СОДЕРЖАНИЕ
7
ВВЕДЕНИЕ............................................................... 4
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА: МЕТОДЫ РЕШБ! 1ИЯ, “ИНСТРУМЕНТЫ" И РЕЗУЛЬТАТЫ (аналитический обзор) 10
1. РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ И ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА...................................... 22
1.1. Динамическое деформирование тел с линией разрыва смещений........ 22
1.2. Модификация метода комплсксирования для решения смешанных задач динамической теории упругости......................................... 39
1.3. Волны в средах с тонкими слоями ................................. 46
1.4.0 связи решений волновых уравнений теории упругости в различных системах координат.................................................... 61
1.5. Новый подход к постановке красных задач динамики на основе статических решений............................................................... 67
1.6. Выводы........................................................... 74
2. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВИБРАЦИО! 111ЫХ ИСТОЧНИКОВ................... 76
2.1. Динамика вибрационного сейсмоизлучателя, заданною в виде цилиндра, горизонтально заглубленного в упругом полупространстве................ 79
2.2. Сравнительный анализ действия распорного и пульсирующего вибрационных источников в полуофаниченной упругой среде............... 91
2.3. Способ изменения диаграммы направленности поверхностного виброисточника....................................................... 104
2.4. Выводы.......................................................... 110
3. ТРЕХМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ИСТОЧНИКОВ........................................................... 111
3.1. Волновое действие нагрузки, движу щейся внутри цилиндрической полости, расположенной вблизи свободной поверхности........................... 111
3.2. Распространение упругих волн, возбужденных антнплоской трещиной конечной длины....................................................... 130
3
3.3. Исследование напряженно-деформированного состояния упругого полупространства при действии наклонной динамической нафузки, приложенной на поверхности............................................ 141
3.4. Выводы........................................................... 163
4. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ МЕЖБЛОЧНЫХ НАРУШЕНИЙ.......................................... 165
4.1. Физические предпосылки возможности исследования свойств контактов
аку стическим методом................................................. 165
4.2. Экснсриме1гтальная установка для физического моделирования....... 171
4.3. Исследование деформационных свойств межблочных нарушений в случае двустороннего доступа................................................. 176
4.4. Определение жесткости межблочных контактов при одностороннем
доступе............................................................... 195
4.5. Определение свойств межблочных нарушений на основе решения обратной задачи для слоисто-упругой среды...................................... 205
4.6. Выводы........................................................... 220
5. ГЕОМЕХАНИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ ИЗВЛЕЧЕНИЯ ГАЗА ИЗ УГОЛЬНЫХ ПЛАСТОВ...................................................... 223
5.1. Модель связанной фильтрации и постановка задачи.................. 223
5.2. Одномерная задача о притоке газа к скважине...................... 229
5.3. Исследование формы зоны фильтрации (обьемная задача)............. 233
5.4. О возможных последствиях дегазации............................... 238
5.5. Определение фильфационных свойств и напряжений в угольном пласте (обратная задача в области с подвижной границей)...................... 242
5.6. Выводы........................................................... 254
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................ 256
ЛИТЕРАТУРА............................................................ 260
4
"Все течет, все изменяется” Геракпит из Эфеса
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проблемы. Оценка сейсмической опасности и возможных последствий землетрясений, сейсморазведка и активный мониторинг состояния геосреды с помощью искусственных источников колебаний, вибровоздсйствнс на углеводородосодержащие пласты с целью повышения нефтеотдачи, определение метан о обильности шахт и снижение выбрососопасностн посредством заблаговременной дегазации угольных пластов, оценка устойчивости неоднородных сред при техногенных воздействиях - вот далеко нс полный перечень проблем, при решении которых необходимо моделировать нестационарные процессы.
Ставшая п последнее время общепризнанной концепция блочного строения и массива горных пород, и литосферы Земли в целом обусловила необходимость не только разработки методов расчета волновых полей в таких средах, но и новых способов определения деформационных свойств межблочных нарушений и протяженных разломов т зки, поскольку прямые эксперименты крайне дороги и дают лишь “точечные” результаты.
Переход на рыночные отношения, повышение стоимости энергоносителей и требований экологической безопасности при разработке и эксплуатации месторождений, в том числе и угольных, явились причиной создания новой технологии - промышленной добыче метана из угольных пластов. Это влечет за собой необходимость гсомсханического обоснования технических решений в плане оценки газоносности залежи, оптимального расположения добычных скважин и т.д. Одна из важных составных частей этой проблемы - определение в натурных условиях фильтрационных свойств пластов и напряжений во вмещающей среде.
5
Поэтому совершенствование моделей, развитие методов и подходов к расчету нестационарных полей и определению физических свойств неоднородных (в том числе и двухфазных) сред, а также их использование для решения прикладных задач механики твердого тела и геомеханики, является аюуальнон научной проблемой, имеющей важное практической значение.
Диссертационная работа выполнялась в соответствии с плановой тематикой Института горного дела СО РАН:
• “Развитие методов диагностики, контроля и управления состоянием и свойствами горных пород” (№ гос.рег. 8) 1081325, 1985-1990 гг.);
• “Изучение процессов деформирования и разрушения горных пород и сыпучих материалов при статическом и динамическом нагружениях” (№ гос.рсг. 01860072595, 1991-1995 гг).
