2
Работа выполнена в Сибирском государственном технологическом университете
3
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ........................................................6
ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ИЗГИБУ ТОНКИХ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ И ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЮ ДВУХСЛОЙНЫХ МАГНИТНЫХ СИСТЕМ...............................................10
1.1. Устойчивость стержневых систем под действием сосредоточенной нагрузки.......................................................10
1.2. Устойчивость стержней под действием следящей сосредоточенной нагрузки.......................................................13
1.3. Устойчивость стержней под действием распределенной нагрузки 15
1.4. Перемагничивание двухслойных магнитных систем.............16
Выводы.........................................................19
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О НЕЛИНЕЙНОМ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЯ СЛЕДЯЩЕЙ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ.............................20
2.1. Общее решение задачи об изгибе стержня сосредоточенной нагрузкой 20
2.2. Изгиб стержня сосредоточенной следящей нагрузкой под произвольным углом.............................................23
2.3. Изгиб стержня под действием поперечной сосредоточенной следящей нагрузки.......................................................28
2.4. Изгиб стержня под действием растягивающей следящей нагрузки при малом угле слежения............................................32
2.4. Изгиб стержня под действием сжимающей следящей нагрузки 33
Выводы..........................................................34
ГЛАВА 3. ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЕ ДВУХСЛОЙНОЙ МАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ ВРАЩАЮЩИМСЯ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ.............................35
3.1. Вращающееся магнитное иоле как аналогия следящей сосредоточенной нагрузки........................................35
3.1. Перемагничивание двухслойной магнитной системы вращающимся магнитным нолем.................................................38
Выводы..........................................................42
ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О НЕЛИНЕЙНОМ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЯ НОРМАЛЬНОЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ.............................43
4.1. Вывод уравнения равновесия упругого стержня, нагруженного нормальной распределенной нагрузкой.............................43
4.2. Общее решение уравнения равновесия для случая нормальной распределенной нагрузки.........................................47
4.2. Изгиб под действием нормальной распределенной нагрузки стержня, закрепленного на одном конце и свободного на другом.............51
4.3. Изгиб шарнирно опертого стержня под действием нормальной распределенной нагрузки.........................................53
4.4. Изгиб под действием нормальной распределенной нагрузки стержня со скользящим защемлением концов...................................54
Выводы..........................................................56
ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ПРОГРАММНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНОГО ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ. СЛУЧАЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
И СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СЛЕДЯЩЕЙ НАГРУЗКИ............................57
5.1. Один конец стержня защемлен. Произвольное приложение сосредоточенной следящей нагрузки..............................58
5.2. Один конец стержня защемлен. Поперечное приложение сосредоточенной следящей нагрузки..............................66
5.3. Один конец стержня защемлен. Продольное приложение сосредоточенной следящей нагрузки..............................75
5.4. Программа расчета изгиба тонкого упругого стержня под действием нормальной распределенной нагрузки.............................79
Выводы........................................................83
ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................84
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................85
ПРИЛОЖЕНИЯ....................................................93
1. Общие сведения из теории геометрически нелинейного изгиба стержней 93
1.1. Система координат........................................93
1.2. Уравнение равновесия стержня........................... 94
1.3. Уравнение равновесия стержня в касательной системе координат... 97
1.4. Решение уравнения изгиба стержня типа уравнения нелинейного маятника на примере сосредоточенной поперечной нагрузки постоянного направления.................................................98
6
Введение
Во многих областях современной промышленности: авиационной, ракетной, кораблестроительной и других, - большое внимание уделяется вопросам устойчивости и колебаний стержневых конструкций, оболочек, мембран и пр. Особо остро такие вопросы встали перед областями промышленности, производящими устройства микромеханики и занимающимися нанотехнологиями, так как миниатюризация устройств приводит к тому, что каждое из них можно рассматривать в виде тонкого стержня, либо тонкостенной оболочки. А условия эксплуатации можно назвать экстремальными. В таких условиях часто поведение конструкций является закритическим, не описывающимся линеаризованными уравнениями сопротивления материалов. Поэтому изучение ударных, или динамических нагрузок всегда является объектом пристального внимания исследователей, особенно после появления основополагающей работы М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского [1].
