2
Оглавление
Стр.
Введение....................................................... 6
1. Проблемы математического моделировании
при проектировании технологических процессов...........— 19
1.1. Методы решения краевых задач в обработке металлов давлением 24
1.2. Современное развитие технологии прокатки..................... 42
1.3. Основы технологии штамповки.................................. 65
1.4. CAD/CAM/CAE системы__________________________________________ 74
1.5. Методы автоматической генерации конечно-элементной сетки 86
2. Методика расчета напряженно-деформированного
состояния................................................. -........................................... 92
2.1. Математическая модель формоизменения......................... 92
2.2. Метод конечных элементов. Основные соотношения............... 97
2.2.1. Обобщенная плоская задача ——————————— 101
2.2.2. Осесимметричная задача-... ....................... 110
2.3. Горячая деформация __________... ----------------—— 116
2.3.1. Конечноэлементная аппроксимация температурной задачи . 118
2.3.2. Моделирование плоских температурных полей ........... 120
2.3.3. Моделирование осесимметричных температурных полей .... 131
2.3.4. Реализуемые типы температурных граничных условий 136
2.4. Контактное взаимодействие и его реализация.................. 140
2.4.1. Основные соотношения, моделирующие контактное взаимодействие......................—....—------------------ 140
2.4.2. Реализация условий трения.............. —.............. 148
2.5. Оценка возможных разрушений.——....-.......—.—.—-........ 154
Стр.
2.6. Аппроксимация механических свойств металлов и сплавов
при горячей обработке давлением —.................................165
3. Математическое моделирование горячего формоизменении материалов при листовой прокатке - 172
3.1 Задание параметров полосы и валков. Установка
начального положения ----------------------------------------- 173
3.2, Контактное взаимодействие полосы с валком...............™.™..™... 183
3.2.1. Определение нейтрального сечения........................... 186
3.2.2. Силы, действующие на валки, и момент прокатки............. 189
3.2.3. Расчет возможных разрушений при листовой прокатке 193
3.3. Проверка работоспособности математической модели................. 195
3.3.1. Сравнительный анализ расчетов и аналитических формул 197
3.3.2. Сравнительный анализ расчетов и результатов работы реального прокатного стана........................................ 204
4. Методика расчета деформационных н энергосиловых параметров прокатки сортовых профилей — ................... 209
4.1. Основные допущения, принимаемые при физической
постановке задачи сортовой прокатки..— ------------------------- 210
4.2. Алгоритм построения пространственного напряженно-деформированного состояния для элемента очага деформации 218
4.3. Факторы, влияющие на процесс прокатки в калибрах -............... 222
4.3.1. Вычисление нейтрального сечения-------------------------- 222
4.3.2. Учет подпора со стороны соседних сечений---------------- 224
4.3.3. Определение координаты точки захвата металла валками 230
4.3.4. Вычисление скоростей движения точек контактной поверхности с учетом пошагового изменения контура 235
Стр.
4.3.5. Вычисление продольной скорости сечений полосы ........ 237
4.3.6. Определение усилия и момента прокатки.................. 239
4.4. Моделирование и анализ процесса прокатки в калибрах........... 242
4.4.1. Сравнительный анализ расчетных и экспериментальных показателей формоизменения при прокатке в гладких
валках, полученных на лабораторном стане МГМИ............ 242
4.4.2. Оценка адекватности модели реальному процессу на основе экспериментально- промышленных данных
о сортовой прокатке ----------------------------------- 245
4.4.3. Сравнение результатов 2,50 анализа и трехмерного
анализа прокатки в калибрах.............................. 251
4.5. Примеры применения компьютерных прогнозов ............—. 259
4.5.1. Усовершенствование промышленных калибровок............. 259
4.5.2. Экспертное опробование и оценка эффективности использования системы имитационного
моделирования в промышленных условиях.................... 269
5. Имитационное моделирование и оптимизация технологии
производства подшипниковых колец.........................—.. 271
5.1. Моделирование получения башенных поковок
подшипн иковых колец_________________________________________271
5.1.1. Расчет течения металла при штамповке
башенных поковок..——. ——....——--------------------------- 271
5.1.2. Расчет термоиапряженного состояния штамповой
оснастки при получении башенной поковки.—...—.—. 288
5.1.3. Варианты усовершенствования технологического
процесса получения башенных поковок 293
5.2. Повышение эффективности подшипникового производства 302
5
Стр.
5.2.1. Построение приближения к решению задачи
о развороте заготовки-шайбы в кольцо...................... 306
5.2.2. Компьютерная реализация алгоритма расчета предварительных размеров шайб и колец для технологической операции разворота............................ 318
5.3. Расчет технологических параметров, обеспечивающих бездефектное получение подшипниковые кольца ................. 321
5.3.1. Отличительные особенности производства поковок
по новой технологии и алгоритм поиска решения............. 321
5.3.2. Автоматизация расчета формы пуансона и матрицы
при подготовке данных компьютерного моделирования 326
5.4. Расчет и экспериментальная штамповка с разворотом подшипникового кольца 203.01______________________________________________ 331
5.4.1. Анализ влияния «угла атаки» на пуансоне на процесс разворота и выбор параметров заготовки _______________________ 334
5.4.2. Опытная штамповка поковки по результатам теоретического анализа__________________________________________ 339
5.4.3. Моделирование получения колец из шайб
переменного сечения ________________________________ 343
Заключение и основные выводы по работе.......................... 353
Литература...........-...............-......- — 357
Приложение............................. —......-.....—---------—- 379
6
ВВЕДЕНИЕ
Технический уровень предприятий машиностроительной промышленности во многом определяется научно-техническим уровнем кузнечно-штамповочного и прокатного производства. Из-за возрастающей потребности промышленности в изделиях высокой точности и качества, к технологиям и оборудованию обработки металлов давлением (ОМД) предъявляются все более высокие требования.
Как известно, правильно выбранная и достаточно точно рассчитанная калибровка валков позволяет значительно повысить эффективность формоизменения прокатываемой полосы на каждом этапе превращения ее, из заготовки в готовый профиль. Отсюда вполне естественно стремление многих исследователей разработать методы и математические модели, наиболее адекватно отражающие все термомеханические и физические процессы, протекающие в полосе, прокатываемой в некоторой системе калибров.
