Содержание.
Введение..............................................................3
1. Основные характеристики процесса конечного деформирования
1.1. Основные кинематические соотношения,
тензоры напряжений .....................................8
1.2. Вариационный принцип Журдена...................................12
1.3. Модели пластического и вязкопластического деформирования.......13
2. Конечное вязкопластическое деформирование цилиндрической
панели
2.1. Постановка задачи..............................................23
2.2. Решение при плоской деформации для
условия полной пластичности..............31
2.3. Решение при плоской деформации для ассоциированного закона
течения..................................36
2.4. Решение при плоском напряжённом состоянии
для ассоциированного закона течения............................45
2.5. Решение в случае плоского деформирования в рамках
вязкопластической модели.................51
2.6. Решение в случае вязкопластического процесса
деформирования с плоским
напряжённым состоянием...................60
3. Конечное пластическое и вязкопластическое деформирование
круговой оболочки
3.1. Постановка задачи..............................................73
3.2. Построение аналитического решения для идеально-
жёсткопластической модели...............................84
3.3. Построение аналитического решения для
вязконластической модели................................91
Заключение...........................................................98
Используемая литература.............................................100
2
Введение
Существенное изменение исходной формы твердых тел реализуется как в естественных условиях, так и в технологических процессах обработки давлением. При этом актуальной является задача определения оптимального сочетания свойств материала и термомеханических воздействий на него, позволяющих достигать требуемой формы изделия за минимальное число переходов. Одним из ограничений обработки давлением является ограниченность режимов устойчивого деформирования, когда внешняя нагрузка не убывает в процессе деформирования.
Ещё в 1938 году Ильюшиным A.A. была рассмотрена задача о конечных деформациях круглой мембраны под действием равномерного давления [19]. Использовался нелинейный закон связи напряжений, а решение было дано в виде рядов.
Позже Хилл Р. предложил решение для материалов с линейным деформационным упрочнением [95], при этом срединная поверхность мембраны в процессе деформации полагалась сферической. В монографии [16] приведено сравнение экспериментальных результатов нагружения диафрагм давлением жидкости с эмпирическими зависимостями напряжений от логарифмических деформаций. Установлено, что разрушение происходит после достижения давлением максимального значения вблизи полюса оболочки при уменьшающемся давлении.
В работе [36] Кудряшова А. В. была решена задача о вязкопластическом деформировании круглой оболочки. Результаты были представлены в виде бесконечных рядов.
Чумаченко E. Н. в своих работах [86, 87] для прогнозирования поведения оболочек при сверхпластической формовке использовал численное моделирование процессов (вычислительный комплекс SPLEN).
Панченко Е. В. и Селедкин E. М. при рассмотрении вопроса о сверхпластическом деформировании круглых осесимметричных
3
защемлённых мембран получили в работе [58] численное решение данной задачи на основе МКЭ.
Данной тематикой занимаются активно и за рубежом. Например, в статье Вержбицки и Флоренца [101] строится теория вязкопластического деформирования тел на основе анализа экспериментов с деформацией круглой защемленной вязкопластической оболочкой. В работе Попова и Нагараджана [100] при исследовании пластических деформаций осесимметричных оболочек, приводится решение линеаризованной системы уравнений в численном виде. В статье Kyohei Kondo и T. Pian [99] в задаче о жесткопластическом деформировании пластин рассматриваются нагрузки распределенные по круговому контуру.
Актуальность подобных исследований во многом обусловлена развитием новых технологий, использующих для получения изделий процессы пластического формоизменения с выходом в режим сверхиласгичности. Для ряда отраслей машиностроения в настоящее время многие задачи с успехом решаются благодаря использованию состояния сверхпластичности при обработке материалов.
Начало систематическому изучению явления сверхпластичности было положено классическими работами Л. А. Бочвара. Именно он дал название этому явлению и впервые предложил гипотезу механизма сдерхпластической деформации. Дальнейшие исследования способов подготовки материалов к режиму сверхпластичности проводились O.A. Кайбышевым, A.C. Тихоновым, B.C. Горбуновым, О.М. Смирновым, Е.У. Еникеевым, Танака К. и Ивасака Р., Нагаи Т. За прошедшее время советскими, российскими и зарубежными учеными изучено состояние сверхпластичности большого числа металлов и сплавов в диапазоне от лепсоплавких до тугоплавких. Кроме того изучены многие аспекты физической природы сверхпластической деформации, начаты исследования по механике течения сверхпластичных материалов.
4
Однако проблема адекватного моделирования процессов конечного пластического и вязкопластического формоизменения с учетом выхода в режим сверхпласгичности далека до завершения. Сложность её обусловлена существенной нелинейностью рассматриваемых физических эффектов и геометрической нелинейностью связанной с большими перемещениями, поворотами и деформациями. Исследования в данном направлении начаты сравнительно недавно. Они нашли отражение в работах A.A. Ильюшина, P.A. Васина, Г.Л. Бровко, И.А.Кийко, П.А. Моссаковского, Л.А. Толоконникова.
A.A. Маркина, A.B. Кудряшова, П.В. Трусова, A.A. Рогового, В.И. Лсвитаса, Фридмана П.А. и Гоша А.К., Кхалила М.А., Абдул-Латифа А., Ал-Наиба Т.М. и Данкана Д.Л., Кремпла Е.
