СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...........................................................5
1. СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ И РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ НАГРУЗКИ В АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНАХ........................................17
1Л. Некоторые формы записи закона Гука для анизотропных тел........17
1.2. Основные соотношения классической теории изгиба Кирхгофа......20
1.3. Слоистые композиционные материалы.............................26
1.4. Применение функций комплексного переменного к решению
задач изгиба анизотропных пластин..............................30
1.5. Комплексные потенциалы для бесконечной анизотропной пластины 34
1.6. Анизотропная полунлоскостьноддействием сосредоточенных нагрузок......................................................36
1.7. Нагрузки, распределенные по линиям и площадкам................37
2. БЕСКОНЕЧНАЯ И ПОЛУ БЕСКОНЕЧНАЯ АНИЗОТРОПНЫЕ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ГЛАДКИМИ РАЗРЕЗАМИ И ГЛАДКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ.............................................................38
2.1. Постановка краевой задачи.....................................38
2.2. Общие представления решения...................................39
2.3. Сведение краевой задачи к системе сингулярных интегральных уравнений.....................................................42
2.4. Условия однозначности смещений и прогибов анизотропной пластины......................................................46
2.5. Приведение системы сингулярных интегральных уравнений к каноническому виду............................................47
2.6. Численная реализация метода сингулярных интегральных уравнений .... 54
2.7. Определение коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности вершин криволинейных гладких разрезов.........................58
2.8. Случай ветвящихся разрезов. Выход разреза на край отверстия...60
3
2.9. Результаты расчетов..............................................64
3. БЕСКОНЕЧНЫЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ПЛАСТИНЫ, СОДЕРЖАЩИЕ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ......................................73
3.1. Постановка задачи...............................................73
3.2. Потенциальные представления комплексных функций для конт>гров, на которых заданы углы поворота и прогибы...........................74
3.3. Система сингулярных интегральных уравнений......................75
3.4. Условия равенства пулю главного момента сил, приложенных к включению со стороны пластины....................................77
3.5. Асимптотические представления изгибающих моментов в вершинах жестких разомкнутых включений....................................78
3.6. Некоторые численные результаты..................................79
4. КОНЕЧНЫЕ АНИЗОТРОГН1ЫЕ ПЛАСТИНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ ГЛАДКИМИ ЗАМКНУТЫМИ КОНТУРАМИ И СОДЕРЖАЩИЕ СКВОЗНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ РАЗРЕЗЫ И АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ............................................................85
4.1. Постановка задачи...............................................85
4.2. Общий вид комплексных потенциалов для конечной анизотропной области, содержащей дефекты типа трещин, отверстий и абсолютно жестких включений................................................86
4.3. Приведение краевой задачи к системе сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями............................88
4.4. Квадратурные формулы и алгоритм численного решения..............95
4.5. Экспериментальное определение напряжений в консольной пластине.... 99
4.6. Результаты расчетов............................................104
4.6.1. Многосвязные консольные пластины.............................104
4.6.2. Круговая пластина с тремя осесимметрично расположенными отверстиями, нагруженная изгибающими моментами постоянной интенсивности но внешнему контуру...............................108
4.6.3. Прямоугольная анизотропная пластина с отверстием, изгибаемая моментами постоянной интенсивности, распределенными по торцам... 109
4.6.4. Кольцевая пластина, нагруженная сосредоточенной силой.....113
4.6.5. Круглая пластина, ослабленная трещиной....................116
5. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТНЫХ ПАНЕЛЕЙ..........................................................120
5.1. Постановка задачи...........................................120
5.2. Методы оптимизации..........................................121
5.3. Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием 130
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................135
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
136
5
ВВЕДЕНИЕ
Сегодня существует достаточно мощный аппарат вычислительных методов, и эффективное использование вычислительной техники для их реализации требует расширения границ исследования двумерных задач теории упругости.
К настоящему времени плоская задача теории упругости достаточно полно исследована, и методы решения возникающих краевых и контактных задач в пластинах с концентраторами напряжений в виде отверстий, трещин и включений, соответственно, хорошо развиты. Наибольший вклад в развитие этого направления внесли Грилицкий Д.В., Г'рпголюк Э.И., Инглис С.Е., Ирвин Г., Колосов Г.В., Калосров С.Д., Космодамианский А.С., Лехницкий С.Г., Максименко В.И., Миндлин Р.Д., Мусхслишвили И.И., Пелех Б.Л., Партой В.З., Попов Г.Я., Савин Г.Н., Саврук М.П., Си Г., Тамате О., Фильштинский Л.А., Флейшмаи П.П., Черепанов В.П., Шерман Д.И. и др.