В условиях современного рынка и жесткой конкуренции важное место принадлежит расширению и совершенствованию профильного и марочного сортамента проката и повышению его качества, наиболее полному использованию возможностей установленного на производстве оборудования. Все чаще возникает необходимость в производстве малых партий проката, новых для отечественных прокатных цехов, требующих модернизации существующих и разработки новых калибровок валков. Экспериментальные исследования в этой области очень дорогостоящи, и не всегда возможны в производственных условиях. Значительная трудоемкость таких исследований и недостаточная полнота имеющихся в литературе экспериментальных данных по прокатке в калибрах замедляет и делает более дорогой разработку новых технологических процессов и усовершенствование существующих. В этих условиях приоритетным является создание простых и достаточно точных моделей, учитывающих
7
возможности современной мобильной и недорогой вычислительной техники, квалификацию ее пользователей и другие экономические, организационные и технические требования. Необходимость решения задач АСУТП также ставит вопрос о разработке достаточно быстрых алгоритмов количественной оценки параметров формоизменения.
С другой стороны, одна из основных проблем промышленного производства серийных товаров - это его эффективность и последующая утилизация отходов. Причем, чем выше общий уровень производства, тем больше проблем с экономией сырья, с повышением коэффициента использования металла. Появляются и экологические проблемы переработки и утилизации отходов производства. Наиболее остро эта проблема стоит перед металлоемкими отраслями, такими как штамповочное производство заготовок под подшипниковые кольца. И, конечно, разработка таких технологий, при которых в процессе утилизации отходов удается осуществить прямое получение полезного продукта, без какой-либо промежуточной переработки - наиболее эффективно. Именно к таким процессам можно отнести и процесс многопереходной штамповки, при котором очень важно получить поковку заданной конфигурации без зажимов, прострелов и других скрытых дефектов, развитие которых бывает достаточно трудно предусмотреть, тем более, если образование их на текущем переходе обусловлено ошибкой в форме штампов на предыдущем переходе. Сюда же можно отнести и процесс штамповки с последующей операцией разворота для получения подшипниковых колец из ранее утилизируемого дискового отхода.
Разрабатывать и оптимизировать такие технологии можно только с использованием имитационных моделей технологических процессов, представляющих собой сложные нелинейные физико-механические системы. Реализация таких систем на компьютере и включение их в глобальную систему САПР позволит существенно сократить, а иногда и исключить
8
дорогостоящие лабораторные и производственные испытания, сократить сроки подготовки и внедрения технологических процессов в производство, оценить безопасность и износостойкость оборудования.
Все вышеизложенное свидетельствует о том. что математическое моделирование процессов горячей штамповки и прокатки требует дальнейшего усовершенствования. И решение этой проблемы невозможно без создания соответствующих компьютерных систем проектирования ответственных элементов техпроцессов, основанных на применении методов механики сплошной среды, приемах и алгоритмах, позволяющих прогнозировать напряженное состояние деформируемого материала при обработке его давлением.
Поэтому разработка и дальнейшее усовершенствование методов, быстрых алгоритмов и вычислительных систем, предназначенных для проектирования и оптимизации технологических процессов горячей обработки давлением материалов, является актуальной и важной научно-технической проблемой.
Основные цели и задачи исследований
На основе современных математических методов и компьютерных технологий численного моделирования физико-механических процессов деформирования твердого тела, разработать научные основы и методику прогнозирования формоизменения металла при прокатке и штамповке. Разработать и реализовать на персональных компьютерах вычислительную систему, позволяющую давать научно-обоснованные рекомендации по проектированию названных технологических процессов. Внедрить разработанные системы в производственную практику.
Для достижения указанных целей решались следующие задачи:
— С использованием методов механики сплошной среды, компьютерного проектирования и идей полуаналитического метода
9
конечных элементов, разработать математическую модель объемного течения металла и быстродействующий алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) в очаге деформации при прокатке на гладкой бочке и в калибрах.
— Разработать математические модели, достаточно адекватно описывающие формоизменение металла при штамповке, а также позволяющие оценить характеристики НДС, в штамповом инструменте и оснастке.
— Разработать алгоритмы и программное обеспечение, позволяющее эффективно, в интерактивном режиме анализировать процессы штамповки и прокатки, и на этой основе модернизировать существующие технологические процессы и разрабатывать новые.
— С использованием разработанных моделей выполнить комплекс расчетных экспериментов и провести сравнительный анализ результатов с параметрами действующих калибровок валков, кузнечных линий и данными лабораторных исследований, а также с результатами, полученными при использовании вычислительных систем зарубежными исследователями и опубликованными в технической литературе. Оценить достоверность получаемых расчетных результатов.
— Разработать методику анализа, поиска и уточнения формы промежуточных калибров при расчете вытяжных систем, обеспечивающих качество готового проката и экономию энергоресурсов.
— Разработать концептуальные рекомендации по подходу к проектированию технологических процессов многопереходной штамповки с использованием предлагаемого аппарата вычислительных систем.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В первой главе рассматриваются проблемы, стоящие перед предприятиями машиностроительного комплекса в современных условиях, и
10
предлагаются мероприятия, без внедрения которых, предприятиям не выйти на мировой уровень развития производственного процесса.
Дан обзор существующих методов решения краевых задач механики континуума применительно к процессам обработки материалов давлением.
В истории развития процесса прокатки рассмотрены основные методы моделирования и подходы к созданию процессов листовой прокатки и прокатки в калибрах.
В этой главе рассмотрена еще одна отрасль обработки материалов давлением - кузнечно-штамповочное производство.
Стать конкурентоспособными в бизнесе нельзя без внедрения информационных технологий, использования СЛЬв-технологий поддержки жизненного цикла изделия, повышения качества производства. Дан краткий обзор зарубежных и отечественных систем автоматизированного проектирования, технической подготовки производства и инженерного анализа. Подробно обсуждается применение метода конечных элементов в инженерном анализе и связанные с этим проблемы разработки программ автоматической генерации конечно-элементной сетки. Представлены основные методы построения геометрических моделей.
Во второй главе представлена методика расчета напряженно-деформированного состояния обрабатываемой давлением сплошной среды. Описана постановка задачи формоизменения горячего однородного изотропного сжимаемого материала, обладающего скоростной чувствительностью с рассчитываемыми граничными условиями на заранее неизвестной границе. Обосновывается применение конечно-элементной аппроксимации при моделировании и анализе технологического процесса прокатки и штамповки. В этой главе кратко изложена теория разрушения металла. Рассмотрено влияние термического воздействия на металл. Обсуждается влияние удельной силы трения на усилия контактирования, качество изделия, на экономические показатели процесса, надежность и
ресурс технологического оборудования. Разобраны способы представления физических свойств деформируемого материала.
