранированию и торможению. Эти результаты приведены также в монографиях [103, 337].
Взаимодействие между краевой трещиной и дискообразными трещинами, которые лежат или в той же плоскости, или в параллельных плоскостях, рассмотрено в [243]. Следуя принципу суперпозиции, первоначальная задача представлена в виде ряда отдельных вспомогательных задач9 в каждой из которых содержится или краевая трещина, или одна дискообразная трещина. Удовлетворяя граничным условиям на трещинах, были получены сингулярные интегральные уравнения относительно неизвестных перемещений на поверхностях
17
трещин. Ядра интегральных уравнений, представляющие только влияние краевой трещины, получены с помощью метода весовых функций для трехмерных задач [159, 160, 252]. Значительное упрощение вычислений удалось достигнуть за счет представления усредненных нормальных перемещений на поверхностях микротрещнн в виде произведения константы на квадратный корень расстояния до поверхности краевой трещины. Получены коэффициенты интенсивности напряжений для некоторых расположений трещин. В частности^ показано, что дискообразная трещина, компланарная краевой трещине и лежащая в ее плоскости, вызывает увеличение КИН краевой трещины, в то время как компланарная, но лежащая вне этой плоскости дискообразная трещина, вызывает эффект экранирования.
В работе [104] исследована пространственная задача о взаимодействии круговой макротрещины с разноорнентнрованнымн микротрещинами и получено аналитическое выражение для коэффициентов интенсивности напряжения на границе круговой макротрещины в виде ряда по малому параметру, который равен в этой задаче отношению радиуса микротрещины к радиусу макротрещины; были рассмотрены трещины в изотропном материале и в трансверсально-изотропном материале [ 103, 104] (см. также [337]).
По.эубесконечная трещина и микродсфскты
Приведенные выше результаты посвящены исследованию взаимодействия конечной макротрещины с .микродефектами. Существует много работ о полубесконечной трещине и микродефектах, см., например, работы [218, 318 - 321], обзор [247]. Такие исследования осуществляются в рамках так называемого предположения о малом масштабе, т.е. принимается, что размер микротрещины и расстояние между ней и вершиной макротрещины малы по сравнению с размером макротрещины. В работе [320], кроме
18
выше приведенного точного решения, было получено также приближенное решение для полубесконечной трещины взаимодействующей с полубесконечным рядом периодически расположенных малых трещин. В другой работе этого автора [321] рассмотрено взаимодействие полубесконечной трещины с произвольно расположенным микродефектом: трещиной, круглым отверстием, круглым включением, упругим или абсолютно жестким. Для решения были использованы методы комплексных потенциалов, сингулярных интегральных уравнений и численный метод, основанный на квадратурных формулах Гаусса-Чебышева.
Коэффициент интенсивности напряжений макротрещины может или увеличиваться, или уменьшаться в зависимости от положения и ориентации микродефекта. Рассмотрим микродефект, положение которого определяется полярными координатами в координатной системе (г,в) с центром в вершине макротрещины (рис. 1.3). Величина угла 0, при которой расположенный микродефект не влияет на величину КИП макротрещины, называется нейтральным углом. В статье [321] было получено, что микродефект параллельный макротрещине и расположенный под углом 62° не оказывает влияния на КИИ макротрещины. В случае, когда микродефект - круговое отверстие, нейтральный угол равен 75°.
Для анализа взаимодействия полубесконечной макротрещины с микротрещиной в рамках самосогласованной модели в [318] было использовано представление микротрещииы точечным источником. Было показано, что результаты достаточно точные для практических целей. Исследованию взаимодействия полубесконечной макротрещины с произвольно расположенной микротрещиной посвящена работа [218]. Коэффициенты интенсивности напряжений для макротрещины были получены в виде рядов Тейлора по с/(1> где с - размер микротрещины, с1 -расстояние от вершины макротрещины до середины микротрещины.
19
Анализ решения показал, что микротрещина, расположенная на радиусе, выходящем из вершины макротрещины, всег да вызывает увеличение КИН (т.е. инициирует распространение макротрещины). В случае двух микротрещин, симметрично расположенных относительно макротрещины, решение нулевого порядка дает нейтральный угол 70°. Учет в решении членов более высокого порядка дает нейтральный угол 63° при <Ус= 1.5, что согласуется с результатами работы [321].
На основании решения, полученного в [218], в работах (280. 278] были построены области расположения микротрещин, приводящие к торможению макротрещины или, наоборот, к инициированию ее распространения. В работе [278] применялся метод конечных элементов и полученные численные результаты сравнивались с результатами аналитической модели [218]. Было получено, что микротрещины в окрестности вершины макротрешины и близко к ней расположенные способствуют распространению макротрешины. Методами, аналогичными предложенным в работе 1218], в |217] изучалось взаимодействие макротрещины с микротрещинами в условиях продольного сдвига.
Широкий класс задач плоской теории упругости для трещин, взаимодействующих с малыми дефектами, рассмотрен в монографии 1285]. Используя модифицированную весовую функцию [276], были получены КИН в вершине полубесконечной трещины, взаимодействующей с малыми неоднородностями, такими как выемки или включения. Было показано, что из-за линейности задачи, взаимодействие между трещиной и любым числом дефектов может быть определено суперпозицией взаимодействий трещины и каждого дефекта, если расстояние между ними больше размера микродефекта.
В работе [169] получено общее решение плоской задачи для .множественных трещин в зоне микрорастрескивания вблизи вершины полубесконечной трещины в упругом анизотропном геле. Система
20
Фредгольмовых интегральных уравнений была решена с использованием асимптотического поведения псевдонапряжений на краях макротрещины. Для проверки решения использовался также ./-интеграл.
В работах (167, 168] изучалось взаимодействие макротрещины с микротрещинами в трансверсально- изотропных пьезоэлектрических материалах. После численного решения интегральных уравнений Фредгольма были посчитаны традиционные КИН нормального отрыва и поперечного сдвига и коэффициент интенсивности электрических перемещений.
Макротрсщпна в пористом материале
Задача о бесконечной упругой изотропной плоскости с круговым отверстием решена Н.И.Мусхслишвнли [69]. Метод комплексных потенциалов, разработанный в [42, 43, 69], был также использован для решения задачи об упругой плоскости с эллиптическим отверстием. Интегральные уравнения задачи об упругой плоскости с круговым отверстием, взаимодействующим с системой трещин, получены в [83].
Работа [292] также посвящена построению интегральных уравнений для тела с отверстиями и трещинами, а в [174] дан обзор по этой проблеме.
В работе [279] исследуется взаимодействие между большим отверстием и произвольно расположенной системой малых отверстий^ находящихся под действием одноосного растяжения. Аналитическое решение, полученное методом комплексных потенциалов и методом суперпозиции, было использовано для определения изменения концентрации напряжений для различного расположения отверстии. Достоверность аналитического решения продемонстрирована путем сравнения с численными результатами, полученными методом конечных элементов, и с результатами, полученными методом фотоупругости.