Исследования проводились в рамках государственной научно-технической программы “Глобальные изменения природной среды и климата" (Постановление ГКНТ СССР № 274 от 15.03.1991), а также грантов Российского Фонда Фу ндаментальных Исследований:
• “Ссйсмогснсрнруюшая разломная зона как динамическая система и механизмы ее неустойчивости" (N*> 94- 05-17060,1994-1996 гг.);
• “Комплексный подход к исследованию геомеханических объектов с использованием экспериментальных данных о полях напряжений и свойствах нарушений” (№95-05-15604, 1995-1997 гг.);
• "Эволюция геомеханических полей в двухфазных средах, методы воздействия на скорое ль процесса и определения фильтрационных параметров среды” (№ 98-05-65265. 1998 -1999 it.).
Цель работы: разработка и модификация методов и подходов к решению прямых и обратных нестационарных задач механики твердого тела в средах с плоско-параллельными границами раздела и их применение в прикладных проблемах геомеханики.
Методы исследования - математическое моделирование с использованием аналитических (неполного разделения переменных, интегральных преобразований) численно анатитического (комилексирования) и численных (конечно-разностные,
6
метод конечных элементов) методов. Расчеты статических полей напряжений проводились с использованием программных комплексов 2МКЭЧК и ЗМКЭГК1. Графическое представление результатов осуществлялось с использование пакета Winsurf (Golden Software Inc.). Физическое моделирование - проведение лабораторных экспериментов с применением высокочастотною прозвучнвания и тензометрии.
Достоверность результатов определяется использованием известных моделей механики сплошной среды для элементов исследуемых объектов, корректностью постановок краевых задач, применением апробированных аналитических и численных методов, сходимостью расчетов по точной и предложенным приближенным схемам при уменьшении “параметров неоднородности”, а также хорошей корреляцией экспериментальных данных, полученных при измерениях по различным методикам.
Научная повита работы определяется следующими результатами.
1. Установлены основные закономерности динамического деформирования среды с линией сильною разрыва смещений, имеющей уравнение состояния с ниспадающей ветвью, значение угла которой является определяющим фактором кинематики процесса межблочного проскальзывания.
2. Предложена методика расчета волновых полей в упругих средах с гонкими включениями (слой идеальной юти вязкой жидкости, упругий, линия сильного разрыва смещений), позволяющая в случае малости отношения толщины слоя к длине волны избежать решения уравнения динамики в слое.
3. Разработан численно аналитический метод решения задач связанной фильтрации в упруго-пористых средах с подвижной границей.
4. Выполнена модификация метода комплекенрования для решения смешанных краевых задач эластодинаыики.
5. Выведены формулы, связывающие изображения потенциалов динамической теории упругости в различных системах координат, что дает возможность аналитического решения задач о дейсгвии внутренних источников произвольного типа в средах с плоско-параллельными границами.
1 разработка JI.A. Назаровой
7
6. Аналитически решена обратная задача определения параметров и местоположения очага динамическою события, моделируемого областью разрушения в окрестности носика антиплоской трещины. При этом используется сейсмический К.П.Д. - отношение выделяющейся кинетической и запасенной в зоне разрушения потенциальной оперши.
7. Теоретически обоснован и апробирован в лабораторных экспериментах метод определения с помощью акустического зондирования деформационных характеристик межблочных контактов, а также вариации поля напряжений в массиве.
8. На основе обобщения модели С.А. Христиановича движения газа в угольных пластах установлен характер влияния внешних напряжений (в естественном поле) на величину и форму зоны фильтрации, расположенную в окрестности вскрывающей пласт скважины, а также - на размеры и конфигурацию зон возможных разрушений, возникающих во вмещающей срсдс.
Практическая значимость работы заключается в полученных с помощью разработанных методов и подходов результатах решения прикладных задач и практических рекомендациях.
1. Рассчитаны динамические режимы и выполнен сравнительный анализ эффективности виброисточников различного типа.
2. Вычислены поля напряжений и деформаций в упругом полупространстве при наклонном поверхностном динамическом воздействии, анализ которых на основе критериев прочности показал, что зоны возможных разрушений при пологих углах наклона нагрузки обширнее, чем при крутых.
3. Предложена инженерная формула для определения массовой скорости на фронте взрывной волны по зарегистрированным на свободной поверхности экспериментальным данным при подрыве шнурового заряда.
4. Предложен способ защиты объектов от воздействия поперечных волн посредством создания искусственных экранов - трещин с “акустическим” заполнителем.
5. Установлено, что межблочные контакты являются своеобразным индикатором изменения поля напряжений. Реализация этого факта может
быть осуществлена посредством активного прозвучивания блочной среды с последующим решением обратной динамической задачи.
6. Предложены способы: управления процессом дегазации путем создания в окрестности забоя скважины искусственной каверны, форма н ориентация которой определяется направлением и величиной горизонтальных
напряжений в есгественном поле; оптимального размещения
эксплуатационных скважин для равномерного извлечения газа из угольного пласта; определения фильтрационных характеристик пласта и
горизонтальной составляющей естественного поля напряжений по изменению давления в герметизированной скважине.
