Подмодели сжимаемой жидкости и инвариантно-групповые решения

2
Оглавление
Введение 4
Глава 1. УРАВНЕНИЯ ПОДМОДЕЛЕЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ДВУМЕРНЫХ ПОДАЛГЕБРАХ 24
1.1. Уравнения движения сжимаемой жидкости и допускаемая ими алгебра................................................... 24
1.2. Инвариантные и частично инвариантные подмодели уравнений движения сжимаемой жидкости (общая теория)................ 27
1.3. Инвариантные подмодели на двумерных подалгебрах........... 29
1.4. Редукция регулярных частично инвариантных подмоделей к инвариантным ............................................... 34
Глава 2. РЕШЕНИЕ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ПОДМОДЕЛИ РАНГА 2 ДЕФЕКТА 2 СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ДЛЯ ОДНОЙ ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ПОДАЛГЕБРЫ 41
2.1. Определенные и переопределенные подмодели ранга 2 дефекта 2 сжимаемой жидкости для одной четырехмерной подалгебры и
их редукция................................................ 41
2.2. Решения переопределенной подмодели ранга 2 дефекта 2 в случае линейного поля скоростей ............................. 49
2.3. Решения переопределенной подмодели ранга 2 дефекта 2 в ортогональной системе координат............................. 52
2.4. Общее решение переопределенной подмодели ранга 2 дефекта 2 57
Глава 3. ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РАНГА 2 СТАЦИОНАРНОГО ТИПА 70
3.1. Система определяющих уравнений допускаемой алгебры .... 70
3.2. Интегрирование 2-уравнений системы определяющих уравнений 72
3.3. Интегрирование 1- и 0-уравнений системы определяющих уравнений .................................................... 77
3.4. Групповая классификация но уравнению состояния............ 88
3.5. Пример вычисления допускаемой алгебры для регулярной частично инвариантной подмодели и ивариантной подмодели ... 93
3
Глава 4. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ПОДМОДЕЛИ РАГА 2 ДЕФЕКТА 2 СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 97
4.1. Непрерывное сопряжение инвариантного схождения и расширения через характеристики одномерной нестационарной подмодели сжимаемой жидкости (7 = 2)...................................... 99
4.1.1. Постановка задачи о сопряжении сходящегося и расходящегося движений сжимаемой жидкости ................................... 99
4.1.2. Построение решения задачи Гурса..............................103
4.1.3. Доказательство сходимости................................... 106
4.1.4. Сопряжение расходящегося и сходящегося движений сжимаемой жидкости .............................................. 110
4.2. Расслоенное по параллельным плоскостям трансзвуковое движение сжимаемой жидкости в канале из мгновенного дозвукового источника (7 = 3/2)............................................... 111
4.3. Задача о трансзвуковом движении сжимаемой жидкости под действием сферического поршня с границей перехода в другую фазу (7 = 2/3).................................................... 115
4.3.1. Точное решение и характеристики..............................115
4.3.2. Физическая интерпретация решения, распространение сферического возмущения при £<0..................................117
4.3.3. Физическая интерпретация решения, распространение сферического возмущения при £>0..................................121
4.4. Задача о движении сжимаемой жидкости из мгновенного дозвукового источника через звуковую поверхность к фазовой границе (7 = 4/3)...................................................... 122
Заключение 133
Литература
134
4
Введение
Математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде дифференциальных уравнений. Одним из эффективных инструментов исследования дифференциальных уравнений является групповой анализ — математическое направление, предметом которого является совместное рассмотрение непрерывных групп преобразований и допускающих эти группы дифференциальных уравнений.
