ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ
ИССЛЕДОВАНИЯ...................................................5
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ...................................12
ГЛАВА 1. СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ В ВИДЕ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА СПЕЦИАЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ С КРУЧЕНИЕМ........................................................19
1.1 Геометрия детали......................................19
1.2 Образ процесса деформирования.........................20
1.3 Особые точки кривой деформирования....................21
1.4 Признаки дефорхмационных состояний....................25
1.5 Инкрементальные определяющие соотношения с особенностяхми .. 26
1.6 Потенциальное поле....................................29
1.7 Построение единого потенциала.........................32
1.8 Свойства, определяемые с-щиным потенциалом............37
1.9 Особые точки отображения пространства деформаций в пространство напряжений и области упрочнения и разупрочнения..42
1.10 Некоторые закономерности изменения приращений напряжений и
деформаций при малых деформациях..........................50
1.11 Пути деформирования и их отображения в пространство напряжений ..................................................57
1.12 Выводы по первой главе...............................63
ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНСТРУКТИВНОГО ЭЛЕМЕНТА, ОСУЩЕСТВЛЯЮЩЕГО РАСТЯЖЕНИЕ С КРУЧЕНИЕМ ДЕТАЛИ В ВИДЕ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА 65
2.1 Конструктивный элемент................................65
2.2 Жёсткое нагружение....................................66
2.2.1 Критические точки и критические значения отображения про-
2
странства параметров состояния в пространство параметров управления .....................................................66
2.2.2 Морсовские сёдла и критические точки потенциальной функции .......................................................72
2.2.3 Сепаратриса..........................................74
2.2.4 Дискриминантный конус и устойчивость процесса деформирования .....................................................76
2.3 Мягкое нагружение...........................................81
2.3.1 Критические точки и критические значения отображения пространства параметров состояния в пространство параметров управления .....................................................81
2.3.2 Вырожденные критические точки и сепаратриса модельной потенциальной функции........................................85
2.3.3 Дискриминантный конус и устойчивость процесса деформирования .....................................................87
2.4 Смешанное нагружение ....-..................................88
2.4.1 Критические точки и критические значения отображения пространства параметров состояния в пространство параметров управления .....................................................88
2.4.2 Вырожденные критические точки и сепаратриса модельной потенциальной функции........................................94
2.4.3 Дискриминантный конус и устойчивость процесса деформирования .....................................................96
2.5 Выводы по второй главе......................................98
Глава 3. ИТЕРАЦИОНЫЙ ПРОЦЕСС РАСЧЁТА ПАРАМЕТРОВ РАВНО-ВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ ....................................................99
3.1 Инкрементальный закон пластичности.........................99
3.2 Итерационная схема расчёта параметров равновесия механической
системы при её жёстком нагружении..............................102
3.2.1 Основная и корректирующая задачи.....................102
3.2.2 Алгоритм итерационного процесса......................103
3.2.3 Критерий сходимости итераций.........................105
3.2.4 Сходимость итераций и устойчивость процесса деформирования .......................................................108
3.3 Итерационная схема расчёта параметров равновесия механической системы при её мягком нагружении...........................109
3.3.1 Основная и корректирующая задачи.....................109
3.3.2 Алгоритм итерационного процесса......................110
3.3.3 Критерий сходимости итераций.........................112
3.3.4 Сходимость итераций и устойчивость процесса деформирования .......................................................113
3.4 Итерационная схема расчёта параметров равновесия механической системы при её смешанном нагружении........................113
3.4.1 Основная и корректирующая задачи.....................113
3.4.2 Алгоритм итерационного процесса......................115
3.4.3 Критерий сходимости итераций.........................116
3.4.4 Сходимость итераций и устойчивость процесса деформирования .......................................................117
3.5 Выводы но третьей главе....................................118
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................119
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................................121
4
ВВЕДЕНИЕ. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ
Постоянное ужесточение требований, предъявляемых к качеству элементов конструкций, требует внедрения в практику проектирования все более совершенных методов расчёта их прочности, долговечности, надёжности и живучести. Создание новых методов базируется на введении в рассмотрение свойств материалов, не учитываемых в традиционных теориях механики деформируемого твёрдого тела.
Долгое время характеристикой разрушения считали напряжение в высшей точке диаграммы деформирования. Однако теперь ясно, что эта точка является критическим состоянием, соответствующим потере устойчивости тела с трещинами. Разрушение заканчивается тогда, когда магистральная трещина полностью пересекает тело или образец при усилии, снижающемся до нуля [108].
Схема одновременного отрыва соответствует бесконечно большой скорости разрушения, то есть, по-существу, в этом случае разрушение является единовременным мгновенным актом, что, безусловно, является идеализацией процесса разрушения. В реальных же телах зарождение и развитие трещин происходит во времени на закритической стадии деформирования, когда напряжения снижаются до нуля при росте деформаций [108].