Личный вклад автора заключается в: постановке задач; разработке методов решения и реализующих их численных алгоритмов и программ; анализе результатов и выработке практических рекомендаций; организации и теоретическом обосновании лабораторных экспериментов, разработке программы испытаний, выявлении информативных параметров, обработке и интерпретации экспериментальных данных.
Реализация работы осуществлялась применением разработанных расчетных схем для сред с тонкими слоями в рамках хоздоговорной тематики:
1. Исследование физических основ влияния волновых воздействий на пласты для повышения нефтеотдачи (х/д№ 755 87, 1990 г.).
2. Разработка модели пластов и исследование методами математического моделирования механизмов влияния виброволновых воздействий на поверхности на напряженное состояние массива горных пород и повышение дебетов скважин на опытном участке Правдинского месторождения (постановление ГКН Г СССР№ 1129 от 31.07.1991 г.).
3. Разработка методики и расчсг параметров волнового поля от импульсного источника, находящегося на дневной поверхности на уровне продуктивного пласта при глубине 2 км (х/д № 469-87, 1993 г.).
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на: VII Всесоюзной конференции но распространению упругих и упрут о-пластических волн (Фрунзе, 1983); II Всесоюзной научной конференции по нелинейной теории упругости (Фрунзе, 1985); Всесоюзной научной школе
9
“Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках" (Симферополь, 1987); VII Всесоюзном симпозиуме по распространению упругих и упруго-пластических волн (Новосибирск, 1987); региональной конференции “Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1988); 11 Пленарной научной сессии Международного бюро по механике сплошной среды (Новосибирск, 1989); региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды, теоретические и прикладные вопросы вибрационною просвечивания Земли” (Краснодар, 1990); Всесоюзном научно-техническом семинаре "Проблемы горного давления на больших глубинах при ведении подземных и открытых работ” (Кривой Рог, 1990); X Международной конференции по механике горных пород. (Москва, 1993); 16 Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 1999); семинаре по механике деформируемого твердого тела Института математики им. А.М. Рамзадзс ЛИ ГССР под руководством чл.-корр. АН СССР Т.Г. Гегелиа (Тбилиси, 1983); семинаре по механике твердого тела под руководством академика РАН Е.И. Шемякина (Москва, 1991); заседании Ученого совета Всесоюзного научно-исследовательского института газа (Москва. 1990); семинарах Института геофизики СО РАН иод руководством академика РАН С.В. Гольдина (Новосибирск. 1984, 2000), семинаре по механике горных пород Института горного дела СО РАИ (Новосибирск, 2000), семинаре по механике твердого деформируемого тела Института теоретической и прикладной механики СО РАН (Новосибирск, 2000).
Общая характеристика работы. Диссертация изложена на 275 страницах, содержит 119 рисунков и 10 таблиц; в списке цитируемой литературы - 208 наименований.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 26 работ, основные из них приведены в списке литературы [131-133, 136, 138-140, 149, 151. 152, 156, 158, 167. 170,171,181. 183, 192,193].
10
IIECTAIи 101IAPI1ЫБ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА:
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ, "ИНСТРУМЕНТЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ (аналитический обзор)
Начиная с 1828 г., когда Коши и Пуассон вывели уравнения динамики упругого гела (сейчас известные как уравнения Ляме), не прекращается поток работ, в которых рассматриваются прямые и обратные, теоретические и прикладные задачи для сред различной структуры. Параллельно происходит и развитие методов их решения.
Аналитические методы. Одними из первых были работы Релея (1,2), в которых исследовано распространение возмущений (волны Рслся) по поверхности упругого полупространства (динамический вариант статической задачи, рассмогренной Буссииеском в середине 19 века). В 1911 г. Ляв открыл волны (также названные его именем), возникающие на границе разномодульных сред (3J; волновые поля, как таковые, не анализировались, исследовались лишь дисперсионные соотношения. В 1930-1933 гг. С.Л. Соболевым и В.И. Смирновым предложен метод функционально инвариантных решений для волновых уравнений (4). а в 1937 г. В.И. Смирновым неполного разделения переменных (5). На этом, но сути, кончается перечень методов отыскания формального решения (уравнений Ляме); результат - шггсграчы Лапласа Фурье или Лапласа-Ьессел я (в зависимости от размерности задачи и типа системы координат).
В 1939 г. Каньяр [6J предложил метод обращения совместного преобразования Лапласа (параметр .?)-Фурье (параметр к), основанный на специфическом выборе Koirrypa интегрирования (зависящего от к ) на комплексной плоскости s. Позже этот метод был модифицирован дс Хупом |7) и Л.И. Сяепяном 18): в "идейном" смысле он не изменился, но стал более простым в употреблении. Метод Каньяра, к сожалению, не "работает’' в сложнопостренных (в частности, в слоистых) средах.