В современной теоретической физике при исследовании строения материи (микромир) или Вселенной (макрокосмос) теоретико-групповые методы играют основополагающую роль. В механике сплошных сред в этом вопросе наблюдался пробел. Систематические исследования по применению методов группового анализа к моделям механики сплошной среды были начаты Л.В. Овсянниковым и его школой в конце 50-х годов прошлого столетия [21, 22]. В работах Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова,
В.В. Пухиачева, A.A. Никольского, Л.В. Капитанского, Ю.Н. Павловского, A.A. Бучнева, В.О. Бытева и других авторов впервые были изучены групповые свойства дифференциальных уравнений механики жидкости и газа и показано как эти свойства можно использовать дчя решения физически важных задач [2, 3, 7, 8, 9, 18, 19, 39, 40, 41]. В работе [23] Л.В. Овсянниковым была выдвинута программа ПОДМОДЕЛР1. Более детальное описание можно найти в [26]. Здесь же приведены базовые сведения, необходимые для выполнения программы ПОДМОДЕЛИ применительно к уравнениям газовой динамики (УГД)
pDu 4- Vp = 0, Dp 4- pdivu = 0, DS = О, (0 1)
где D = dt -I- й • V, V = (дх, ду, д~), й = (и, v, w) — вектор скорости, р — плотность, р — давление, S — энтропия, р = /(р, S) — уравнение состояния, да = д/да. Последнее уравнение для энтропии можно заменить уравнением для давления Dp 4- ра2divü = 0, где а2 = fp — квадрат скорости звука. Энтропия S определена с точностью до замены S —> g(S) с произвольной непостоянной функцией д. Это преобразование энтропии является преобразованием эквивалентности для уравнения состояния и всегда допускается УГД. Уравнения (0.1) представляют собой модель невязкого нетеплопроводного газа, который движется в отстутствии внешних источников энергии и силовых полей.
Целыо этой программы является исчерпывающее использование симметрии модели для построения классов точных решений (подмоделей) этих уравнений. Промежуточные итоги по выполнению программы для уравнений газовой динамики были опубликованы в работе [34].
Кратко остановимся на основных понятиях группового анализа [22]. Говорят, что система дифференциальных уравнений Е допускает группу непрерывных преобразований, если Е остается неизменной под действием любого преобразования из С. Фундаментальное свойство допускаемой группы состоит в том, что группа (7 действует на .множестве решений системы Е, переводя любое решение системы снова в решение. Это справедливо и для любой подгруппы II группы С.
В рамках программы ПОДМОДЕЛИ точные решения УГД строятся с помощью подгрупп II допускаемых уравнениями группы Галилея, расширенной растяжением. Каждая подгруппа И допускаемой группы С также допускается исходной моделью Е. Подгруппа II имеет инварианты, конечные и (или) дифференциальные. Установление дополнительных соотношений между инвариантами подгруппы Я выделяет из множества решений модели Е определенный класс точных решений. Такие решения выражаются через новые искомые функции (инварианты), удовлетворяющие выводимой из Е системе дифференциальных уравнений, которая называется факторсистемой Е/Н. Поэтому фактор система Е/II называется подмоделью исходной модели Е. Число а независимых переменных в факторси-стеме называется рангом подмодели. В стандартном случае четырехмерного пространства событий (время и три координаты), па котором определена система Я, ранг подмодели может принимать значения 3, 2, 1, 0.
Существенно различаются два типа подмоделей: инвариантные (ИП) и частично инвариантные (ЧИП). Для ИП все искомые функции выражаются через инварианты, поэтому система уравнений называется определенной. В ЧИП только часть искомых функций имеет инвариантное представление. На оставшиеся «лишние» функции при построении подмодели не накладывается никаких дополнительных ограничений, они считаются зависящими от всех независимых переменных исходной модели. Число 6 таких функций определяет дефект ЧИП. Уравнения ЧИП содержат инвариантную подсистему для функций, имеющих инвариантное представление, и переопределенную подсистему для «лишних» функций. Исследование переопределенной подсистемы для «лишних» функций на совместность (приведение в
б
инволюцию) часто является не простой задачей, что определяет сложность исследования ЧИП. Таким образом, ЧИП характеризуется парой чисел: о и 5, задающих соответственно число независимых переменных в подмодели и число искомых функций, не имеющих инвариантное представление. Иногда в процессе приведения переопределенной системы в инволюцию лишние функции уточняются, и получается ЧИП с тем же рангом а, но меньшим дефектом 6' < 6 на подгруппе Я' С Я меньшей размерности. Говорят, что ЧИП (сг, 6) на подгруппе Н редуцировалась к ЧИП (<7, 5') на подгруппе IV [22]. Если при приведении в инволюцию системы все лишние функции принимают инвариантное представление, то есть 6 = 0, то данная подмодель совпадает с ИП ранга гг, построенной на подгруппе меньшей размерности Я' С Я. Тогда говорят, что ЧИП (сг, (5) на подгруппе Я редуцировалась к ИП (сг, 0) на подгруппе IV. Установление редукции позволяет избежать большого количества фактически ненужной работы.