Состояние материала на заключительной (закритической) стадии деформирования характеризуется падающим участком полной диаграммы деформирования, которым закапчивается полная диаграмма деформирования. В настоящее время разработаны методики экспериментального построения полных диаграмм при различных видах испытаний: растяжение, сжатие, кручение, изгиб. Все эти экспериментальные методики основаны на увеличении жёсткости испытательных машин путём последовательного или параллель-
5
ного включения в силовую цепь последовательных упругих элементов [7, 13, 19, 29, 30, 52, 53, 50, 57, 89, 134, 142, 143]. Полную диаграмму можно также получить, используя сервоулравляемую испытательную машину, управление которой осуществляется автоматически с помощью электрического сигнала от датчика деформаций, прикреплённого к образцу. В этом случае реализуется быстродействующая обратная связь, позволяющая балансировать на грани безопасных напряжений для повреждённого образца [35, 115, 121, 129].
Непосредственное использование характеристик ниспадающей ветви, полученных в эксперименте, связано в большей степени с определением их взаимосвязи с особенностями кинетики образования и развития трещин, с кинетикой разрушения на стадии упрочнения, с параметрами трещи постой кости материала [49, 50, 51, 111]. Интерпретация же имеющихся многочисленных данных по закритическому деформированию в терминах присущего материалу свойства разупрочнения иногда встречает возражения [112, 131. 133], которые, в основном, сводятся к следующему:
1. падающая диаграмма является динамической характеристикой системы «образец - испытательная машина»;
2. закритическое деформирование заведомо неустойчиво и поэтому однородное квазистатическое деформирование образца, необходимое для определения связи напряжений и деформаций, принципиально не может быть обеспечено.
Эти возражения обусловлены двумя моментами:
1. интуитивным убеждением в применимости к реальным неодномерным телам тех выводов об устойчивости и неустойчивости, которые получены с помощью традиционных одномерных моделей сплошной среды;
2. отсутствием строгих результатов такого же рода для тех конфигураций и граничных условий, которые могли бы быть хоть сколько-нибудь сопоставимы с реальными условиями проводимых испытаний.
6
Контраргументы данных соображений приведены в работах [58, 83, 85, 86], в которых утверждается, что неустойчивые состояния материала могут быть реализованы, если этот материал находится в составе устойчивой механической системы. Осуществимость неустойчивых состояний существенно связана с неодномерностью тел и не имеет одномерных аналогов. Кроме того, полные диаграммы возможно построить, исходя из рассмотрения некоторых модельных структурных представлений твёрдого тела [14, 18, 79, 80, 81, 96, 103, 140], что также показывает осуществимость неустойчивых состояний материала. Особо отметим работы [91, 98], в которых сформулирована обратная некорректная задача по восстановлению полной диаграммы деформирования материала по диаграмме чистого изгиба балки прямоугольного поперечного сечения, нагружаемой по жёсткой схеме (контролируется радиус кривизны), и разработана методика решения этой задачи. Здесь напрямую используется принцип, утверждающий возможность существования неустойчивых состояний материала в устойчиво деформируемом теле. Изложенная в публикациях [91, 98] методика открывает новые возможности для определения свойств материалов, находящихся в состоянии разупрочнения.
В отличие от экспериментальных задач значительно меньшее внимание уделяется построению определяющих соотношений для разупрочняющейся среды, постановке краевых задач и их решению. Это объясняется тем. что на стадии разупрочнения не выполняется постулат Друккера (Drucker). Данное обстоятельство служило основанием для отбраковки моделей, допускающих работу материала на закритической стадии деформирования (стадии разупрочнения). Однако постулат Друккера-(Drucker), как это неоднократно подчёркивал сам автор [62, 123], не вытекает из законов термодинамики. На требование его выполнения следует смотреть, как на определение класса устойчивых материалов [78].
Наиболее удобными для описания в терминах закритического деформирования являются существенно структурно-неоднородные материалы типа гео-
материалов и бетона. Кроме того, грузонесугцие элементы породных массивов эксплуатируются чаще всего в режиме заданных деформаций, при котором реально появление зон разупрочнения. Предложен ряд моделей таких материалов, учитывающих запредельное деформирование, и разработаны некоторые приёмы расчётов на прочность [7, 33, 77, 82, 106, 117, 125]. При этом в определяющих соотношениях используется только один тангенциальный модуль, определяемый касательной к полной диаграмме деформирования, полученной либо при сжатии, либо при растяжении, либо при сдвиге. Зачастую в качестве тангенциального модуля на закритической стадии используется постоянный модуль спада, если принимается линейная апроксимация падающего участка.
Также полная диаграмма растяжения применяется при моделировании процесса продвижения трещин, когда предполагается существование 'гонкой: полосы у вершины трещины, в которой материал может переходить на стадию разупрочнения при одноосном растяжении [10, 16, 17, 25, 26, 27,116, 122, 136, 137, 138 ].