Следующий этап в развитии методов решения динамических задач связан с ленишрадской школой Г.И. Петрашеня ("первая нолна”: Г.И. Марчук, Е.И. Шемякин,
A.C. Алексеев, К.И. 0|урцов и др.; “вторая волна”: Л.А. Молотков, П.В. Крауклис, И.А. Молотков и др.). К ее основным достижениям относя гея:
II
• метол стационарной фазы, позволяющий оценить поведение волнового поля в окрестности фронтов;
• метол сведения к вещественным интегралам, позволяющий двойные интегралы Лапласа-Бесселя представить в виде конечного числа неннтегральных слагаемых и однократного интеграла;
• матричный метод расчета волновых полей в слоистых средах;
• лучевой метод.
Количество публикаций здесь настолько велико, что приведем лишь основные [9-13].
Необходимо отметить, что вышеупомянутые методы нахождения прообразов функций /*'(*,$), полученных в результате решения методом итггегральных
преобразований какой-либо краевой задачи, "работают", если Зп&2 \ .чпР(к,.ч) -однородная функция нулевого порядка.
Установившиеся колебания различных объектов под действием периодических нагрузок - предмет исследования школы И И. Воровича (В.А. Бабешко. Е.Н. Глушков, Ж.Ф. Зинченко, Н.В. Глушкова и др.). С использованием разработанного метода факторизации рассмотрены многочисленные задачи о воздействии внутренних и поверхностных источников на неоднородные среды, исследованы потоки энергии в зависимости от частоты и свойств среды. Решение в конечном счете находится и виде квадратур от функций Грина, при вычислении которых возникает ряд сложностей, связанных с необходимостью интегрирования функций с особенностями (см. гл. 2). Эти результаты мшуг быть использованы и для получения решения при произвольной (во времени) нагрузке, однако эго требует вычисления соответствующею бесконечною ряда Фурье но гармоникам. Достаточно подробная библиография работ поданной тематике приведена в [14].
Метод факторизации в динамической теории упругости разработан Л.И. Сленяном [8.15] для решения (смешанных) задач о нестационарном движении трещин.
12
BJI. Лобысев и Ю.С. Яковлев |16] предложили метод асимптотически эквивалентных функций для приближенного обращения преобразования Лапласа-Фурье (Бесселя).
В 117] обосновано использование метода граничных интегральных уравнений в динамической теории упругости и получены формальные решения в виде сверток функций Грина и внешних нагрузок. Здесь нужно привести слова [18] одного из авторов (17J: “...построенные...граничные интегральные уравнения. ..поддаются численной реализации (курсив мой -ЛИ), что можно предложить заинтересованным читателям...”. Ото значит, по крайней мере, что для практического использования подобных результатов нужно разработать метод вычисления полученных енжулярных интегралов. Но моему мнению, в рамках дискретной (суть -компьютерной) арифметики реализовать такие решения, как впрочем, и принцип предельного поглощения Иі натовского [19]. используемого при исследовании стационарных задач, невозможно.
Численно-аналитические методы возникли с появлением быстродейст вующей вычислительной техники. В 70х годах В.Д. Кубснко для обращения преобразования Лапласа, заданного в виде дробно-линейной функции от функций Макдональда, предложил метод, основанный на решении одномерного интегрального уравнения Вольтерра, которое, в свою очередь (после дискретизации по времени) сводилось к решению системы линейных уравнений с верхней треугольной матрицей [20].
В то же время Л.С. Алексеевым и Б.Г. Михайленко разработай метод комплскснрования [2122] для решения динамических задач теории упругости в слоистых средах. По одной из координат, в направлении которой объект имеет однородное строение, применяегся подходящее интегральное преобразование (параметр к), тогда уравнения Ляме сводятся к системе одномерных волновых уравнений (зависящих от к), решаемых конечно-разностным методом. Окончательный результат получается интеїрированием по к. Справедливости ради нужно заметить, что почти аналогичные подходы разрабатывались и использовались школой АЛ I. Гузя [23], Л И. Слепяном [8] и М.В. Степаненко [24].
Перечисленные методы в “чистом виде” непригодны для решения смешанных краевых задач, а также, если условия вдоль контакта слоев неоднородны.
13
Численные методы (в частности, конечно-разностные) не являются предметом исследования настоящей работы, а лишь инструментом решения, поэтому обзор по этой тематике - фрагментарный. К наиболее известным конечно-разностным методам, используемым в динамической теории упругости (и НС только в ней), можно отнести: Уилкинса (25), дробных шагов в применении к решению гиперболических уравнений (26), расщепления (27), “характеристик” [28]. “распада разрыва" [29|. Для расчета волновых полей в сложнопостроенных средах применяются также методы: конечных элементов (30.31|. граничных элсмс!гтов [32J и. развивающийся в последнее время, метод конечных объемов [33,341-
Нестационарные источники в упругих средах
Пате, создаваемое любым внутренним источником, можно представить как суперпозицию полей от элементарных источников: разложение по мультинолям [35]. Приведем начато ряда мультиполей: центр расширения (мода ;10”), сосредоточенная сила (“1"), диполь ("2”) и т.д. Для статических задач степень затухания компонент смещений в “дальней зоне" с рассюянием R увеличивается с возрастанием моды; для динамических задач - остается неизменной (в объемном случае /£”*, в плоском -/Г03).