Значительно менее исследованной представляется задача изгиба тонких пластин. Прежде всего, это объясняется приближенностью основных гипотез при решении задачи классической теории изгиба Кирхгофа, создающей определенные трудности и кроме того, при решении задач для пластин с трещинами возникает контакт берегов разреза, что приводит к ибявленшо сил в срединной плоскости пластины, т.е. одновременно с задачей изгиба необходимо решать плоскую задачу. Исследования по теории изгиба тонких плит связаны с работами Амбарцумяна С.А. [40], Артюхина Ю.П. [41], Берсжницкого Л.Т. [44-47], Вильямса М.Л. [32, 53], Грилицкого Д.В. [58, 59], Исиды М. [15, 16], Калоерова С.А. [63, 64], Лсхиицкого С.Г. [70-72], Пелеха Б.Л. [85, 86], Подру-жина Е.Г. [22-24, 76-80, 87-92], Попова Г.Я. [94], Прусова И.А. [95], Рейссне-ра Э. [38], Тамате О.[30, 31], Тимошенко С.П.- [102], Фильштинского Л.А. [73,103], ХасебеН. [6-11] и др.
Вильямс М.Л. на основе метода собственных функций исследовал распределение напряжений вблизи вершины прямолинейной трещины в изгибае-
б
мои изотропной пластине [53] и доказал, что в случае изгиба, как и при растяжении, особенность напряжений обратно пропорциональна квадратному корню расстояния от вершины трешииы. Кроме того, Вильяме М.Л. вместе с Эн-гом Д.Д. впервые рассмотрели изгиб ортотропной пластины с прямолинейной трещиной [1], расположенной вдоль одного из главных направлений. В работе [1] методом интегральных преобразований определено общее напряженно-деформированное состояние (НДС) в рассматриваемой плите, однако анализ асимптотических формул в окрестности вершины трещины выполнен не был.
В монографии [44] с использованием теории Кирхгофа и методов теории функций комплексного переменного систематизированы основные результаты для задач изгиба изотропных пластин с криволинейными вырезами или жесткими прямолинейными включениями, имеющими точки возврата на контуре.
Бережницкпй Л.Т., Садивский D.M., Онышко Л.И. рассмотрели задачу изгиба бесконечной анизотропной пластины, ослабленной прямолинейным разрезом [47]. Комплексные потенциалы определены с использованием конформного отображения внешности разреза на внешность единичного круга.
В работах Ирвина Л., Черепанова Г.П. [14, 106] доказано, что асимптотическое распределение напряжений не зависит от конфигурации дефекта.
Бесконечные пластины с трещинами и отверстиями.
В работах [15, 16] рассмотрены задачи изгиба бесконечных изотропных пластин, ослабленных системой прямолинейных разрезов. Использован метод разложения комплексного потенциала в ряд Лорана.
ГорбаньА.Г., Прусов И.А. [56] для решения задачи о прямолинейных трещинах вдоль прямой в анизотропной плите использовали метод сопряжения.
Задача изгиба анизотропной неограниченной пластины, ослабленной системой криволинейных иеиересекающнхся разрезов, нагруженной самоуравно-вешеиными усилиями, приложенными к берегам разрезов и изгибающими моментами на бесконечности, была решена Филыитинским Л.А. и Хандоги-ным В.И. [103]. В работе использован метод сингулярных интегральных урав-
нений. Полученная система уравнений дополняется вспомогательными условиями, накладываемыми па перемещения в пластине. Любчак В.А. совместно с Филыптппским Л.А. опубликовали работу [73], в которой подобным методом решена задача изгиба анизотропной полубссконечной плиты, имеющей криволинейные разрезы. В обеих работах [103, 73] осуществляется предельный переход от ортотропной среды к изотропной, получены соответствующие интегральные уравнения.
Широкий класс задач решен Хассбе I I. и его соавторами. В работах решены задачи для бесконечной изотропной полосы с двумя краевыми трещинами [6, 8], представлены результаты численного эксперимента для задач изгиба бесконечной изотропной пластины с трещиной, имеющей ответвления на противоположных концах [9]; рассмотрены задачи о трещинах на линии соединения полуиолосы и полубссконечной пластины [6], проанализированы изгиб изотропной полосы с уступом и трещиной [10], а также случай упругой полуплоскости, свободно опертой на прямолинейном крас с трещиной [II]. Решение во всех работах этого автора строилось с помощью метода комплексной переменной с использованием рациональной отображающей функции. Получены общие решения в замкнутой форме.
Максименко В.П., Подружин Е.Г. исследовали задачу изгиба бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием [77-79, 92]. Для построения решения используется конформное отображение внешности эллиптического отверстия на внешность единичного круга и обратное преобразование, а также процедура вычисления интегралов типа Коши по замкнутым контурам. Рассматриваются различные варианты краевых условий на контуре отверстия и различные варианты внешней нагрузки, определены в замкнутом виде выражения для действительных констант в случае решения первой краевой задачи.