Третья глава посвящена разработке математической модели горячего формоизменения материалов при листовой прокатке и созданию вычислительного комплекса 8РЬЕМ(Ко11шв) для моделирования напряженно-деформированного состояния полосы проката. Дано описание основных параметров, характеризующих процесс прокатки металла (вытяжка, длина дуги и угол захвата полосы, нейтральное сечение). Рассмотрено условие влияния величины трения на захват металла ватками. Представлена схема действия на металл различных сил со стороны валка. Приведены различные формулы для определения положения нейтрального сечения.
Представлены результаты расчета возможности разрушения при листовой прокатке.
Для моделирования процесса горячей листовой прокатки была разработана вычислительная система 5РЬЕЫ(Ко1Ип£). Для оценки эффективности работы вычислительной системы произведены расчеты для различных технологических режимов прокатки. Для анализа достоверности полученных технологических прогнозов произведены сравнения с расчетами по аналитическим формулам и с данными работы реального прокатного стана.
В четвертой главе рассмотрен еще один технологический процесс -процесс деформирования металла при прокатке в калибрах. Описан алгоритм построения пространственного напряженно-деформированного состояния для элемента очага деформации, нахождения нейтрального сечения, учета подпора со стороны соседних сечений, определения координат точки захвата металла калибрами, определения продольной скорости сечений полосы, определения усилия и момента прокатки. Приведена проверка достоверности результатов по экспериментально-промышленным данным о сортовой
12
прокатке. Сравнивались результаты расчета пакетом ЗРЬЕЫ(СаПЬег) с результатами трехмерной модели прокатки в калибрах, реализованной в пакете ЗНРШЬ. Используя вычислительный комплекс ЗРЬЕМ(СаПЬег), были рассчитаны и даны рекомендации по усовершенствованию промышленных калибровок валков на сортопрокатном стане завода «Серп и Молот».
Пятая глава посвящена процессу штамповки, моделированию и оптимизации технологии производства подшипниковых колец. Рассмотрен традиционный процесс получения подшипниковых колец из башенных поковок. Представлены результаты моделирования штамповки башенных поковок в условиях Волжского подшипникового завода. Проведено сравнение изотермической и неизотермической моделей штамповки. По результатам моделирования предложено усовершенствование профиля штамповой оснастки.
Рассмотрен процесс новой малоотходной технологии производства подшипникового кольца путем разворота шайбы, полученной из дискового отхода. Выведены формулы для ориентировочного расчета размеров кольца по заданным размерам исходной шайбы, а также формулы для обратной задачи. Созданы программы для автоматизации данного предварительного расчета, которые позволяют получить профили пуансона и матрицы.
Процесс получения из шайбы подшипникового кольца смоделирован в вычислительной системе БРЬЕМСКоШбоп). Были проанализированы результаты математического моделирования получения кольца 203.01, даны размеры исходной заготовки и рекомендации по проектированию штамповой оснастки. Результаты опытной штамповки на Курском подшипниковом заводе показали хорошее соответствие прогнозов по формоизменению металла реальному формоизменению.
Таким образом, в результате проведенных исследовании впервые были получены следующие результаты
13
Разработаны математические модели, методики и алгоритмы решения задач о формоизменении материалов с преобладающей скоростной чувствительностью в условиях переменной и падающей скорости хода деформирующего инструмента, с учетом контактного взаимодействия на изменяющейся во времени и неизвестной заранее границе при реализации технологических операций прокатки, штамповки и операции разворота заготовки-шайбы в конечное изделие.
Разработана модификация полуаналитического метода конечных элементов для решения объемной задачи прокатки и алгоритм построения пространственного напряженно-деформированного состояния полосы в очаге деформации при установившемся режиме прокатки на гладкой бочке и в калибрах.
Разработана компьютерная система имитационного моделирования прокатки, позволяющая осуществлять целенаправленный, научно обоснованный поиск рациональных технологических параметров процесса, а также форм и размеров полосы и калибров.
На основе проведенного анализа и расчетов объемной штамповки, разработаны инженерные методики и получен ряд практических рекомендаций по рациональному выбору форм заготовок, по конфигурации пуансонов и матриц штампов для получения при многопереходной штамповке конечного изделия прогнозируемой формы в соответствии с требованиями промышленного производства.
Разработана концепция компьютерного проектирования технологических процессов горячей обработки металлов давлением на примере использования вычислительного комплекса БРЬЕМ
Практическая значимость выполненных исследований
Разработан комплекс вычислительных программ для компьютерного моделирования и исследования процессов прокатки в гладких валках и
прокатки в вытяжных калибрах в широком диапазоне конструктивных и технологических параметров, дающий возможность существенно сократить количество трудоемких промышленных экспериментов, ускорить разработку рациональных технологических режимов, включая калибровки валков.
Разработаны методика анализа калибровки валков и алгоритмы поиска и уточнения форм промежуточных калибров.
Разработаны модификации вычислительного комплекса для
имитационного моделирования процессов горячей миогопереходной штамповки на кривошипно-ползунном исполнительном механизме.
Для осуществления внедрения в производство металло- и энергосберегающей технологии переработки отходов подшипниковой промышленности, разработана специальная модификация вычислительной системы для расчетов рациональных технологических параметров при модернизации технологических режимов горячей штамповки
подшипниковых колец методом разворота, а также для оценки
функциональных характеристик штамповой оснастки.
Вычислительные системы серии ЗРЬЕЫ в настоящее время установлены и используются в учебном процессе и научных исследованиях Московского государственного института стали и сплавов, МГТУ им.
Н.Баумана, Московского государственного института электроники и математики для подготовки специалистов в области технологии и математического моделирования, расчетов термонапряженно-деформированного локально-однородного упругопластического состояния тяжело нагруженных деталей металлургических машин и оптимизации параметров технологических процессов прокатки и штамповки.
Реализация в промышленности
В отделении прессовых машин ВНИИМЕТМАШ (лаборатория прессования) внедрен программный пакет БРЕЕЫ. используемый для
15
проектирования систем управления приводами кузнечно-прессового оборудования для процессов - горячего изотермического деформирования. Внедрение программного продукта в проектные и технологические работы позволило существенно сократить рутинность проектных работ, сократить их сроки и повысить их качество (1992г.).