Два решения системы Е называются несущественно различными относительно группы С, если одно из них можно перевести в другое некоторым преобразованием этой группы. Если такого преобразования нет, то два решения называются существенно различными относительно группы
С. Рассмотрим множество Я — решений, получаемых относительно всевозможных подгрупп Я С (2. Любые два решения из этого множества несущественно различны, если соответствующие им подгруппы сопряжены (подобны) отностельно внутренних автоморфизмов допускаемой группы (2. Действие внутренних автоморфизмов разбивает множество подгрупп группы (2 на классы подобных. Существенно различные решения получаются относительно различных классов подобных подгрупп. Таким образом, задача перечисления всех существенно различных решений сводится к разбиению подгрупп группы (2 на классы подобных и определению представителей этих классов. Совокупность таких представителей называется оптимальной системой подгрупп и обозначается символом 0(2. Решения, соответствующие подгруппам из 0(2, образуют оптимальную систему решений. Все остальные решения можно получить из этой системы с помощью действия группы (2.
В теории Ли каждой группе преобразований <2 ставится в соответствие некоторая алгебра дифференциальных операторов Ь. Это соответствие является взаимооднозначным и справедливо для подгруппы и подалгебры. Внутренним автоморфизмам группы (2 соответствуют внутренние авто-
7
морфизмы алгебры Ь, действие которых разбивает множество подалгебр алгебры Ь на классы подобных. Совокупность представителей этих классов называется оптимальной системой подалгебр и обозначается символом <ЭЬ. Оказывается, что задачу о нахождении оптимальной системы подгрупп ©(7 удобнее решать как задачу построения оптимальной системы подалгебр ©Ь. По этой системе однозначно восстанавливается оптимальная система решений, которая дает совокупность подмоделей исходной модели
УГД (0.1) в случае общего уравнения состояния допускают 11-мерную алгебру Ли Ьц, операторы базиса которой в декартовой системе координат имеют вид:
Хц — zdx - xdz -I- wdu - идЮ1 X9 = хду - удх + udv - vdu,
Хю = du Xn = tdt + хдх + уду -f zdz.
В цилиндрических координатах
x = (x,r, 0), й = (U, V, И7), y = rcosO, z = rsin0,
и — U: v = V cos 0 — W sin 0, w = V sin 0 4- W cos 0
эти операторы примут следующий вид [55]:
Ха = 1д3 4- дШ1 Х7 = ydz - zdy 4- vdw - wdVi
(0.2)
X\ = дХі X2 = cos 0dr - ^^-(de 4- Wdy - Vdw),
v
cos 0
xz = sin odr + — (de + wdy - vdw), x4 = tdx 4- дЦ)
r
Xs = sin 9(tdr + dv) + (де + Wdv - (v - j) dw) , X7=de, Xs = sin 0{rdx - xdr + Vdu - Udv)+
8
Xg = — cos 0(rdx — xdr + Vdu — Udv) +
+ sin 0 (Wdu - Udw - ^-{do + Wdv - Vdwj) ,
Xio = &t-> Хц — tdt 4- хдх 4 rdT.
Дифференциальные уравнения, описывающие физические процессы, часто содержат параметры или функции, которые находятся экспериментально и поэтому не строго фиксированы. В этом случае говорят, что система содержит произвольный элемент А в виде указанных параметров и функций. Группа преобразований, допускаемая системой независимо от имеющегося произвольного элемента, называется основной группой. При конкретизации элемента А допускаемая системой группа может только расширяться. При этом уравнение состояние так же конкретизируется (элемент А связан с уравнением состояния). Возникает задача групповой классификации:: для данной системы дифференциальных уравнений Е найти основную группу и все ее спецификации элемента А (спецификации уравнения состояния), дающие расширение основной группы.
Преобразованием эквивалентности системы Е называется преобразование зависимых и независимых переменных, а так же произвольного элемента А, которое изменяет только элемент А, сохраняя структуру системы Е. Такие преобразования образуют группу, которая называется группой преобразований эквивалентности. Групповая классификация проводится с точностью до преобразований эквивалентности.