Внутренние источники. Впервые задача о действии сферического источника конечного радиуса в безграничной упругой среде (подземный взрыв) рассмотрена Шарпом [36]. В [37] исследованы и цилиндрические источники. Дальнейшее развитие эта тематика получила в работах Е Й. Шемякина [38.39], К.И. Огурцова [40],
B.C. Никифоровского [41], В.Д. Кубенко [42] и многих других Шло последовательное усложнение постановки: вводилась свободная граница, источник располагался в слое жидкости, рассматривались вложенные оболочки под действие внутреннего давления и т.д. Неизменным оставался тип источника - “расширение-сжатие” - однородное распределение давления на контуре.
В монографии И.С. Чичнннна [43] для проблем вибрационного просвечивания Земли рассмотрены различные типы подземных излучателей (“пульсирующий”,
14
“осциллирующий” и “распорный”, что соответствует первым трем модам в разложении по мультиполям) в безграничной среде.
Таким образом, “не сделанным” остается последний шаг - построение в среде с плоско-параллельными границами волнового ноля, генерированного источником с произвольным распределением напряжений ма контуре.
Поверхностные источники. Решенные задачи о дейсгнии поверхностных нагрузок можно условно подразделить на три группы:
• построение волновых полей в однородном [44 46] и слоистом [9.12,22.47] полупространствах;
• детальный анализ напряженно-деформированного состояния в окрестности точки приложения вертикальной нагрузки [48];
• исследование стационарных (гармонических) полей в связи с проблемой вибропросвечивання Земли: баланс энергии по типам волн [43,49], потоки энергии в сложнопостроенных средах при действии системы поверхностных источников 114,50,51].
Нагручки, движущиеся внутри цилиндрической полости. Впервые такая задача для безграничной среды поставлена Ьио в [52], где изучались спектральные соотношения - зависимости фазовой и групповой скорости от частоты. Аналогичная задача в нестационарной постановке рассмотрена в [531. Для Срсд с системой цилиндрических полостей при действии движущихся нафузок фундаментальные решения (сугь. функции Грина) построены в [54,55]. практическое использование которых наталкивается на уже упомянутые вычислительные сложности.
С точки зрения проблемы оптимального положения скважинного заряда при взрывной отбойке откосов достаточно рассмотреть две задачи: внутреннюю (расиросфанение волн от цилиндрического источника с подвижной нагрузкой), которая решена в [56], и внешнюю отражение инициированных таким источником волн от свободной поверхности.
Тематика обзора задач о движущихся нагрузках намеренно конкретизирована, хотя близких работ достаточно много. Например, поля смещений и напряжений в упругой полуплоскости, создаваемые “бегущей” поверхностной нагрузкой, рассмотрены в [8,57], аналогичная задача для полупространства решена в 158].
15
Полны в тонкослоистых и блочных средах.
Теоретический анализ распространения волн в упругих средах с тонкими слоями (в том числе и “акустическими”) выполнен в целом ряде работ [13,59-62|, обзор по этому вопросу можно найти в [13.63J. Основной используемый метод - лучевой; определялись коэффициенты отражения-преломления, дисперсионные соотношения, прифронтовые асимтотики.
При численном решении задачи о волновых полях в неоднородных средах [22.64] возник вопрос о “сглаживании” свойств среды. Было предложено между областями с различными физическим характеристиками (плотность, параметры Ляме) вводил, “переходные” зоны (толщиной порядка 0.01 длины волны), свойства в которых меняются по линейному закону. Этот прием, фактически, позволил подавить численную дисперсию использованною расчетного метода, хотя, по-моему, того же эффекта можно было достичь, задавая более гладкий “входной” сигнал.
Слоисто-изотропные и неоднородные (как это понимается в цитированных работах: свойства зависят от координат) среды можно трактовать как
"пссвдобл очные", где блоки - области с одинаковыми свойствами - жестко связаны друг с другом. В 70'-8б' юдах цикл работ Е.И. Шемякина и его учеников (А.Ф. Рсвужснко. С.В. Стажсвский) [65-67]. суммированные в монографии 1681. “подтолкнули” М.А. Садовского переосмыслить модель массива горных пород (МГП). В результате возникла совершенно новая концепция: и МГ'П, и литосфера Земли в целом имеет блочное строение; размеры блоков подчиняются иерархической записнмосги с коэффициентом "вложенности” 2 5 [69). Блочная модель позволила спять многие противоречия, такие, как несоответствие объема Земли, количества (суммарной энергии) происходящих землетрясений и скоростью залечивания разломов в земной коре 169J.