В качестве основного элемента САПР внедрен вычислительный комплекс 8РЬЕЫ(Подшипник) на заводах Межреспубликанского концерна «Подшипник». Эксплуатация вычислительного комплекса позволила модернизировать и разработать новые технологические режимы горячей штамповки подшипниковых колец и башенных поковок применительно к линиям Л-309 и Л-234., кривошипному и гидравлическому кузнечнопрессовому оборудованию (1994г.).
Внедрен в производство на Казанском моторостроительном ПО вычислительный комплекс БРЬЕЫ для формообразования деталей типа дисков, колец, шестерен с использованием метода конечных элементов. Внедрение работы позволило в 3-4 раза сократить трудоемкость инженерного труда, на 15-20% уменьшить затраты на инструмент, электроэнергию, повысить качество деталей за счет ликвидации возможного брака (1995г.).
Выполнены работы по автоматизации расчетов в подсистеме САПР ТП, предназначенной для имитационного моделирования и проектирования технологических процессов штамповки на АПЗ-20 (г.Курск). Внедрен вычислительный комплекс БРЬЕ!'! (Подшипник), предназначенный для анализа технологических процессов изотермической штамповки (1998г.). Внедрен вычислительный комплекс БР1.ЕЫ(Разворот), предназначенный для анализа технологических процессов изотермической штамповки подшипниковых колец с применением операции разворота из дисковых отходов. Комплекс мероприятий, связанный с внедрением ЭР!.ЕЫ(Разворот),
16
позволил повысить КИМ при изготовлении колец подшипников в различных случаях с 0.4-0.5 до 0,65-0,70 (1998г.).
На заводе «Серп и Молот» внедрена вычислительная система 8РЬЕМ(Яо11т£). предназначенная для имитационного моделирования промышленной калибровки валков на сортопрокатном стане 320/250 для прокатки полосовой стали размером 18x36мм, из стали Ст35 (1998г.).
На ОАО «ВПЗ-15» (г.Волжский) внедрен вычислительный комплекс имитационного моделирования процесса штамповки, как подсистемы САПР, применительно к Л-309. Промышленная эксплуатация комплекса позволила сократить сроки разработки и внедрения новых технологических процессов штамповки, усовершенствовать существующие элементы технологии, повысить качество поковок, значительно снизить выход брака (1999г.).
Опытно-промышленное опробование системы выполнено в калибровочном бюро АО «Магнитогорский металлургический комбинат» (АО «ММК») на действующих калибровках сортовых станов 500, 300-2, 250-1 и проволочного стана 250-2 АО «ММК». Полученные результаты расчета обладают высокой степенью достоверности, а пользовательский интерфейс и графические возможности представления результатов удобны пользователю. Вычислительная система была использована при разработке и совершенствовании калибровок на сортопрокатных станах АО «ММК». (2005г.)
Апробация работы
Материалы диссертации доложены и обсуждены на:
— 4-ой Всесоюзной научно-технической конференции по «Сверхпластичности металлов», Уфа, 1989;
— Всероссийской конференции «Математическое моделирование технологических процессов обработки металлов давлением». Пермь. 1990;
17
—Международном Советско-китайском семинаре по кузнечноштамповочному производству. Воронеж, 1990;
— Международной конференции по сверхпластичности ICSАМ-94. Москва, 1994;
—Международном семинар« «Современные проблемы прочности». В.Новгород, 1999;
—Международной конференции и Российской научной школе «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий», Сочи, 2001,2002;
— XXXVIII семинаре «Актуальные проблемы прочности», Санкт-Петербург. 2001;
—Международной научно-технической конференции «Высокие технологии в машиностроении». Самара. 2002;
—Российской научно-технической конференции «Авиакосмические технологии». Воронеж, 2003, 2004, 2005.2006:
—МНТК «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», Хабаровск, 2003;
—2-ой международной иаучно-практичсской конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», Санкт-Петербург, 2006.
А также неоднократно (2001-2006) докладывались на межвузовском научно-техническом семинаре «Математическое моделирование физикомеханических систем и процессов обработки металлов давлением», проводимом при кафедре «Математическое моделирование» Московского государственного института электроники и математики (МИЭМ) и на семинарах лаборатории ДСПМ Московского государственного института стали и сплавов (МИСиС).
Основные положения, выносимые на защиту. включают совокупность представлений, направленных на идентификацию влияния технологических параметров и фактов на качество изделий, получаемых при штамповке и прокатке в калибрах; математические модели и методики, полученные по результатам комплексных исследований в области обработки металлов давлением при штамповке и прокатке; методологию выработки управляющих воздействий на режимы деформирования с целью повышения качества изделий и эффективности их производства, а также результаты практической реализации указанных научных разработок.
Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность профессору Е.Н.Чумаченко, многолетнее сотрудничество с которым способствовало получению научных знаний и опьгга, и определило направленность исследований. Автор выражает искреннюю признательность Макаровой JI.T., Машковой H.H.. Печенкину Д.В.. научные и прикладные работы которых позволили расширить круг применения идей и решений, предложенных в данной диссертации. Автор благодарит коллективы центральной технологической лаборатории Курского подшипникового завода, сортопрокатного цеха завода «Серп и Молот», калибровочного бюро АО «ММК» за помощь при выполнении работы.
19
1 ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Современные процессы, протекающие в мировой экономике, диктуют необходимость внесения кардинальных изменений в систему корпоративного менеджмента: реорганизацию структуры управления, совершенствования технологий и модернизацию оборудования, создание и выпуск принципиально новой конкурентоспособной продукции, расширения поля деятельности, в том числе и на международном рынке, наращивание конкурентных преимуществ выпускаемой продукции. Сегодня одной из важнейших проблем машиностроительной промышленности является преодоление технологического отставания от конкурентов.