Как говорилось выше, массив решений при реализации программы ПОДМОДЕЛИ определяется оптимальной системой подалгебр. О его широте в случае УГД можно судить по следующим цифрам: для общего уравнений состояния газа оптимальная система подалгебр содержит 221 представитель [26], для УГД с уравнением состояния
p = Bp* + g(S), (0.3)
где Б ф 0. 7 ф 0,1 — постоянные, В'у > 0, g(S) — произвольная функция энтропии, 606 представителей [50], для политропного газа 1342 представителей [4], для одноатомного газа 1817 представителей |б1].
На основе программы ПОДМОДЕЛИ к настоящему времени получено большое количество конкретных примеров точных решений УГД. Качественное исследование подмоделей двумерных, винтовых, вращательных и других движений газа приведено в работах [15, 16, 17, 27, 47, 48, 51].
9
Примеры нетривиальных частично инвариантных решений можно найти в [13, 14, 29, 30, 38, 66]. Класс движений газа, в которых давление зависит только от времени (барохронные движения) изучен в работах [64, 65, 67|. Введено понятие «простого» (с групповой точки зрения, аналога постоянного) решения [35]. В этой же работе описаны все простые решения, не относящиеся к специальным типам движения газа. Построено решение, описывающее двумерное стационарное течение газа с замкнутыми линиями тока [36]. Это решение является аналогом двумерного течения идеальной жидкости из (63]. В работе [11] приведены все инвариантные подмодели с двумя независимыми переменными для УГД с общим уравнением состояния.
В процессе реализации программы ПОДМОДЕЛИ были получены ответы на вопросы, имеющие общетеоретическое значение. Создан эффективный алгоритм построения оптимальных систем подалгебр конечномерных групп Ли [25], дан критерий ж-автономии группы, допускаемой некоторой системой дифференциальных уравнений [24]. В работе [28] введен новый классификационный признак для частично инвариантных подмоделей. Замечено, что все инвариантные подмодели газовой динамики могут быть записаны в некоторой канонической форме [46], а в [32] доказано это. Дан алгоритм получения подмоделей в канонической и дивергентной формах, пригодный для реализации на компьюторе. Реализации этого алгоритма в виде действующей программы посвящена работа [62]. Установлено, что все инвариантные подмодели имеют эквивалентное представление в виде интегральных законов сохранения [31]. Получена теорема, задающая иерархию инвариантных подмоделей [33], которая нужна для упорядочивания и структуирования множества подмоделей, которое может быть достаточно большим и трудно обозримым.
Настоящая диссертация основана на материале, полученным автором при исследовании в рамках программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений сжимаемой жидкости (0.1), (0.3). Этим объясняется тематическая направленность изложенного ниже материала.
Актуальность работы. Отыскание и классификация точных решений уравнений газовой динамики, которые описывают широкий круг явлений в механике сплошной среды, являются актуальными проблемами. Используя подгруппы преобразований, допускаемые УГД, можно находить подмодели (системы уравнений с меньшим количеством независимых пе-
10
ременных) движений газа и параметрические семейства точных решений. Полный список подмоделей ещё не завершен. Важной задачей является построение и исследование новых подмоделей с целыо получения точных решений и их интерпретации с точки зрения физики.
В работе рассмотрен класс ранее неизвестных подмоделей уравнений газовой динамики, описывающих движение сжимаемой жидкости, когда давление и температура могут достигать больших значений. Подмодели строятся на 12 двумерных подалгебрах и одной четырехмерной подалгебре. Четырехмерная подалгебра порождает о подмоделей, для одной из которых найдены все решения и дана их физическая интерпретация. При исследовании подмоделей важно вычислить допускаемую алгебру. Задача групповой классификации инвариантных подмоделей ранга 2 стационарного типа уравнений газовой динамики решена ранее. В диссертации ставится и частично решена задача групповой классификации гидродинамической системы ранга 2 стационарного типа. Такие системы более общие, чем инвариантные подмодели ранга 2 уравнений газовой динамики и появляются при рассмотрении регулярных частично инвариантных подмоделей.
Цель диссертационной работы заключается в развитии методов
группового анализа для построения и исследования новых подмоделей, описывающих движение сжимаемой жидкости. Поставленная цель достигается в результате решения следующих задач:
• построение и исследование новых подмоделей сжимаемой жидкости на подалгебрах, взятых из оптимальной системы подалгебр 13-мерной алгебры Ли, которая допускается моделью сжимаемой жидкости;
• нахождение всех точных решений одной переопределенной подмодели, описание движений сжимаемой жидкости, соответствующих этим решениям;
• групповая классификация гидродинамической системы ранга 2 стационарного типа.