Ряд задач изгиба бесконечных изогронных и анизотропных пластин решен в работах японских ученых [5, 12, 27]. В работе [5] рассматриваются задачи для пластин с трещинами, являющимися границами раздела материальных
сред. Другие работы [12, 27] посвящены задачам изгиба для пластин с эллиптическим отверстием, находящихся под действием сосредоточенного момента ч или изгибающих моментов на бесконечности.
Метод конечных элементов используется в работе Вильсона В. и Томпсона Д. [34], где рассматривается задача изгиба бесконечной пластины и полосы, ослабленных прямолинейными трещинами.
Шацкий И.П. предложил приближенный способ описания контакта берегов разреза при изгибе изотропной пластины в рамках двумерной теории Кирхгофа [107]. В данной работе напряженное состояние пластины, изгибаемой равномерно распределенными на бесконечности моментами, вне прямолинейного разреза описывается парой несвязанных бигармоничсских уравнений обобщенного плоского напряженного состояния и изгиба пластин. На контактирующих берегах разреза неизвестное контактное давление заменяется статически эквивалентной системой: нормальными усилиями в срединной поверхности пластины и изгибающими моментами. Для построения решения поставленной краевой задачи используется метод интегральных уравнений. В результате задача сводится к нелинейному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению, решение которого найдено в замкнутом виде, определены коэффициенты интенсивности усилий и моментов в окрестности концов разреза.
В работе Даляк Т.М. [60] представлены результаты численных расчетов по определению коэффициентов интенсивности напряжений в пластине с системой параллельных взаимносмещенных трещин, края которых контактируют.
В статье Хилла и Клементса [13] учитывается контакт берегов прямолинейной тренишы в анизотропной плите.
Тамате О. решил в рамках теории Рейсспера задачу изгиба бесконечной изотропной плиты с круговым отверстием и радиальной трещиной [30], используя для этого метод сингулярных интегральных уравнений.
Пластины с жесткими и упругими включениями.
Изгиб пластин, содержащих тонкое жесткое включение, исследован в
9
монографиях [44, 94, 95].
В монографии Бсрсжпицкого Л.Т., Делявского М.В. и Панасю-ка В.В. [44] впервые получено распределение напряжений в окрестности вершин прямолинейных жестких включений в изотропной пластине.
Подружил Е.Г. получил решение задачи изгиба для жесткого эллиптического включения в анизотропной пластине под действием сосредоточенной силы [22]. Неизвестные аналитические функции, дающие решение задачи, определяются с помощью конформного отображения внешности эллиптического жесткого включения на внешность единичного круга.
Грилицкий Д.В., Опанасович В.К., Драган М.С. исследовали задачи изгиба и кручения бесконечных изотропных плит с упругими линейными включениями [58, 59, 84]. В работах построена модель тонкого упругого включения, осуществлена постановка и решение задачи цилиндрического изгиба пластины с системой тонких прямолинейных упругих включений, нагруженной изгибающими и крутящими моментами на бесконечности. Задача сведена к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, решаемой методом механических квадратур.
Решение задачи изгиба упругих пластин, подкрепленных тонкими упругими незамкнутыми стержнями, сводится к определению контактных усилий взаимодействия пластины и стержня. В работах Они щука О.В., Попова Г.Я., Фаршайта П.Г. эти задачи приводятся к интегральным уравнениям со специальной характеристической частью [82, 83]. Для пластин с упругими линейными включениями переменной жесткости некоторые результаты можно най-ти в [35, 36]. Определение неизвестных контактных усилий сводится здесь к решению интегро-дифференциального уравнения со специальной характеристической частью.
Задача изгиба изотропных пластин, ограниченных многосвязными контурами, решена в статье Калосрова С.Д. [63] Метод основан на решении задачи сопряжения для разомкнутых контуров многосвязной области. В качестве примера рассмотрена круглая плита с центральной трещиной под действием
10
сосредоточенной силы.
Калоеров С.А. и Вакуленко С.В. исследовали задачу об изгибе бесконечной изотропной пластинки, имеющей отверстия, трещины и жесткие включения [64]. В основе метода определения НДС лежит решение в замкнутом виде задачи об изгибе бесконечной плиты с одним эллиптическим отверстием.
Основываясь на теории изгиба пластин Рейсснера, в работе [31] решена задача об изгибе упругой пластины, содержащей жесткое лентообразное включение.
В работе Хасебс II. [7] исследуется НДС полубесконечной изотропной пластины, вдоль прямолинейного края усиленной ребром конечной длины, у конца которого имеется прямолинейная трещина. Задача решается в комплексных потенциалах, причем область пластины конформно отображается на круг единичного радиуса. Исследуется зависимость коэффициента интенсивности напряжений от отношения длины подкрепляющего ребра к длине трещины.