Одним из основоположников технологического использования сверхпластичности является Я. М. Охрименко, который в конце 30-х годов наблюдал аномалию течения металла при штамповке колец из стали DIX 15 в области температур перлитного превращения. Эти наблюдения привели его к созданию в 1949 г. оригинальной методики исследования деформации сталей в процессе фазовых превращений [57].
Накопленный экспериментальный материал позволяет выделить три основных признака, сочетание которых характеризует состояние сверхпластичности.
1. Повышенная (по сравнению с пластическим состоянием) чувствительность напряжения течения сверхиластичных материалов к изменению скорости деформации.
2. Чрезвычайно большой ресурс деформационной способности (возможность деформировать сверхпластичные материалы при растяжении равномерно, без заметной локализации, до нескольких сотен процентов).
3. Напряжение течения материала в состоянии сверхпласгичности значительно меньше (в большинстве случаев в несколько раз) предела текучести, характеризующего тот же материал в пластическом состоянии.
5
Эффект сверхпластичности находит широкое применение в процессах производства оболочёчных элементов конструкций, в частности в процессах пневмостатической формовки. Поддержание режима- сверхпластичности.: позволяет повысить точность получаемого изделия, контролировать его. разнотолщинность и снизить энергозатраты на его производство.
В данной работе на основе общей термомеханической модели [43]; описывающей процессы упруговязкопластического и сверхпластического деформирования, построена математическая модель вязкопластического и идеально-пластического конечного деформирования оболочек в рамках мембранной теории.
В первой главе дано описание кинематики деформирования, приведены используемые меры и тензоры деформации и напряжения и их производные по времени. Для формулировки условия механического равновесия среды в-процессе деформирования, используется вариационный принцип Журдена. При этом дифференциальный оператор текущего состояния, поле тензора' истинных напряжений и поле скоростей рассматриваются в координатах начального состояния (лагранжевых координатах). В данном разделе приведены соотношения, определяющие вязкопластические свойства материала в процессах вязкопластического с учётом- выхода в режим сверхпластичпости конечного деформирования. В результате получена общая постановка задач описания процессов конечного деформирования в рамках моделей идеальной пластичности и вязкопластичности, включающей режим сверхпластичности.
Во второй главе рассмотрен процесс ■ конечного идеальножёсткопластического, • вязкопластического и сверхпластического деформирования цилиндрической панели под воздействием внешней нагрузки. Построена модель конечного пластического и вязкопласгического деформирования цилиндрической панели с учётом выхода в режим сверхпластичности. В рамках этой модели, получены точные аналитические
выражения для напряжений, деформаций и перемещений. Показано; что
6 :• •
устойчивость процесса деформирования панели повышается при сверхпластическом режиме. Установлены законы изменения приложенной нагрузки, соответствующие режиму сверхпластичности.
В третьей главе построена модель конечного пластического и вязкопластического деформирования круговой мембраны с учётом выхода в режим сверхпластичности. Исходя из этой модели, получены точные аналитические выражения для напряжений, деформаций и перемещений при условии полной пластичности .и приближённые при вязкопластическом деформировании. Из анализа законов изменения внешнего давления следует, что устойчивость процесса деформирования круговой мембраны повышается при приближении к режиму сверхиластичности. Установлен закон изменения приложенной нагрузки, используя который можно поддерживать режим деформирования близкий к режиму сверхпластичности. Сравнение полученных аналитических решений с известными экспериментальными результатами и численными решениями показало их удовлетворительное соответствие.
Работа выполнена на кафедре «Математическое моделирование» Тульского государственного университета. Целью данной работы является построение модели пластического и вязкопластического конечного деформирования тел в рамках теории мембран и получение на основе этого аналитических решений задач о конечном деформировании мембран.
Основные результаты по теме данной диссертации были доложены на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», г. Тула, 2009; на молодёжной научно-практической конференции «Молодежные инновации», г. Тула, 2009; на семинаре имени Толоконникова Л.Д., г. Тула, 2011; на регулярных научных семинарах кафедры Математического моделирования, г. Тула, 2008-2011.
По теме диссертации опубликовано 4 печатные работы, две из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.
Диссертация состоит из введения. 3 разделов, заключения, списка литературы из 101 наименования и содержит 105 страниц и 44 рисунка.
7
1. Основные характеристики процесса конечного деформирования.
1.1. Основные кинематические соотношения, тензоры напряжений.
Введём в нсдеформированной сплошной среде базис пространственных координат е и систему координат х1. Введём материальный базис 5 и
систему координат х%.
Движение сплошной среды будет определено, если известен закон изменения со временем компонент радиус - вектора произвольной точки среды в базисе начального, недеформированного состояния (в лагранжевых координатах) :
х1 - пространственные координаты;
х' - координаты начального состояния (лагранжевы координаты). Результатом дифференцирования по времени закона движения среды является поле скоростей точек среды выраженное через лагранжевы координаты:
А поле скоростей, выраженное через эйлеровы координаты, запишем в
виде
Исходя из представления о поле перемещений как й=х-х, запишем дифференциальное уравнение для поля перемещений:
Базис материальной (подвижной) координатной системы связан с законом движения среды выражением:
8
X - і)
или
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
- Київ+380960830922