Перейдем к описанию содержания диссертации.
В первой главе рассматривается модель движения сжимаемой жидкости (0.1), (0.3). Показано, что уравнение состояния (0.3) для специальных функций <?(£) согласуется с уравнением состояния, описывающим поведение реальных плотных сред (жидкостей и твердых тел), когда давление и температура могут достигать больших значений. Выписывается базис операторов 13-мерной апгебры Ли з, допускаемой моделью движения ежи-
11
маемой жидкости. Он вычислен в [26] и состоит из базиса операторов (0.2) алгебры Ли Ьц, допускаемой УГД в случае общего уравнения состояния, дополненного операторами растяжения и переноса
Х\2 = Ьд1 - иди - иди - ыди, - (у - 2)рдр - урдр, Х\з = др, (0.4)
которые в цилиндрических координатах принимают вид
Х\2 = Ьд1 - иди ~ Уду - \Vdiv - (у- 2 )рдр - урдр, Х13 = дР,
где у = 27/(7 - 1), 7 =£- 0,2. Рассмотрены 12 двумерных подалгебр из оптимальной системы алгебры Ли Ь\з, возникающих когда параметр у ф 0,1 произвольный. Кратко приведена известная теория построения инвариантных и частично инвариантных подмоделей через инварианты подалгебр. Вычислены инварианты рассматриваемых двумерных подалгебр и сведены в таблицы. На трех подалгебрах получены инвариантные подмодели ранга 2, которые приведены к стационарному каноническому типу (время не есть инвариант подалгебры) по правилу, приведенному в работе [53]. Для оставшихся девяти подалгебр получаются регулярные частично инвариантные подмодели ранга 3 дефекта 1. Регулярные означает, что в независимых инвариантах нет искомых газодинамических функций. Показано, что частично инвариантные подмодели редуцируются к инвариантным подмоделям на одномерных подалгебрах. Из полученных девяти инвариантных подмоделей ранга 3 две подмодели приведены к эволюционному (время есть инвариант подалгебры) каноническому тип}', семь подмоделей приведены к стационарному каноническому типу по правилу, описанному в работе [53].
Во второй главе рассмотрена 4-мерная подалгебра из оптимальной системы подалгебр алгебры Ли Ь\3, допускаемой уравнениями движения сжимаемой жидкости. Операторы базиса подалгебры следующие:
-^1 = дХ: Х\ — Ьдх + д-цу *13 = дру
2 2 (°'5)
Х\2 = 1дг - иди - уди - гиди,--------рдр---------рдр.
у — 1 7—1
Разыскиваются регулярные частично инвариантные решения ранга 2 дефекта 2. Представление регулярного частично инвариантного решения ран-
12
га 2 дефекта 2 таково
и = и(г,х), V = і_1!;і(у,г), и; = і-1и>і(у, г),
(0.6)
р = Г^рх{у,г), р = р(«,х).
Доказана
Теорема 0.1. Регулярные частично инвариантные решения ]хінга 2 дефекта 2 уравнений движения сжимаемой жидкости (0.1), (0.3) построенные на подалгебре с базисом (0.5) определяются т,олько пятью подмоделями. Для представления решения (0.6) с уточнением
и=Г1хих(у,г)+и0(1;,у,г), р=^рх(у,г) (0.7)
получается редуцируемая подмодель с представлением решения ранга 2 дефекти 1 на подалгебре {Лі, Л4, Л12}, состоящая из инвариантной подсистемы
=щ- и\, РіУі 4- Рх1р\у = Уі, П>іШі 4- Рї'ри - IVі,
Бірі -4 Рі{уіу 4- ши) = рі ~ 42
2у
Оірі + іВрІІУуу + Шіг) = [Рі - ~1ВР\ии и уравнения для функции щ:
іит 4- Оіщ = —щио,
где Р\ = Уїду 4- ицдх.
Для представления решения (0.6) с уточнением
и = Ь~1(х 4- К~1 {и\(у: г) — є 1п і)),
(0.9)
р = <-1(рі(р,2) + Кх - е(Ы + 1)), 7 = -1,
получается редуцируемая подмодель с представлением инвариантного ре-
(0.8)