Стать конкурентоспособным в бизнесе для промышленных предприятий сегодня немыслимо без использования информационных технологий. Ведущая роль среди них принадлежит комплексу САБ/САМ/САЕ/РОМ. то есть автоматизированным системам проектирования и конструирования, технологической подготовки производства и управления инженерными данными. Современные предприятия ставят перед собой следующие цели усовершенствований:
- перевод существующих процессов на полное электронное описание изделия в едином информационном пространстве:
-обеспечение сокращения длительности цикла «проектирование -подготовка - производство» на 50% и более, а также снижение затрат при изготовлении опытных образцов и проведении натурных испытаний, уменьшение времени выхода продукции на рынок путем внедрения сквозных технологий информационной поддержки жизненного цикла изделий;
20
- повышение качества продукции (проектов) за счёт использования сертифицированных инструментов проектирования и стандартизированных средств разработки и рабочих мест;
- развитие комплекса технических средств вычислительной техники и сетевой телекоммуникационной сети предприятия;
- освоение передовых технологий С АО/САМ/С АЕ/РЭМ, максимальная автоматизация конструирования и технологической подготовки производства;
- успешную реализацию проектов на высоком техническом уровне.
Реализация этих бизнес-инициатив позволяет в достаточно короткие
сроки перейти на новейшие технологии конструирования, технологической подготовки производства и управления данными, выводит предприятие на современный уровень организации процессов и ставит в один ряд с современными конкурентоспособными предприятиями.
Современные технологические процессы должны обладать высокими уровнями точности, надежности и стабильности. В условиях рынка одним из важнейших требований к ним является гибкость, рассматриваемая как способность к быстрой переналадке при производстве изделий производственной номенклатуры. Большое значение имеет применение САЕБ-технологий поддержки жизненного цикла изделия, органично включаемых в общую совокупность интегрированного технологического комплекса.
Выбор инструментов, которые положены в основу системы управления жизненным циклом изделий представляет собой набор программных средств для объемного и плоского проектирования, автоматизации технологического проектирования, разработки и выпуска конструкторской документации, инженерного анализа и расчетов, управления инженерными данными, а также обеспечение возможности передачи информации в систему оперативного управления производством.
21
Ранее системы автоматизированного проектирования (САПР) основывались на условных геометрических представлениях и логических переходах. Развитие компьютерной техники открыло широкие возможности автоматизации компьютерного конструирования и пространственного моделирования, разработки технологических процессов в диалоговом и автоматическом режимах на базе полного математического представления поверхностей и составляющих тел сборочных единиц, деталей и заготовок, что является принципиально новым шагом в области САПР.
При комплексном рассмотрении процесса подготовки производства изделия, то есть при разработке конструкторской документации и технологической подготовки производства, все звенья данного процесса регламентируются соответствующими ГОСТами и другими нормативнотехническими документами. Проблема интеграции САПР заключалась в том, что мощные по своим функциональным возможностям пакеты САПР производятся за рубежом и. следовательно, не учитывают специфику отечественного производства, обусловленного стандартами ЕСКД, ЕСТД, ЕСТПП и др.. В результате на рынке появились отечественные САПР, которые могли решать задачи технологической подготовки производства и подготовки технологической документации с использованием соответствующих баз данных, делать из них выборки и на основе последних формировать технологический маршрут производства изделия [1].
Так, на базе математического ядра, соответствующего стандартам DFX 3D, SAT, STL, IGES, XT и XB (Parasolid), STEP, разработаны отечественные системы трехмерного геометрического моделирования при конструировании и технологическом проектировании, например. среда T-FLEX CAD/CAM/CAE/PDM фирмы «Топ Системы», САПР технологических процессов «ТехноПро» фирмы «Вектор-Альянс», аналогичная среда «Компас CAD/CAM/PDM» с технологической системой «Компас Автопроект» фирмы «Аскон» и др. Полное математическое ядро функционирует в широко
22
распространенной в большинстве стран мира системе автоматизации черчения, конструирования и пространственного моделирования AutoCAD 3D. на базе которой строятся различные технологические приложения [2].
Таким образом. система автоматизации проектирования технологического процесса должна обладать следующими общесистемными свойствами:
• Построение на основе теоретически полного математического ядра компьютерного проектирования и моделирования графической системы. позволяющей формализовать и оцифровать изучаемый физический объект, представить его виде различных сечений, чертежей и технологических иллюстраций;
• Соответствие программного обеспечения всем международно значимым системам (MS WINDOWS. MS WORD) с чтением и записью текстовых файлов в форматах ANSI и др.;
• Использование стандартных систем управления базами данных:
• Применение CALS-технологий для поддержания жизненного цикла изделий;
• Наличие выхода в Интернет.
Основной составляющей эффективной деятельности металлургических предприятий, связанных с обработкой металлов давлением, является постоянная диверсификация производства, а приоритетным направлением развития является создание высокоэффективных наукоемких технологий и выпуск соответствующего уровня техники. В интересах потребителей современные предприятия должны постоянно совершенствовать производственную базу, формировать технологические возможности будущего, наращивать свой интеллектуальный потенциал. Не останавливаясь на достигнутом постоянно искать пути для совершенствования систем
23
управления, конструкций, технологий и качества выпускаемой продукции. Без тесной связи производства с наукой и потребителем достичь результатов невозможно.
Возможность решения самых сложных проблем заложена в индивидуальном производстве техники будущего, богатейшем конструкторском опыте, интеллектуальном опережении конкурентов, наличии высококвалифицированного персонала.
Чтобы соответствовать мировым стандартам качества, необходимо внедрять в производство современные технологии и высокоэффективную технику. Значительные инвестиции должны быть направлены на научно-исследовательские и опытно-конструкторские разработки, внедрение передовых информационных технологий и систем автоматизированного проектирования [3].
1.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Существуют две основные возможности исследования и анализа краевых задач и процессов, связанных с обработкой металлов давлением. Это либо физическое, либо математическое моделирование Не будем останавливаться подробно на приемах и методах физического моделирования. Однако отметим, что при несомненной необходимости и полезности этих испытаний, они, практически всегда очень дороги. Поэтому их стараются проводить тогда, когда требуется либо окончательное подтверждение результатов математического моделирования, либо в случае, когда математическую модель не удается построить. Экспериментальные и примыкающие к ним экспериментально-теоретические методы позволяют изучить некоторые, обычно характерные, параметры исследуемых процессов. В полном объеме изучение всех параметров, влияющих на формоизменение изделия при его обработке давлением, только экспериментальным путем выполнить невозможно.
Теоретические методы подразумевают исследование математических моделей реальных процессов обработки материалов давлением. Многие из них базируются на методах математической физики (методы характеристик, разделения переменных, интегральных преобразований. функций Грина и др.) [4,5].