Взаимодействие блоков осуществляется по тонким (в сравнении с линейными размерами самих блоков) зонам межблочным нарушениям (контактам), которые являются “самостоятельным" элементом блочной системы и могут быть “чистыми” или содержать какой либо заполнитель (глинка трения, вода, разрушенная порода и
16
т.п.) [70]. Определяющие уравнения, описывающие деформирование таких объектов в касательном направлении г = г(/?) (г - касательное напряжение, Л -
проскальзывание берегов) зачастую имеют ниспадающую ветвь: ЭЛ,,Л, | УЛ б(/?,./?2) г'(Л)<0. Возможно по этой причине отсутствуют публикации, где решены чисто динамические задачи для сред с подобными уравнениями состояния: рассматривается только квазистатика. Дело в том, что в классической теории упругости (и в механике жидкости) квадрат скорости звука пропорционален производной от функции, описывающей закон деформирования среды или сжимаемость жидкости (уравнение состояния). Здесь эта производная отрицательна. Единственная попытка объяснить данный парадокс сделана в [71) (используя результаты [72]): в момент выхода на ниспадающую ветвь возникает “ударная” волна, за фронтом которой напряженно-деформированное состояние среды неизменно. На мой взгляд, объяснение может быть гораздо проще и физичнее. Парадокс с отрицательной скоростью возникает, когда материалу элемента среды (объекту ненулевой меры) приписывают “плохое" уравнение состояния. Однако нсупругис свойства (в том числе и ниспадающая всгвь) в упруго-хрупкой среде (каковой являются многие горные породы) и в металлах локализуются вдоль узких областей (поверхностей скольжения - объектов меры ноль в пространстве): опыты А.Н. Ставрогина на образцах горных пород, линии Чсрнова-Людсрса в металлах. Поэтому в любом объекте, при нагружении которою имеет место уменьшение напряжения при увеличении параметра нагрузки, должна существовать поверхность ослабления (одна или несколько), где ненужно решать уравнения движения. Достаточно “приписать” згой поверхности какое либо уравнение состояния (в том числе и с ниспадающей ветвью) и “склеить" решения по разные стороны от нее.
Такая концепция, безусловно, не является всеобъемлющей, поскольку любое нарушение сплошности в массиве имеет конечную толщину И. Из самых общих предположений оценим диапазон применимости предложенного подхода. Мощность тектонических разломов в земной коре по М.А. Садовскому 174] от 1 до 100 м. Основной спектр частот сейсмоволн, возникающих при землетрясении. / = 0.1 10 Гц [75]. Вибрационные источники, применяемые для геофизических исследований, работают на частоте 5-10 Гц [76]. Принимая скорость поперечных волн в массиве
17
Р =3500 м/с (характерное значение для коренных пород [77]), получим характерную длины волны
Л-К,//=350 м.
По оценкам [78] для массива горных пород отношение ИИ. (/, - линейный размер блока) лежит в диапазоне 0.02:0.05. Таким образом, толщина межблочных нарушений всегда меньше и, как правило, много меньше характерных линейных размеров системы “среда + динамическая нагрузка”. Пример количественной оценки точности модели тонкого слоя приведен в п. 1.3.
Межблочные контакты во многом определяют процесс деформирования блочной среды, поэтому важно знать числовые значения параметров их уравнения состояния.
Экспериментальные исследования свойств межблочных контактов
Определяющие зависимости деформирования межблочных контактов устанавливаются в результате лабораторных квазмстатичсских испытаний (на сдвиг и сжатие) извлеченных из массива образцов. По этому вопросу опубликовано множество работ, например [79-82]. в которых можно найти и обзоры. Натурные эксперименты подобного рода (прямые испытания) крайне дороги [83].
Работ, посвященных исследованию свойств тонких включений в упругой среде активным прозвучиванисм (косвенный метод) крайне мало. В [84] таким способом определялся тип малоамплитудных разрывных нарушений и зоны изменения структурных свойст в в углепородном массиве.
Результаты натурных экспериментов по оценке свойств зон нарушенное»! с помощью преломленных волн приведены в [85], причем при интерпретации эти зоны заменялись эквивалентной упругой средой.
В ИФЗ РАН проводилось лрозвучнванис образцов, подвергающихся сдвиговому нагружению, с целью определения предвестников землетрясений [86].
Определение местоположения н физических свойств объекта активным прозвучиванием явно или неявно подразумевает решение ипритной задачи. Литература но этой тематике настолько обширна, что (принимая во внимание, что в
18
диссертации рассмотрено всего две “чистых” обратных задачи) ограничимся перечислением некоторых известных исследователей: А.Н. Тихонов (87),
М.М. Лаврентьев (88]. C.Ü. Гольдин (89], В .Г. Романов [90], В.Г. Яхио [91], A.C. Алексеев (92], Р. Латгсс. Ж.-Л. Лионе (93], А. Тарантола [94,95]. В.Н. Страхов [96] и многие другие. Обзоры можно найти в |90,97], а современное состояние -тематическим поиском в электронных базах данных. таких как www.isinei.com/isi/iournals или ■www.elihrary.ru.
Основные методы реализации решения обратных задач можно условно разделить на три группы:
• построение функции Грина прямой задачи с последующим решением итгтегрального уравнения типа свертки;
• метод квазиобращеиия (замена параболнческого оператора “ эволюционным " с малым параметром при квадрате лапласиана);
• метод регуляризации;
• разработка итерационной процедуры, минимизирующей некоторый функционал, зависящий от неизвестных параметров задачи.
В настоящей работе использован третий подход.