Конечные пластины с дефектами.
Выделим некоторые работы но изгибу конечных изотропных и анизотропных плит, имеющих дефекты.
В работе Кулакова В.М., Толкачева В.М. [66] метод компенсирующих нагрузок используется для решения краевой задачи изгиба тонкой упругой изотропной пластинки. Исследуя свойства предельных значений встречающихся интегралов и производя их регуляризацию, авторы получают систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода для определения компенсирующих нагрузок. В работах [50 - 52] на основе метода компенсирующих нагрузок предложена методика решения задач изгиба конечных изотропных пластинок, имеющих различные условия опирання на внешнем контуре. Определяется общее НДС не только в пластине, но и в окрестности угловых точек. Задача сводится к регулярным интегральным уравнениям, которые решаются численным методом.
В статьях [44-46, 54, 74] рассмотрены различные приближенные методы
11
исследования изгиба круглой изотропной плиты с центральной трещиной. Изгиб защемленной прямоугольной и квадратной пластинки с трещиной рассмотрен в статье [43].
Исследования для кольцевой изотропной пластинки с жестко защемленными внутренним и свободным внешним краями под действием поперечной сосредоточенной нагрузки, приложенной в произвольной точке, проведены в работе [2]. Решение построено с использованием тригонометрических рядов.
В работе [101] рассмотрена изотропная пластинка, нагруженная в некоторой точке сосредоточенной силой. Внешний контур плиты незначительно отличается от кругового и жестко заделан, а внутренний - круговой, свободен от закрепления. Задача решена методом малого параметра.
В работе [62] решена задача об изгибе тонких изотропных пластин, имеющих форму сектора или кругового прямоугольника. Радиальные края изучаемых пластин упруго оперты, а дуговые края могут иметь любые условия опирания. С помощью метода декомпозиции уравнений получено приближенное аналитическое решение поставленной задачи.
Изгиб свободно опертой прямоугольной плиты с трещиной рассмотрен Гребняком С.Т., Поповым Г.Я. [57]. Здесь использовалась теория изгиба пластин Тимошенко С.П., учитывающая слабую сдвиговую жесткость материала. Задача сведена к интегральному уравнению, которое решалось методом ортогональных многочленов.
Кулиев С.Л. рассмотрел задачу изгиба анизотропной пластинки, ограниченной снаружи эллиптическим контуром, а изнутри круговым с двумя примыкающими разрезами одинаковой длины [67]. При помощи полиномов Фабера задача сводится к решению четырех систем бесконечных линейных алгебраических уравнений.
В работе [93] изучается изгиб шарнирно опертой прямоугольной орто-тропной пластинки с тонким жестким включением. С помощью преобразования Фурье задача сводится к интегральному уравнению, решение которого ищется в классе функций с нсннтс! рирусмыми особенностями.
12
Копнина В.И., Мельников Е.И. предложили решение задачи изгиба анизотропной эллиптической плиты с ннсцснтренным эллиптическим отверстием [65]. Внешний контур плиты или закреплен или свободен, а по внутреннему распределен изгибающий момент постоянной интенсивности. Метод решения задачи [65] основан на представлении искомых комплексных функций двумя рядами, один из ко торых содержит полиномы Фабера.
Применению метода конечных элементов к задачам изгиба конечных пластин, ослабленных трещинами, посвящена работа [3]. В данной работе использованы специальные сингулярные конечные элементы, причем аппроксимация сингулярных и регулярных конечных элементов осуществляется по-разному.
Представленный выше краткий обзор показывает, что существуют пробелы в исследованиях НДС анизотропных пластин в рамках классической теории изгиба Кирхгофа:
- в большинстве работ подкрепляющие элементы представляются в виде абсолютно жестких прямолинейных стержней, не рассматриваются включения, имеющие произвольную криволинейную форму;
- существующие исследования ограничиваются, как правило, единичными включениями, отсутствуют работы, рассматривающие взаимовлияние жестких ребер в анизотропных плитах;
- малочисленны исследования, рассматривающие взаимодействие криволинейных разрезов, гладких отверстий, тонких разомкнутых абсолютно жестких включений и двумерных абсолютно жестких включений в бесконечных и конечных анизотропных пластинах.
Недостатками приведенных в обзоре методов расчета можно назвать во многих случаях отсутствие универсального подхода при решении конкретной задачи (например, при использовании метода конформных отображений), большой объем вычислительных операций (решение с помощью уточненных теорий изгиба), большая размерность разрешающей системы уравнений (метод конечных элементов, метод конечных разностей).
- Київ+380960830922