Понятие математической модели исключительно широко. Под математической моделью процесса пластического неизотермического течения при обработке металлов давлением подразумевают приближённое описание этого процесса, позволяющее найти в области пластического течения распределение скоростей, деформаций, температур, напряжений, рассчитать вероятность разрушения металла и определить оптимальные условия его деформирования [б].
25
Аналитическое решение задач ОМД удается получить лишь в исключительных случаях для простых областей и несложных моделей. Полученные аналитические решения имеют большое значение в качестве тестовых задач для проверки более сложных моделей [7,8].
При решении же сложных технологических задач, учитывающих неоднородности напряженно-деформированного состояния, накопленных деформаций и других многочисленных факторов, обычно используют приближенные численные методы решения. Приближенные методы позволяют построить последовательность решений, в пределе сходящуюся к точному. По способу построения последовательных приближений указанные методы разделяются на итерационные и прямые методы, сводящие решение задачи к конечным системам алгебраических уравнений. Асимптотические методы позволяют получать решение задачи в виде конечных аналитических функций, описывающих поля напряжений, деформаций, температур и другие параметры технологических процессов. К их числу относятся прямые вариационные методы Ритца. Канторовича, Трефтца [9] и метод конформных отображений [10].
Численные методы позволяют решить, вообще говоря, любую краевую задачу математической физики (в том числе и задачи теории пластичности). Соображения простоты при формулировке определяющих уравнений уже не имеют принципиального значения. С помощью численных методов определяются числовые значения параметров в дискретных точках объема деформируемого тела. Это различные варианты конечно-разностных методов (явный и неявный метод сеток, метод прогонки, локально-одномерный метод) [11-13], вариационно-разностные и проекционно-разностные методы, включающие в себя метод конечных элементов (МКЭ) [14,15] и граничных интегральных уравнений [16,17].
Вариационный метод основан на энергетическом принципе. Позволяет определить не только полное и удельное усилия, но и распределение
26
напряжений и деформаций по объёму тела, а также форму тела после деформации с учётом неравномерности деформации. Сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях около состояния равновесия равна нулю.
Возможности исследования сложных вязкопластических течений существенно расширяются, если вместо постановки задачи в терминах дифференциальных уравнений использовать эквивалентную вариационную постановку. Класс полей, среди которых определяется решение при вариационных формулировках шире, чем при использовании дифференциальных. При энергетическом подходе скорости течения и напряжения отыскиваются из уравнения баланса мощностей при пластической деформации, при вариационно-энергетическом подходе неизвестные величины находятся из условия минимума полной мощности пластической деформации [18-21].
Для определения напряженно-деформированного состояния металла наибольшее распространение получил принцип возможных изменений деформированного состояния (принцип виртуальных скоростей), который в классической теории пластичности формулируется следующим образом: из всех кинематически возможных полей скоростей истинное поле скоростей реализует минимум функционала
(1.1)
что эквивалентно уравнению
5И = 0
(1.2)
— интенсивность касательных напряжений;
\/2
— интенсивность скоростей деформации сдвига;
27
Р|=®ч-п;
— компоненты вектора внешней нагрузки;
— компонента вектора скорости перемещений;
— часть границы, где задана внешняя нагрузка Р
При этом в вариационном уравнении (1.2) уже учтены уравнения равновесия и соответствующие граничные условия. Конкретный вид этого уравнения зависит от реологического уравнения Т = Т(Н), описывающего свойства среды. Минимизируя функционал (1.1), можно построить решение задачи в скоростях и определить деформированное состояние. Таким образом, решение задачи интегрирования дифференциальных уравнений в произвольный момент времени для тела заданной формы с заданными механическими свойствами может быть заменено задачей поиска минимума функционала.
Непосредственное же определение напряженного состояния с помощью полученного поля скоростей невозможно, так как уравнения теории течения определяют компоненты тензора напряжений с точностью до гидростатического давления, которое, в свою очередь, неизвестно.
Для определения напряженного состояния можно использовать принцип возможных изменений напряженного состояния (принцип виртуальных напряжений), который формулируется так: из всех статически возможных полей напряжений истинное поле напряжений реализует минимум функционала
Я =
>;У*(1Г
(1.3)
что эквивалентно вариационному уравнению
8Я = 0
(1.4)
где VI — компоненты вектора скорости, которые заданы на части границы 8У,
28
Я — называется дополнительным рассеянием.
Таким образом, решение вариационного уравнения (1.4) эквивалентно решению задачи интегрирования дифференциальных уравнений теории пластичности для тела заданной формы с заданными механическими условиями при заданных граничных условиях.
В общем случае, когда на части границы деформируемого тела заданы смешанные граничные условия, к примеру, поверхность контакта, на которой обычно заданы нормальная составляющая скорости или перемещений и касательная составляющая нагрузки, сформулировать вариационный принцип только в скоростях или только в напряжениях невозможно. На этой части поверхности силы трения связаны некоторыми соотношениями с тангенциальной составляющей скорости и нормальным давлением. Поэтому, все решения, полученные в этом случае с помощью, например, вариационного уравнения (1.2) основаны на предположении, что силы трения заданы как некоторая часть от т5, по закону Зибеля [18].
В.Л.Колмогоров [22] сформулировал принцип одновременных возможных изменений напряженного и деформированного состояний: из всех статически возможных полей скоростей действительное напряженно-деформированное состояние соответствует минимуму функционала
где Гру — часть границы поверхности, где заданы смешанные
(1.5)
- ^Уо+ТгУг+УрР^Г,
Г„.
что эквивалентно вариационному уравнению
8Р = 0
(1.6)
граничные условия;
29
ц, г — направления координатных линий на контактной поверхности;
г, V — соответствующие компоненты сил трения и скорости проскальзывания;
Р — нормальное давление на инструмент;
ур — нормальная компонента скорости движения инструмента.
При использовании функционала такого вида мы уже можем применять смешанные граничные условия, которые возникают на поверхности скольжения Гру. Заметим, что принцип возможных изменений деформированного состояния и принцип возможных изменений напряженного состояния являются частными случаями этого вариационного принципа, так как, если варьируются только скорости и Гру отсутствует, то из уравнения (1.6) следует (1.2); если варьируются только напряжения и Гру отсутствует, то из (1.6) следует уравнение (1.4).