Не все нестационарные процессы, проходящие в гсосрсдс, можно отнести к “быстрым”, описываемым гиперболическими уравнениями. Распространение тепла и остывание нагретых тел, диффузия газов, фильтрация жидкости в пористой среде “медленные” процессы, описываемые параболическими уравнениями. Медленные в том смысле, что заметное изменение поля (теплового, давления) происходит за значительное время, хотя "возмущения” в параболических задачах распространяются с бесконечной скоростью. К таким процессам относится и
Движение гаю в угольных пластах
Основы общей теории фильтрации жидкостей и газов в пористых средах заложены в работах М. Маската. Л.С. Лейбензона, С.А. Христиановича. Г.И. Баренблатта, В.М. Рыжика [98-101] и многих других. Дальнейшее развитие эта тематика получила в [102-105].
19
Отличительная особенность процесса газовыдслсния из угольного пласта наличие сорбированного 1аза, десорбция начинается при "сбросе" внешней нагрузки (горного давления). Впервые модель, учитывающая десорбцию, но-видимому, исследована в 1106]. Теоретические и практические вопросы диффузии газов в угольных пластах рассмотрены в [ 107-109]:
• определение фильтрационных характеристик пласта;
• измерение давления в пласте;
• оценка метанообильности шахт;
• методы ускорения дегазации пластов (под- и надработка, бурение опережающих скважин);
• борьба с внезапными выбросами (гидроразрыв, заводнение, сотрясательное взрывание) и т.д.
Возврат С.А. Христиановича (после некоторого перерыва) к вопросам теории фильтрации ознаменовался разработкой новой модели движения газа в угольных пластах [110-112], основу которой составляют два положения:
давление газа в изолированных порах невскрытого пласта равно горному;
• размер "конту ра питания” скважины, вскрывающей пласт, - переметшая (а не постоянная, как это было принято раньше, например. (113]) величина, которая зависит от соотношения давления газа, прочности скелета и напряжений в последнем.
Эта модель позволила дать новое объяснение таким явлениям, как внезапный выброс, колебание давления газа в измерительной скважине при подходе к ней очистных работ и т.д. Различные прикладные задачи были решены учениками
С.А. Христиановича (114.115].
Разработанная модель, хотя н учитывает напряженно деформированное состояние скелета пласта и вмещающей среды, в дальнейшем (при решении конкретных задач) исключает его из рассмотрения, предполагая, фактически, что на границе “контура питания” напряжения равны таковым в нетронутом массиве (на бесконечности). Однако это далеко не так. поскольку внутри (увеличивающегося со временем) контура находится “разломанный уголь” с пониженными деформационными характеристиками, что, безусловно, изменяет ноле напряжений в
20
прилегающей зоне. Все решенные (доведенные "до числа”) задачи (110 115] -одномерные.
Любая модель предполагает формулировку как прямых, так и обратных задач. Последние для параболических уравнений рассматривалась в уже цитированных монографиях [90,93,95]. Помимо них следует назвать [116,117], где решались прикладные задачи определения теплофмзическнх свойств дна водоемов для оценки теплового потока недр Земли в различных регионах. Обратных задач для параболических уравнений в областях с подвижной границей мне не встречалось.
Прикладные пакеты програми для решения прямых задач механики сплошной среды
Еще в конце 80х годов группой под руководством А Б. Фадеева была создана программа “Геомеханика” напряженно-деформированного состояния неоднородной упругопластической среды [118]. Развитие в последнее десятилетие вычислительной техники -появление персональных компьютеров - способствовало разработке множества прикладных пакетов программ, "внутренние” алгоритмы которых "написаны” гораздо раньше. Их можно условно разбить на две группы:
• “общемаїематические” (MATLAB, MATHCAD. STATISTICA);
• специализированные, предназначенные для решения задач механики жидкости, газа, твердою тела, многофазных сред.
К наиболее известным относятся: UDHC и 3DUC (реализован метод отдельных элементов (119| для решения 2' и 3' мерных квазистационарных задач в блочных средах) [120]; ROCMAS (метод конечных элементов для решения связанных “термо-шдро-деформационных” задач в трещиновато-пористых средах) 1121]: MOTIF [122]. BEASY 1123] (практически аналогичное “наполнение”) и, наконец, универсальный software COSMOS. Только последний “умеет” решать динамические задачи.
Пакеты имеют достаточно удобный интерфейс и хорошую графическую поддержку. Цены колеблются от 2000$ (двумерные задачи) до 50000$ (трехмерные) [120].
2!
Ко всем этим пакетам, действующим по принципу "черного ящика", нужно относится с известной осторожностью: достаточно упомянуть "глюк" МАТЬЛВ'а. выявленный С.К. Годуновым [124]. По-видимому, использовать или не использовать тот или иной пакет должен судить каждый пользователь индивидуально, тестируя его на интересующем классе задач, часть из которых (для простых областей и нагрузок) должна иметь аналитическое решение.
В заключение отмстим, что данный обзор является далеко не полным и посвящен лишь прямой тематике диссертации. Общие вопросы теории распространения волн рассмотрены в монографиях как отечественных [125.126]. так и зарубежных [127.128] авторов.
1. РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ И ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
У. У. Динамическое деформирование тел с линией разрыва смещений
К настоящему времени блочное строение и массива горных пород, и литосферы Земли в целом [69] стало общепризнанным фактом. Выл предложен новый механизм подготовки, возникновения и протекания динамических явлений (землетрясений, горных ударов), ассоциированный со структурой среды:
1) в процессе квазистатического деформирования (обусловленною, например, 1равитациопными и тектоническими силами) накапливается потенциальная энергия;
2) поскольку прочность межблочных нарушений, как правило, значительно меньше слагающих массив блоков, происходит "срыв" какого-либо нарушения;
3) система блоков "переупаковывается” с выделением части накопленной энергии в виде сейсмических волн;
4) последние, взаимодействуя с наземными и подземными объектами, могут вызвать их разрушение, сами же блоки массива осгаются цельными.
Здесь рассмотрен ряд модельных задач, иллюстрирующих некоторые из перечисленных этапов.
Двухосное квазистатическое деформирование прямоугольной области с наклонным нарушением. В [65] исследован процесс одноосного нагружения образца, содержащего наклонную линию сильного разрыва смещений У1. Здесь рассмотрим аналогичную задачу [129]. усложнив сс введением двух факторов:
• нагружение двухосное - сущест вует боковое поджатие;
• предельные характеристики У, зависят от действующих на ней напряжений.
Пусть в упругой прямоугольной области Б (1Х,/. - размеры но осям декартовой
системы координат х,г) под углом /? коси х расположена линия сильного разрыва смещений I (рис. 1.1). На верхней грани .V приложено вертикальное смещение и'„.
Схема -задачи о погружении прямоугольной области с линией сильного разрыва смешений и граничные условия
Проскальзывание вдоль Ь при различных углах наклона ниспадающей ветви и боковом (давлении
и. = ил а,- = 0 х
рис. 1.2
го
24
на боковых - напряжение а1. Кроме того, известен "закон” деформирования линии £ - функциональная связь касательных напряжений г и проскальзывания Я -уравнение состояния. Необходимо найти зависимость Я = Я(п0), характеризующую кинематику процесса.
Сформулируем граничные условия (рис. 1.1):
и. = И'р, СТ„ = 0 при 2 = 0,
иг=0, <Уа-0 при г = 1,, (1.1.1)
<Уа = ст, , стя = 0 при х = 0,1 х,
где ст.у- компоненты тензора напряжений; /,/ = х,г; и, - смещения.
Вне линии £ выполнены уравнения равновесия
£*=.+£2*=(>, дх д2
Л л (,1-2)
, до* = 0
дх дг
Уравнение состояния зададим в виде (70.1301
г(Л) =
К,Я Я £ Яр,
тр-К,(Я-Яр) Яр<ЯйЯ„ (1.1.3)
тг Я, < Я.
где т р, г, - пиковая и остаточная прочность на сдвиг, К, - касательная жесткость; К} - тангенс угла наклона ниспадающей ветви; Яр = тр/К„ Я, = Яр + (тр -т,)!Кг
Пусть, в отличие от [65], значения тр и гг зависят от ст - нормального
напряжения на нарушении по закону Кулона-Мора
+ гг. (1.1.4)
(т-р,к; <рр,<рг -углы максимального и остаточного “внутреннего трения”, г(. -
сцепление).
Система (1.1.1)—<1.1.2) допускает решение
ст„-ст,, ст.. =стг, ст„=0, (1.1.5)
тогда из непрерывности напряжении и нормальных смещений на Л [65] следует <гг-К „и-,,
25
a, sin* (i + <r, cos2/? = a, (1.1.6)
(a2 -07) sin/? cos/? = r, где K„ = E/It - аналог нормальной жесткоеги, Е - модуль Юнга.
Полные вер шкальные смещения состоят из упругих смещений iv, и смещений, обусловленных проскальзыванием вдоль L
Wo = w, + R sin /?.
Решая систему (1.1.ЗИМ-7), найдем
О
(К„w0 - a, )sin /?cos р
(1.1.7)
*/(*„ wo-v<)-n°l B,Knsmp-Kf
Ч-УК*
sin Р
W, й И'„,
»'о 5
WF <w0< Wr, wr < w0,
(1.1.8)
Sr =cr, + <т, /В],
1
W, =<x,iK„. WP -JT
Acjp ' 5r sin/?. _
YB^ + a,f ~K~ nGp + ,<r' 2
B, = (igp - t]tg<pp)cos“’ P. В2 - {tgp - tg<pr)cos ’ p. B} = (tgp - tgVp)cos’ /?, A - K, + K„ sin2 pcos p. am = a{tg(pm + rc, r/ = i + K/ ! K,.
Результаты расчетов R для E = 20 ГТ1а. £, = 11 ГГГа/м, /.=0.1 м,
<pt. = 30", <pr - 20u, r. = 10 МПа и P = 45° при различных значениях угла наклона
ниспадающей ветви, характеризуемого величиной $ = К.! К,, представлены на
рис. 1.2. Для сравнения штриховой линией показано распределение R для абсолютно жесткой области S (£-»»): R = wb /sin Р. Можно видеть, что:
• чем больше $, тем выше скорость изменения R при "скате” по ниспадающей ветви;
• повышение бокового давления (суть - общею уровня напряжений в системе)
ведет к увеличению приращения R, хотя его абсолютное значение
уменьшается.
- Київ+380960830922