Такие задачи о поведении стержневых конструкций очень важны как в теоретическом, так и практическом отношении, однако точные решения их получить не всегда удается. Поэтому для решения подобных задач очень часто привлекаются численные методы, и только небольшое количество задач удалось решить точно аналитически.
В последние годы в научно-исследовательской группе под научным руководством д.ф.-м.н., проф. Ю.В. Захарова были разработаны методы исследования устойчивости и изгиба упругих систем при условии конечности перемещений. Разработанные методы позволяют анализировать поведение упругих стержневых конструкций при перемещениях, которые уже не являются малыми, но не настолько велики, чтобы для анализа таких систем надо было использовать нелинейный вариант закона Гука. Также в работах [2, 3] была найдена аналогия между задачей о перемагничивании магнитного слоя с
7
несимметричными граничными условиями и задачей Эйлера об устойчивости упругого стержня. Для магнитной системы была найдена последовательность пороговых полей потери устойчивости ферромагнитного слоя как аналогия исследованной М.А. Лаврентьевым и А.Ю. Ишлинским [1] динамической потери устойчивости упругой системы.
Найденная аналогия может' быть использована для проверки опытным путем получаемых аналитических результатов, так как магнитная система является удобной экспериментальной системой.
Использование разработанных методов для упругих систем позволило получить точные аналитические решения в эллиптических функциях нелинейного уравнения сильного изгиба упругого стержня-консоли иод действием сосредоточенной нагрузки на свободном конце [5-6].
Полученные теоретические результаты позволяют подойти с новых позиций к анализу задач об изгибе стержня следящей сосредоточенной и распределенной нагрузок.
В то же время интерес представляет не только само явление потери устойчивости стержней и стержневых систем, но и их закригическое поведение после потери устойчивости. Все попытки решать столь сложные проблемы устойчивости механики сплошных сред приводят к необходимости получения нелинейных уравнений равновесия и разработке их методов решения.
Основным вопросом расчета стержневых конструкций является задача об изгибе стержня. Основным способом решения таких задач является получение приближенных линеаризованных уравнений равновесия для изогнутых стержней, решения которых получаются в виде полиномов. Для некоторых случаев есть точные решения нелинейных уравнений, выраженные в квадратурах [7-10], или в эллиптических интегралах [12-13]. В последнем случае решения определяются тремя параметрами, связанными с условиями на двух концах и действующей силой и находящихся из вспомогательных таблиц и номограмм. Такие решения очень громоздки и сложны для использования инженерами-практиками. В то же время есть прогресс в получении точных
8
аналитических решений, выраженных в эллиптических функциях с одним параметром — модулем к, определяемым действующей силой. В настоящее время есть достаточно эффективные, быстрые алгоритмы для вычисления эллиптических функций и интегралов на основе современных математических пакетов, таких как Мар1е, что позволяет создать эффективные программные продукты для визуализации точных решений для изгиба тонких стержней. В наши дни, когда размеры устойств достигают нанообластей, это имеет ясно выраженное прикладное инженерное значение при расчете устройств точной механики в условиях ограниченных габаритов, поскольку точные аналитические решения в ряде случаев значительно отличаются от приближенных. Поэтому сравнение точных решений с приближенными может позволить найти те области параметров, где целесообразно использовать точное или возможно использовать приближенное решение. Это может позволить выбрать оптимальные характеристики создаваемых устройств микромеханики.
С развитием математического аппарата, в частности, с появлением новых способов разложения специальных функций в ряды, стали появляться приближенные решения задач механики деформируемого твердого тела на основе точных аналитических решений [например, 14].
При всей ясности и проработанности задач об изгибе стержней для случаев малых прогибов, уравнения их равновесия существенно усложняются уже для конечных прогибов стержня. В последнее время, в связи со стремительным развитием ЭВМ, для решения подобных задач механики деформируемого твердого тела привлекаются численные методы, такие как: метод стрельбы, метод Галеркина и т.д.
В связи со всем вышесказанным сформулируем цели и задачи этой работы:
- получение в компактном виде точных аналитических решений задачи об изгибе тонкого упругого стержня сосредоточенной следящей нагрузкой при условии конечности прогибов и исследование устойчивости таких стержней;
- Київ+380960830922