Для некоторых задач, особенно прокатки сложных профилей в калибрах, поле скоростей невозможно описать функциями, едиными для всего очага деформации. Это объясняется значительной неравномерностью формоизменения в различных частях очага деформации, что приводит к очень громоздким выражениям координатных функций с большим числом варьируемых параметров. Поэтому иногда используется путь разбиения очага деформации на несколько участков (зон), где построить координатные функции для поля скоростей (перемещений) значительно проще [20,23-25]. При этом важно удовлетворить условиям сопряжения зон, что необходимо для получения непрерывного поля скоростей для всего очага деформации.
Вариационное уравнение (1.2) в этом случае имеет вид
где к — число поверхностей разрывов;
|у| — абсолютная разность скоростей относительно поверхностей
разрыва. Здесь последний член в фигурных скобках называется мощностью срезов.
При выводе этих формул поведение частиц металла в процессе деформации характеризовали полем скоростей этих частиц: \'х,уу. При решении конкретных задач может оказаться более удобным пользоваться скоростями деформаций, а не самими деформациями, особенно в тех случаях, когда течение металла является установившимся.
Для решения вариационных уравнений могут быть использованы прямые методы вариационного исчисления и проекционные методы: метод внешних невязок, коллокаций по подобластям. Ритца, Галёркина, точечной коллокации, наименьших квадратов и другие [19,26]. Методы достаточно исследованы и математически обоснована их сходимость [26-28]. В результате применения этих методов задача решения дифференциального или интегрального уравнения сводится к решению системы алгебраических уравнений. Решение таких систем уже проще, чем интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Однако, необходимость построения координатных или весовых функций, удовлетворяющих граничным условиям на контуре области и определенных на всей области ведет к трудностям при моделировании напряженно-деформированного состояния для областей со сложной конфигурацией контактирующих поверхностей инструмента и заготовки. Обычно пользуются разбиением тел сложной формы на ряд тел простой формы и применяют классические функции. Но и этот путь не решает всех
31
проблем: возникают сложности при “стыковке решений" на границах простых подобластей. Таким образом, для получения более точного решения приходится увеличивать число варьируемых параметров и выполнять минимизацию функционала методами нелинейного программирования. С другой стороны количество координатных функций должно быть по возможности небольшим, что обусловлено неустойчивостью проекционных методов. Матрица системы уравнений в некоторых случаях бывает плотно заполненной и плохо обусловленной. В этих случаях увеличение числа координатных функций не только не приводит к повышению точности решения, напротив, часто ведет к увеличению погрешности, а иногда и вовсе к неправдоподобным результатам [6,28]. Поэтому важно в зависимости от желаемой точности исследовать вопрос о числе координатных функций.
Для задач пластического деформирования минимизируемый функционал не является квадратичным, поэтому система алгебраических уравнений нелинейная и её решение связано со значительными математическими трудностями. В связи с этим на практике используются различные способы — метод Ньютона-Канторовича, метод последовательного приближения Качанова Л.М. (модифицированный метод Ритца) [29] и другие, сущность которых — приведение минимизируемого функционала к квадратичному виду. Однако, для всех этих методов характерна очень медленная сходимость, поэтому часто ограничиваются первым приближением, вследствие чего точность полученного решения невысока.
Кроме того, обычно бывает трудно выразить интегралы минимизируемого функционала в конечном виде, а также продифференцировать его по варьируемым параметрам. Можно использовать экстремальные свойства функционалов и решать задачи численными методами отыскания безусловного экстремума, такими, как метод Ньютона, сопряженных градиентов, метод Гаусса-Зейделя. различные модификации
32
метода спуска или метод локальных вариаций. Для неэкстремальных функционалов (то есть для большинства смешанных функционалов) решение связано со значительными математическими трудностями.
Но, не смотря на это, во многих случаях, если исходная задача допускает вариационную постановку, легче искать экстремали функционала, нежели решать дифференциальные уравнения. Вариационный подход обладает рядом существенных преимуществ. Во-первых, общность подхода. При постановке задачи не ставится каких-либо ограничений на реологические свойства исследуемой среды — предметом рассмотрения могут быть самые различные модели. Появилась возможность учёта зависимости механических свойств среды от температуры. Не ставится ограничений на геометрические характеристики исследуемого процесса. В общем случае может рассматриваться любая форма рабочего инструмента и очага деформации.
Вариационный подход предполагает меньше исходных допущений. Следовательно, при энергетическо-вариационном подходе появляется возможность вплотную приблизиться к математическому моделированию реальных процессов ОМД с учетом достаточно тонких особенностей [30,31].
Метод конформных отображений представляет собой сочетание аналитического и численного методов [6]. Задача решается в два этапа. На первом этапе строится опорное решение. На втором - поправочное. Опорное решение включает: приближенное численное конформное отображение криволинейной области Б на каноническую область Е, граница которой не зависит от поля скоростей, построение опорного потенциального поля скоростей и определение границы области пластического течения минимизацией функционала полной мощности (используется модель жесгко-пластической среды). Построение же поправочного решения осуществляется для среды, обладающей сложными реологическими свойствами. Поправочный вектор скорости определяется с помощью поправочных
33
функций тока, которые находятся из решения вариационного уравнения полной мощности одним из прямых методов. Результаты вычисления накапливаются и сглаживаются в узлах сетки области Е.
Применение метода конформных отображений к решению задач с областями, имеющими сложные криволинейные границы, и, в частности, задачи прокатки, сдерживается сложностью построения конформного отображения. Тем не менее, в последнее время и в этой области наметились существенные положительные сдвиги [32]. Также трудности реализации прямых вариационных методов при получении приближенных решений в областях многоугольной формы могут быть преодолены использованием для построения конформных отображений интеграла Шварца-Кристоффсля [33,34].
Для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных (в том числе нелинейных и нестационарных) с начальными и граничными условиями используют метод сеток (метод конечных разностей). Основная идея метода и обоснование различных его модификаций излагается в [13,35]. При решении этим методом исходная задача определения неизвестных непрерывных функций ГЧх.у) заменяется задачей решения векторного уравнения относительно множества значений Гу функции Г(х,у) в узлах разностной сетки. Конечно-разностный метод, таким образом, дает информацию о значениях функции в узлах сетки, но не дает никакой информации о значении функции между этими точками
При решении методом конечных разностей можно получить аппроксимацию решения практически любой системы дифференциальных уравнений. Однако учет граничных условий задачи при решении методом конечных разностей часто является сложной, громоздкой и трудно программируемой операцией. Сложно учитывать криволинейную границу исследуемой области. При этом либо заменяют граиицу "лесенкой", либо
34
приходится применять различные варианты отображения исследуемой области на другую, что ведет к потере точности и усложнению задачи.