Наиболее естественным является применение падающих диаграмм в атомарных моделях. В простейшем случае кристаллическое тело моделируется некоторой решёткой, задаются массы частиц, помещённые в узлах решётки, закон силового взаимодействия между ними и записываются уравнения движения частиц. Непосредственное использование решёточных моделей позволяет с единых позиций рассматривать процессы деформирования, зарождения, накопления трещин и дефектов и их развития. Исследования проводят методами статики и динамики решётки. Как правило, используются потенциалы взаимодействия между атомами Лениарда - Джонсона (Lennard-Jones) и Морса (Morse), из которых зависимость сил растяжения от увеличения расстояния между атомами представляется полной диаграммой [6, 28, 46, 47]. В работах [60, 61] на основе введения нового потенциала формулируются необходимое и достаточное условия хрупкой прочности.
8
Отметим, что полная диаграмма деформирования при растяжении применялась для решения задач о разрушении некоторых стержневых и континуальных механических систем [3, 15, 40, 92, 118, 119].
В работах [39, 62] сделана попытка обобщить принцип градиентности вектора приращения пластических деформаций к поверхности текучести, отвечающей ассоциированному закону пластичности для упругопластических сред на разупрочняющиеся среды. Однако из приведённых теоретических положений неясно, как можно построить определяющие соотношения для сложного напряжённого состояния.
В работах [14,132] связь напряжений и деформаций на стадии разупрочнения определяется уравнениями нелокальной повреждённости, через параметр (тензор) повреждённости как для упруго-хрупкого повреждающегося материала. Но в них не приведены уравнения, позволяющие построить тензор повреждённости при произвольном пути деформировании. Таким образом, методы описания свойств материалов па стадии разупрочнения не разработаны так, как это имеет место в теории течения и деформационной теории пластичности.
Разупрочнение материала — есть внутренняя неустойчивость. Развитие зон разупрочнения приводит к потере устойчивости процесса деформирования всего тела. Однако в многочисленных исследованиях устойчивости механических систем и деформируемых тел не используются понятия деформационного разупрочнения материала [9, 31, 37, 38, 45, 48, 59, 109, 113, 114, 126, 127, 128]. Как правило, применяется подход Эйлера к определению критических параметров [109]. Исследуется единственность решения линеаризованных уравнений статики (без выделения стадии разупрочнения). Потерю устойчивости связывают с нетривиальной разрешимостью, которая возникает при вырождении некоторой матрицы, характеризующей свойства системы.
Гораздо менее исследованным является направление, связанное с устойчивостью относительно возмущений материальных функций, которые могут
описывать и неустойчивые состояния материала. Можно отметить работы [84, 86], где условие устойчивости равновесных конфигураций связывается с необходимостью выполнения неравенства Лдамара (Наёатагс!) [105] и формулируется определение разупрочнения материала для произвольного деформированного состояния. Наиболее последовательно разупрочнение материала используется для определения разрушения и устойчивости в работах 3. Ба-жанта (ВаЗсый 2.), обобщённых в монографии [120]. Здесь анализ устойчивости опирается на энергетические и бифуркаркационные методы и потеря устойчивости связывается с обращением в нуль второй вариации некоторого энергетического функционала.
При включении в рассмотрение закритической стадии деформирования материала возникает ещё одна проблема. Применяемые численные методы решения нелинейных задач, например, широко используемый метод упругих решений, требуют устойчивости материала, то есть сходимость метода гарантируется, если диаграмма деформирования является монотонно возрастающей [64]. В противном случае сходимость последовательных приближений не гарантируется и требуются определённые модификации методик [11, 12, 124, 130, 135]. Кроме того, неизвестно, что означает расходимость при численном моделировании: некорректность дискретизованной задачи (например, неустойчивость разностной схемы) или нечто, реально происходящее в физическом теле [22].
Из приведённого выше анализа данных, опубликованных в научной литературе. можно сформулировать отдельные задачи, решение которых могло бы внести определённый вклад в механику разупрочняющегося тела. Это, во-первых, задача об описании свойств материала как на стадии упрочнения, так и на стадии разупрочнения. При активном деформировании следует определить соответствующий потенциал напряжений. Во-вторых, желательно рассмотреть деформирование некоторой механической системы, один из элементов которой обладает деформационным разупрочнением, и исследо-
10
вать устойчивость процесса деформирования такой системы с тем, чтобы выяснить влияние разупрочнения на устойчивость даного процесса. И, наконец, разработать итерационную схему, с помощью которой можно было бы не только находить параметры равновесных состояний, но и определить момент потери устойчивости деформирования всей системы, то есть связать расходимость итерационного метода с реальным физическим состоянием системы.
11
- Київ+380960830922