Метод конечных разностей широко применяется при решении задач методом линий скольжения, удобен при решении методом функций тока.
Метод конечных разностей был использован в работе [36] для моделирования процесса прокатки. При этом использовалась биполярная система координат, координатные линии которой совпадают с поверхностями валков. Однако, в силу ограниченности возможностей метода, рассматривалась прокатка в гладких валках, более того, решение дает удовлетворительные результаты лишь для сравнительно тонких полос.
Остановимся дополнительно на положительных сторонах и недостатках проекционных и сеточных методов.
С одной стороны метод конечных разностей обладает хорошей вычислительной эффективностью (матрица системы симметричная, ленточная, положительно определенная). С другой стороны, проекционные методы хорошо учитывают область с границей сложной формы, очень просто учитывают граничные условия, заданные по Нейману. И сеточные и проекционные методы позволяют решать физически нелинейные задачи, задачи с анизотропией среды, нестационарные во времени.
Однако оба метода обладают существенными недостатками. Для повышения точности решения методом конечных разностей необходимо либо резко сгущать сетку в интересующей области, либо применять наиболее точные, а, следовательно, и более сложные, разностные схемы, что ведет к возрастанию времени счета и требуемой памяти.
Выбор координатных или весовых функций является иногда непростой задачей. Зачастую при переходе от одной задачи к другой, по сути, приходится строить новую систему функций. Более того, вычисляемые весовые коэффициенты не имеют определенного физического смысла, могут
35
принимать значения различных порядков, что затрудняет анализ и контроль результатов.
Перейдем к рассмотрению методов, обладающих достоинствами сеточных и проекционных методов и лишенных их фундаментальных недостатков.
К группе проекционно-сеточных методов можно отнести вариационно-разностный метод, метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных интегральных уравнений — метод граничных элементов (МГИУ — МГЭ).
Широко распространено использование для моделирования пластического течения вариационно-разностных методов. При этом используются преимущества описанных выше вариационных принципов механики сплошных сред и сеточного представления искомых функций [28].
Вариационно-разностный метод представляет собой применение конечно-разностной дискретизации функционала мощности (или энергии) в заданной механически сплошной среде и в некоторой произвольной области. Если использовать принцип виртуальных скоростей, то интенсивность скорости деформации Н можно выразить через компоненты тензора скорости деформации, а те, в свою очередь, через составляющие вектора скорости. Затем дифференциальные операторы, входящие в преобразованное таким образом выражение для Н заменяются их конечно-разностными аналогами. После дискретизации подынтегрального выражения, необходимо выбрать соответствующую схему численного интегрирования (например, квадратурную формулу Гаусса). Далее проводится интегрирование по всем ячейкам конечно-разностной сетки и по тем участкам границы, где заданы граничные условия по Нейману. После этого проводится составление системы уравнений относительно неизвестных узловых значений составляющих вектора скорости, решение которой и позволит найти распределение искомого поля скоростей [37].
3«
Следует отметить, что применение конечно-разностной дискретизации функционала мощности существенно повышает возможности вариационноэнергетического метода. Тем не менее, остаются два существенных недостатка, присущие сеточным методам: неудобство учёта криволинейных границ и невысокая точность аппроксимации при использовании простых разностных схем. Оба эти недостатка преодолимы при помощи аппарата отображения реальных областей на параметрические области простой формы, а также использование конечно-разностной аппроксимации более высокого порядка. Однако в этом случае метод конечных разностей фактически перейдет в другой класс методов аппроксимации, а конечноразностные ячейки перейдут в конечные элементы.
Одним из хорошо зарекомендовавших себя методов этого класса является метод граничных элементов [16,17,38] или метод граничных интегральных уравнений. В [39] этот метод трактуется как конечноэлементный подход в форме метода коллокаций. Основная идея метода — замена исходного дифференциального уравнения эквивалентным ему граничным интегральным уравнением, которое затем решается (в частности при помощи численной дискретизации границы) относительно неизвестных граничных значений. На части границы должны быть заданы граничные значения искомой функции, на остальной части границы — значения её производной по внешней нормали к границе. При помощи дискретизации интегральное уравнение сводится к системе линейных уравнений относительно неизвестных значений (на участке границы, где заданы значения искомой функции — её производные; на остальной границе — значения искомой функции). А для внутренней части области применяется аппарат решения классических интегральных уравнений (поэтому метод часто называют методом граничных элементов (МГЭ)).
К достоинству метода относятся: возможность дискретизации только границы изучаемого тела; высокая точность решения в зонах концентрации
37
напряжений и вблизи границы, что позволяет изучать процессы трещинообразования; простота реализации для бесконечных областей [40]. Недостатком метода является сложность его распространения на нелинейные и неоднородные задачи.
При использовании численных методов соображения простоты при формулировке определяющих уравнений не имеют главного, принципиального значения. В рамках корректно поставленной задачи можно описать достаточно сложные модели сред. Численные методы облегчают анализ нестационарных процессов, позволяют, наряду с интегральными, определять и локальные характеристики процессов, знание которых необходимо при анализе образования дефектов в процессе деформирования [41-44].
Метод конечных элементов, с помощью которого получены решения многих задач прикладной механики и обработки металлов давлением ([45-51] и др.), состоит в характерном для механики и физики дискретно-непрерывном подходе, при котором непрерывный континуум представляется как совокупность элементарных конечных объемов или элементов.
Основные этапы метода конечных элементов таковы: вся
рассматриваемая (деформируемая) область разбивается на достаточно простые "конечные элементы" (треугольные, чегырехугольные в плоской задаче; параллелепипеды, тетраэдры в объёмной задаче) и непрерывную искомую функцию аппроксимируют (конечным числом её значений, определенных в узлах сетки) функцией специального вида через узловые параметры на каждом конечном элементе н, следовательно, во всей области. Формируется матрица жесткости отдельных элементов, а затем матрица жесткости всего тела. Затем определяются узловые параметры сетки конечных элементов путем решения системы алгебраических уравнений высокого порядка. Таким образом, интегрирование заменяется конечным суммированием, а дифференциальные уравнения в частных производных
- Київ+380960830922